XVIII Волков И.К., Зуев СМ., Цветкова Г.М. Случайные процессы (1081434), страница 30
Текст из файла (страница 30)
В 244 т. стОхАстические ЧОдели сОстОяния Пример 7.2. Пусть в стохастической задаче Коши (7.8) и=2и В зтом случае резольвенту СС(С, т) можно найти в виде (7.10): /О 1'~ 1 с' вЬ(С вЂ” т) сЬ(С вЂ” т) 1 В(С, т) = СС(С вЂ” т) =ехр (С вЂ” т) ~ 1 О~ ~сЬ(С т) вЬ(С т)) и, согласно (7.13), математическое ожидание решения стохастической задачи Коши (7.8) определено равенством вЬ(С вЂ” т) + 2 сЬ(С вЂ” т) т(С) = С > О.
2 вЬ(С вЂ” т) + сЬ(С вЂ” т) ) В рассматриваемом примере начальное состояние является детерминированным, поэтому Ео — — 6 Е Мз(И) и задача Коши (7.15) для определения ковариационной матрицы Е(С) = (ЕИ(С)) с учетом ее симметричности может быть представлена в следующем виде: Е'„(С) = 2Е,С(С)+1, 1'сз(С) — ~ 11(С) + 1'22(С)~ Езз(С) = 2Есз(С) + 1, к„(о) = к„(о) = к„(о) = о. Решение этой задачи Коши можно найти стандартными методами ['1СПЦ, П2, и оно имеет вид ~(С) =- 1 ( вЬ(2С) сЬ(2С) — 1 ~( 2 ~сЬ(2С) — 1 вЬ(2С) / Для завершения рассмотрения примера достаточно подставить полученные результаты в правую часть (7.14). 7.2.
Линейные стояастичесмие дифференциальные уравнения 245 Из теорем 7.2, 7.3 можно сделать следующие выводы. 1. Так как решение Х(1,ат), 1 Е Т = [О, оо), стохастической задачи Коши (7.8) является п-мерным нормальным марковским процессом, то его одномерная функция плотности вероятностей является плотностью п-мерного нормального распределения [ХЛ) и имеет следующий вид: где х — п-мерный вектор-столбец, математическое ожидание т(1) определяют согласно (7.13), а ковариационная матрица Е(1) является решением задачи Коши (7.15). 2. Поскольку Х(Ф,от), 1 Е Т, — марковский процесс, то его от-мерная функция плотности вероятностей ~(х1о1, хП1,..., х ттт1) может быть представлена в следующем виде (см. 2.5): У(х(о1 хП1," х1м1) = У(х1о1) П У(х1ь1! х1е-П) где условная Яуннция платанастни вероятностей — т(Сь!1ь д)~ [Е(1ь/Ц,)~ [х1ь1 — тп(1ь[1ь т))) (7.16) является условной плопьностпью распределения и-мерного случайного вектора Х(сь,ат) при условии, что и-мерный случайный вектор Х(ть т,м) принял некоторое фиксированное значение х1ь,1 Е яь", а (2п)-мерный случайный вектор < Х(1л т,та)) Х(1ь, ы) / имеет нормальное распределение.
При этом можно показать, что условное матаематпичеснае ожидание тп(1ь[1тт т) и ковариационная матрица Е(1ь~1ь 1) являются решениями следующих 246 7. СТОХАСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СОСТОЯНИЯ задач Коши: = а(о,д)т(д]дь д), дь д < д < дю < ддт(8]дь д) Й т(дь-д ]де-д) = х1ь-д1, (7.17) д1Е(д)д„ ,) т й =а(о,$)Е(д]дь д)+Е(даждь д)а (д,о)+ +Ь(о,д)Ь'(о,д), д„д <1 <дю (7'8) Е(дь д ] дь д) = 9. 3. Условную функцию плотности вероятностей для нормального процесса можно получить и не прибегая к условным математическим ожиданиям и ковариационным матрицам. Действительно, пусть 0 < дд < дг < оо и Х(дд,ад), Х(дг,ю) — два сечения и-мерного нормального марков~кого процесса Х(д, ьд), д Е Т, являющегося решением стохастической задачи Коши (7.8). Его условная функция плотности вероятностей может быть представлена в виде т ,) (х(г) ] х(д)) = — ехр ~ — - ~х~г) — т(дг) + Угг Удг х т Ь - Р4 ~**~ч*) - -Р Н ~;.ч' (*~п - Р И3), (7 19~ Ъдд = (Е(дд) — К(дд,дг) (Е(дг)) дК(дг,дд)] ЕК(дг,дд) — Е(дг) (К(дыдг)) 'Е(дд)] Ргд = (К(дд1дг) Е(дд) (К(дг, дд)) Е(дг)] "'гг= ~Е(дг) — К(дг,дд)(Е(дд)) К(дд,дг)] где математическое ожидание т(д), ковариационная функция К(дд,дг) и ковариационная матрица Е(д) случайного процесса Х(д,ьд), д б Т, определены равенствами (7.13), (7.14) и (7.15) соответственно, а 7.2.
Линейные стахастические дифференциальные урааненна 247 Чтобы доказать равенство (7.19), рассмотрим (2п)-мерный случайный вектор 7(а1), для которого т а М[У(Ь1)] = Х (~з, ь1) 6 7 Е(С1) К(С„С,) 1 Е = соус[7 (1а)] = ~ и который имеет (2в)-мерное нормальное распределение.
В этом случае его плотность распределения равна ГЯг1т Дх~П,я~э>) = ехр~--[У вЂ” т] У[У вЂ” т]), ~(2)- т где У А (х х ) Е Из". При этом из условия ЕУ = 11„ получаем систему матричных уравнений Е(~1) У11+ К(~1, 11) У11 —— 1„, К(С„С1) Уы+ Е(~,)У„= й, Е(11) У11 + К(11,11) У11 = ~, К(Р1А)У1г+ ЕЬг)У11 = 1 ° Выразив из второго уравнения У11 = — [Е(~1)] 1К(~1,11)У11 и подставив в первое уравнение, приходим к равенству [Е(С1) — К(11 йг) [ЕРг)) К(йг,й1) Уы = 7„, из которого и определяем матрицу У11. Совершенно аналогично находим матрицы У11, $'11, У11 и устанавливаем равенство ЕР1) = [Уи — У1гУ11 У11) 248 7.
СТОХАСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СОСТОЯНИЯ Блочная матрица 1~ = Е ' является симметрической, т.е. $~ = 1'ы, ргг = ргг 1'п = 12м так как симметрической является ковариационная матрица Б (2п)-мерного случайного вектора у(м). Для вычисления определителя матрицы Ъ' используем основное свойство блочных матриц, согласно которому операции над блочными матрицами выполняются по тем же правилам, что и операции над числовыми матрицами (П1). Таким образом, ры р12 1ы р22р22 ~21 Р21 122 1 21 Р22 = [1'22)(Ры — кггР22 ~'22(. А так как непосредственной проверкой можно убедиться в справедливости равенств (У вЂ” т) Р(У вЂ” т) = т я121 т(22) 1 ("ы 1''22 ( (*121 — т(12) 1 2121 — т(22) / 1, Ъг, 1'22,) ~, я121 — т(22) / = [*(г1 т(22) + "'гг'~22(*12) ~Фа))1 к х Ъгг[я121 — т(22) + 2~22 1ы(я12) — т(2!))1 + + [*12) — т(гз)3 (1ы — ~'221'22 1'г2) [*12) т(22)[ то плотность распределения (2п)-мерного случайного вектора т(и) можно представить в следующем виде: ЙЯ(г1 Я121) = ~ — ехР~-- ~~*12) - т(22)+ 1'г, $',г х 1~ 22! ( т ')( (2л)" ~ 2 [ т "(*и) ИН! ~ ("р> И+Я'Ъ~рп) (~Н/)" 1 / 1 т -Р( — !рай)- ~~)! И)Г ~*д>- а)1), (.) ~~о и 7.2.
Линейные схоластические дифференциальные уравнения 249 где множитель У(х01) = 1 / 1 т — «.( — )*(,)--)(,)) )с)(,)Г )*(,(--)(,))) )2 ) ~с)()) 2 есть не что иное, как плотность распределения случайного вектора Х(11,)с). Но тогда условнал плотность распределения и-мерного случайного вектора Х(1з,а)) при условии, что и-мерный случайный вектор Х(1цол) принял некоторое фиксированное значение хбц Е К", действительно задается равенством (7.19), так как У(*00 *~ 1) Дхбц ~ хРЦ) = Дхрц) 4. Если в стохастической задаче Коши (7.8) а(о,1) = а, Ь((х,1) = Ь при любых 1Е Т, где а, Ь Е М„(К) — постоянные матрицы, причем действительные части всех собственных чисел матрицы а отрицательны, то при больших значениях времени 1 решение Х(1,(с), 1 Е Т, можно считать стационарным (в илироком смысле) нормальным марковским случайным процессом.
В самом деле, т(1) является решением задачи Коши для нормальной системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) т(1) = ат(1), т(О) = то, которая в силу отрицательности вешественных частей собственных чисел матрицы а является асимптотичесии устойчивой, т.е. 1пп т(1) = О. (-+ос Поэтому для любого сколь угодно малого с ) 0 существует такое 1', что для любых 1 > 1* имеет ме~то неравен~тво /!т(с)// (с, 250 х стОхлстические мОДели сОстОЯниЯ т.е.
можно считать, что т(С) = О для всех С > С*. Теперь осталось показать, что при больших значениях Сг, Сг Е Т, где С1 < Сг, имеет место приближенное равенство Для упрощения дальнейших рассуждений ограничимся скалярным случаем стохэстической задачи Коши (7.8), в которой а(а,С) = -<Сг, Ь(а,С) = Ь при любых С Е Т, где Ь и Ы вЂ” действительные числа, т.е. рассмотрим скалярную стохастическую задачу Коши: йу(С,ы) = — ~Сгу(С,и) й+ Ыьг(С,ы), у(0, ьг): — О, где м(С,ьг), С > О, — скалярный винеровский процесс, выходящий иэ 0 и имеющий коэффициент диффузии ог = 1.
В сформулированной стохастической задаче Коши начальное условие является детерминированным, а резольвента Й(С,г) соответствующего обыкновенного дифференциального уравнения и'(С) = — Ри(С) имеет следующий вид: 1г(с г) е-л'0-,) Согласно (7.15), ковариационная матрица г.,'(С) — дисперсия скалярного случайного процесса у(С,м), С > О, — в данном случае является решением задачи Коши ~® 2,Сгт'.(С) + Ьг Е(0) = О, которое можно найти стандартными методами [Н11]: Хг.
Линейные етояаетнчеение дифференциальные. уравнения 251 Чтобы показать, что прн больших значениях См Сг б Т значение коварнацнонной функции К(С„С2) определяется в основном разностью Сг — Сы достаточно воспользоваться равенством (7.14) прн Сс < Сг. Действительно, в данном случае Ь у 2 = — (ехр~ — юС (Сг — С,)) — ехр~-И (Сг +Сг))) г 2121. 62 ж — ехр [ — И~(С2 — Сг )], Ы2 что и требовалось доказать. Замечание 7.1, Марковский процесс с течением времени „забывает" свое исходное состояние.
Покажем зто в частном случае. Пусть в стохастнческой задаче Коши (7.8) а(а,С) = о, 6(о,С) = Ь прн любых С Е Т, где а и Ь вЂ” постоянные квадратные матрицы порядка п, причем действительные части всех собственных чисел матрицы а отрицательны. Выберем пронзвольный момент времени я б Т, обозначим его через Сь, и зафиксируем значение случайного процесса Х(С,м), С Е Т, т.е. полагаем Х(я,цг) = я(а). Прн сделанных предположениях нз (7.17) следует, что условное математическое ожидание удовлетворяет соотношенню т(С~а) — ~ т = О прн С-+ со. Кроме того, можно показать, что Е(С(л) — ~ Е прн С-+ оо, где матрица Е Е М„(К) удовлетворяет матричному уравнению аЕ +Е а +66 =9 и, согласно теории матриц', может быть представлена в следуюшем виде: Е = ехр(аС) 6Ь ехр(а С) й. о 'Сил Беллнаи Р. 252 7. СТОХАСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СОСТОЯНИЯ Поэтому ((хр)~х(,1) -+ ((х01) при ~-+ ос, где 1(х01) — функция плотности вероятностей в-мерного случайного вектора, распределенного по нормальному закону с нулевым математическим ожиданием и ковариационной матрицей Е Замечание 7.2.
Если выполняются предположения из замечания 7.1, то ковариационную матрицу Е(1) можно представить в виде Е(1) = и(1) + Е где и(1) -- некоторая матричная функция. Эта функция, со- гласно (7.15), является решением задачи Коши и(1) = аи(1) + и(1) а, и(0) = Ео — Е Так как решение этой задачи известно: и(1) = ехр(а1) (Ео — Е ) ехр(а 1), то ковариационная функция Е(1) имеет следующий вид: Е(1) = ехр(а1) (Ео — Е ) ехр(а 1) + Е В рассматриваемом случае математическое ожидание т(1) решения стохастической задачи Коши (7,8) удовлетворяет нормальной системе обыкновенных дифференциальных уравнений т(1) = ат(1), резольвента которой (см. П2) Н(11,1з) = ехр(а(1з — й1)) = Н(1з — 1,).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
