XVIII Волков И.К., Зуев СМ., Цветкова Г.М. Случайные процессы (1081434), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Напомним, что под математической моделью понимают приближенное описание какого-либо класса явлений реального мира, выраженное с помощью математической символики. На данном этапе мы не будем заниматься разработкой математических моделей конкретных явлений, тем более, что, согласно высказываниям многих видных специалистов в области математического моделирования, искусство построения математической модели есть именно искусство и опыт в этом деле приобретается постепенно. В данной главе рассматриваются математические модели, представляющие собой системы обыкновенных стнохасгиических дифференциальных уравнений, дополненные соответствующими начальными условиями.
Эти модели описывают обширный класс явлений реального мира. 7.1. Случайные возмущения в динамической системе Рассмотрим математическую модель, описывающую эволюцию изучаемого объекта на отрезке времени Т = [О, ~„): — =А(Х,о,~), О(1(1„ аХ(8) (7.1) Х(О) =Х., 228 7. СТОХАСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СОСТОЯНИЯ где Х(1) — и-мерная вектор-функция, которую называют еемпзором соспэолкил; а Е Й™ — вектор параметров, не зависящий от времени 1; А — и-мерная векторная функция и+ т+ 1 переменного, удовлетворяющая условиям теоремы существования и единственности решения задачи Коши (7.1); Хо— начальное значение вектора состояния Х(1). Из (7.1) следует, что скорость изменения состояния в любой момент времени 1 > 0 определена его текущим состоянием в этот момент времени и вектором параметров о. Математическая модель (7.1), которую называют дегперминированном (неслучайной) моделью состпо*нил, является достаточно общей и может быть использована для описания обширного класса динамических систем.
Поясним сказанное примером. Пример 7.1, Рассмотрим математическую модель простейшей следящей системы: < х(1) =-Л(х(1)-х„(1)), 0(1<1., (7.2) х(0) = ха, где ха е 1х — начальное значение состояния системы х(1) Е И, Л > 0 — - параметр системы; х.(1) — скалярная функция времени, заданная на отрезке Т = [0,1 ]. Система функционирует таким образом, что отклонение от заданного состояния х„(1) уменьшается со скоростью, пропорциональной текущей величине отклонения. Причем реакция системы на изменение состояния тем быстрее, чем больше значение параметра Л ) О. Математическая модель позволяет заранее рассчитывать изменение состояния изучаемой системы на отрезке Т путем решения задачи Коши (7.2). Если же требуемые значения состояния х„(1) в моменты времени 1 Е Т заранее неизвестны, например, вследствие их зависимости от множества непрогнозируемых факторов, то х„(1) следует рассматривать как случайный процесс х„(1,и); 1 й Т, математическое ожидание 7.
Ь Случайные возмущения я динамической системе которого т(1) Ь М[х„(1,м)], как правило, известно. В этом случае случайный процесс х.(1,ы), 1 Е Т, можно представить в следующем виде: х.(1,ы) = тЯ+~.(1,ы), С Е Т, М[~„(1, щ)] = О, 1 Е Т, а математическую модель (7.2) записать так: < х(С) = — Л(х(й) — т(1)] +Д1,и), О < 1 < й„, (7.3) х(О) = х„~(1, ы) 4 Л~. (1, ы), й Е Т. При этом состояние х(1) следящей системы уже не является детерминированной функцией, а представляет собой случайный процесс х(с,ы), 1 Е Т.
Таким образом, математическал модель (7.3) может рассма; триваться как результат случайных возмущений детерминированной модели (7.2). В этом случае невозможно заранее рассчитать изменения состояния следящей си~темы на Т, а можно лишь анализировать вероятностные характеристики случайного процесса х(с,~о), 1 Е Т. Используя аналогию с рассмотренным примером, перейдем к анализу общего случая. Ограничимся математической моделью (7.1) и установим условия, которым должен удовлетворять процесс случайных возмущений.
В правую часть нормальной системы обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) (7.1) добавим и-мерный случайный процесс ц(1,м), 1 Е Т, который будем называть нроцессом случайных возмущений. При этом отметим, что в общем случае этот случайный процесс может зависеть и от текущего состояния, и от вектора параметров сс, т.е. ц = ц(Х,сс,$,ьз)— н-мернзя случайнал функция. Но для упрощения дальнейших рассуждений будем считать, что процесс случайных возмущений является линейным относительно некоторого н-мерного 230 7. СТОХАСТИ ЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СОСТОЯНИЯ случайного процесса с(8,м), 1 Е Т: п(Х,о,1,ы) = В„(Х,о,1)Е(1,ы), 1 б Т = [0,1„), где „— матричная функция о+т+ 1 переменного типа н х и. При добавлении ц(Х,о,1,м) в правую часть нормальной системы обыкновенных дифференциальных уравнений, входящих в математическую модель (7.1), ее вектор состояния будет н-мерным случайным праце~сом Х(1,м), 1Е Т.
Поэтому и начальное состояние в общем случае следует считать о-мерным случайным век|вором Хо(и). Если же по смыслу решаемой задачи начальное состояние изучаемой системы задано, т.е. Х(О,м) = Хо, то Х(О,ы) всегда можно рассматривать как и-мерный случайный вектор, который с вероятностью 1 принимает значение Хо Е ль". Таким образом, приходим к так называемой спэохастмческой модели состояния < Х(Ф,м) = А(Х,о,1) + В,(Х о,1)С(1,м), 0(1 < 1„, (7.4) Х (О, ь~) = Хо(и), где ((1,и), 1 Е Т = [0,1,) — о-мерный случайный процесс, без конкретизации свойств которого дальнейший анализ не представляется возможным. Для процесса случайных возмущений естественно требовать выполнение следующих условий.
1. Не теряя общности дальнейших рассуждений, можно считать, что М[((8,ы)] = О, 1 Е Т. Действительно, если т(1) = М[С(1,м)) ф 0 на Т, то достаточно ввести цен1нрированный случайный процесс о ((1,ы) =с(1,и) — т(1), 1е Т, пь случэйнме эозмуьнеынв и динамической системе 231 с нулевым математическим ожиданием, а затем стохастическую модель состояния (7А) преобразовать к виду о Х(1,ьо) = А.(Х,сь,1)+В„(Х,оДК(1,ьо), 0<1 <1., Х(О,ьо) = Хв(ы), А,(Х,сь,1) = А(Х,се,1)+ В,(Х,сь,ь)т(ь).
2. Чтобы сохранить основное свойство исходной математической модели (7.1), состоящее в том, что скорость изменения состояния определяется текущим состоянием и не зависит от его предыстории, следует потребовать, чтобы любые два сечения процесса случайных возмущений были независильы, т.е. чтобы для любых различных 1ь, 1з Е Т были независимы случайные венторьь С(1ь,ьо) и г,(1з,ьо). 3. Для сохранения непрерывности производной случайноео процесса Х(1,ьо), 1 Е Т, следует потребовать непрерывности процесса случайных возмущений С(ь',ьо), 1 Е Т.
Это требование сводится к существованию ограниченной дисперсии (см. теорему 3.6). Таким образом, в предположении, что случайный процесс Я1,ьо), 1 Е Т, центрирован, имеем М[( (1,ьо)Ц1,ьо)] < С < со, 1 Е Т. Рассмотрим процесс случайных возмущений С(1,ьо), 1 Е Т, удовлетворяющий требованиям 1-3, и попытаемся понять, что он из себя представляет. Ответ на зтот вопрос дает следующая теорема. Теорема 7.1. Пусть п-мерный случайный процесс С(ь,ьо), Ф Е Т = [О, 1„], удовлетворяет условиям: 1) М[Д1,ьо)] = О, 1 Е Т; 2) для любых различных 1ь, 1з Е Т сечения ~(8ь,ьо) и С(8з,ьо) являются независимыми случайными векторами; 3) М[~ (1,ьо)((1,ьо)] < С < со, ь Е Т.
Тогда М[( (1 ьо)((1 ьо)] = О, 1 Е Т 232 7. СТОХАСТИ ЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СОСТОЯНИЯ ~ В соответствии с прннятымн допущениями определен и-мер- ный случайный процесс (см. 3.4) е(Фм) = Г(ги) пг, 1 Е Т, о и с учетом условия 1 теоремы М1с(й,ьР)) = М ~(г,м) пг = М[Я(T,(~1)) 3T = О, г б Т. о о Кроме того, из существования случайного процесса с(~,м), 1 Е Т, и условия 2 теоремы вытекает, что для любых ~; Е Т, 1 = О, М, таких, что О = 1е < 1~ < < ~н = $ < 1„, имеет место равенство = 11щ ~~) М(~ (~;,ь~)~(соы))(Ь1;)~, в=о где Ь1; = й,+1 — й;, 3 = щах(Ь1Д.
Пусть Ь1; < —, Я=сопа1 > О. Ю Тогда с учетом условия 3 теоремы имеем и 1 а2 М(с (С,ы)с(1,ы)) < С1пп ~ ~(Ь1) <С 1пп Ю вЂ” =О. Л-+Е ' Н-+оо %а ~=0 233 7.К Случайнме возмущении в динамической системе Таким образом, при 1 Е Т .(1+ Ь „) .(1 ), т (1+ ал ) .(1 )З =М~(11ш ' ' ) 1пп м~( Ь а-+О Ь < 1пп М[1е (1+Ь,м)е(1+с1,ш)(~+ л,ь-+о ЬЬ |, +М1(е (с,и)е(1+Ь,сд)Ц+МЦе (1+Ьрсо)е(Е,О)11+ +и!;о, ) о, Я) =о, так как в силу неравенства Шварца М[е (1ым)е(1з,и)) < =О. Следствие 7.1, Если случайный процесс Д1,сс), 1 Е Т, удовлетворяет условиям теоремы 7.1, то в смысле среднего квадратичного (см.
3.1) с(1,ы)=О, дсТ, или, что то же самое, М~Щ,и)Я/ ~ = О, 1 Е Т. Следствие 7.2. Если Х(1) — решение задачи Коши (7.1), а Х(с,м), 1 Е Т, — решение стохастической задачи Коши (7.4), в которой процесс случайных возмущений Д1,ы), 1 Е Т, удовлетворяет условиям теоремы 7.1 и Хе(ш) = Хе, то в смысле среднего квадратичного 234 .и стОхАстичесиие мОДели сОстОЯниЯ или, что то же самое, М[[)Х(1,ы) — Х(1)~[~) = О, ~ б Т, так как случайная величина с нулевой дисперсией является детерминированной (ХЧ1]. Следствие 7.3. Не существует ненулевых случайных процессов с независимыми сечениями и ограниченной дисперсией. Итак, стохастическая модель (7.4) не дает никакой новой информации по сравнению с исходной детерминированной моделью (7.1). Нетрудно догадаться, что этот результат является следствием слишком жестких требований, предъявляемых к процессу случайных возмущений.
Проанализируем эти требования с точки зрения их возможного ослабления или устранения. Первое требование не является принципиальным, что уже было отмечено, а второе отражает основной принцип построения математической модели, согласно которому скорость изменения состояния объекта определяется его текущим состоянием. Таким образом, мы можем отказаться лишь от третьего требования, предъявляемого к процессу случайных возмущений. Этот шаг является естественным, так как в силу независимости сечений случайного процесса Д~,и), 1 Е Т, его ковариациоииая функция имеет следующий вид: К~(11,1э) = 2хГб(1э — 11), 1м 1э й Т, (7.5) где б(~) — б-функция Дирака, а Г Е М„(Гь) — постоянная матрица. Таким образом, случайный процесс ~(1,ь~), 1 Е Т, с независимыми влечениями является белым шумом.
Его спектральная пяоспиоспьь в~(и) = Г постоянна и не зависит от частоты и. Матрицу Г называют мапчрицеб слемпзраяьмых импзеисиеиоспзеб. хь Случайные возмущение в динамической системе 235 Отказ от требования ограниченности дисперсии процесса случайных возмущений является основополагающим при построении стохастических моделей состояния. Действительно, при проведении гармонического анализа в детерминированной модели состояния (7.1) каждой компоненте хь(1) вектора состояния Х(с) соответствует вполне определенный ограниченный спектр частот.
Пусть относительно процесса случайных возмущений С(1,и), 1 Е Т, приняты самые общие допущения, но полоса спектра каждой его компоненты ~ь(1,и), 1 Е Т, содержит весь спектр частот компоненты хь(Г) вектора состояния Х(1). В зтом случае для каждого и = 1, и спектр случайного процесса ~ь(1,м), 1 Е Т, можно считать постоянным в пределах ограниченного спектра й-й компоненты вектора состояния. А зто означает, что для вектора состояния Х(1) детерминированной модели состояния (7.1) процесс случайных возмушений— белый шум.
При проведении дальнейших рассуждений воспользуемся положительной определенностью и симметричностью матрицы Г спектральных интенсивностей случайного процесса с(1,ы), с 6 Т, обладающего нулевым математическим ожиданием и ковариационной функцией (7.5).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
