XVIII Волков И.К., Зуев СМ., Цветкова Г.М. Случайные процессы (1081434), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Автоматическая телефонная станция обеспечивает не более 120 переговоров одновременно. Средняя продолжительность разговора 60 секунд, а вызовы поступают в среднем через 0,5 секунды. Рассматривая такую станцию как многоканальную систему обслуживания с отказами и простейшим входным потоком, определим: 1) среднее число занятых каналов К,р, 2) относительную пропускную способность в; 3) среднее время 1,р пребывания вызова на станции с учетом того, что разговор может и не состояться.
Все заявки, не получившие отказа, должны быть обслужены. Поэтому вероятность того, что заявка, поступившая в систему, будет обслужена, есть не что иное как относительная пропуск- ная способность в изучаемой системы. Итак, о. Т. Стационарные режимы некоторых систем 219 Рассматриваемая система представляет собой систему обслуживания с отказами, находящуюся в стационарном режиме функционирования.
Она обладает следующими характеристиками: число каналов обслуживания ти = 120 велико; интенсивность входного потока Л = 1/0,5 = 2; интенсивность обслуживания р = 1/60; приведенная плотность потока заявок а = = Л/р = 120. Учитывая 16.37) и и~пользуя таблицы функции Лапласа '1ХН1], получаем Н(119; 120) Л(120;120) так как 1 = — + Ф( — 0,046) = 0,5 — Ф10,046) = 0,482, Я(120;120)- — +Ф( ' ) = 2 Л200 1 - — + Ф( — 0,046) - 0,518. 2 Далее, согласно (6.37), находим д = — Р 0,931.
71 ср се А так как Л есть интенсивность входного потока 1число заявок в единицу времени), то Ле,р — — Кср и 1ср — — — 'Р 112/2 = 61. Л 220 6. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ Системы обслуживания с ограниченной длиной очереди. Отметим особенности стационарных режимов функционирования таких систем. 1. Для т-канальной системы обслуживания, длина очереди которой ограничена числом М < оо, интенсивность и ухода заявок из очереди зависит от ее возможного состояния 5;: О, 0<1< т+Х; со, 1> т+Х. (6.38) При стандартных предположениях относительно входного по- тока и законов распределений времени обслуживания и времени ожидания (см. 6.2, 6.3) математическая модель исходной систе- мы в соответствии с (6.16)-(6.18) имеет следующий вид: р (1) = Лр;, (1) — (Л+ ць) р Я + (1 + 1) рр +1(1), г = О, т — 1, р 1(1) = О, С > О, р' +„Я = Лр +„1(1) — (Л+ тр)р +„(1) + +тор +„+1(1), с=О,Х вЂ” 1, 1>0, где й = 1, т+Ю и 1 — некоторый фиксированный элемент множества (О, 1, ..., т+ Ю).
2. При изучении стационарных режимов функционирования систем обслуживания с ограниченной длиной очереди можно использовать результаты из 6.6, учитывал, что в данном случае множество возможных состояний системы (5ь)„+о конечно, а интенсивность ухода заявок из системы нулевая (и = 0) и, 221 6.7. Стаиионарные реиныы некоторых енетен согласно (6.23), 13 = О. Из (6.21), (6.22), (6.24) с учетом (6.38), (6.23) находим вероятности состояний: 1=1,т, +~~~)р т! т Вероятность отказа равна р, „ = р +~ч, а относительную пропускную способность системы вычисляем через вероятность отказа:у=1 †Пример 6.7. Два рабочих обслуживают шесть однотипных станков.
Остановка каждого работающего станка происходит в среднем каждые полчаса, а процесс наладки занимает в среднем 10 минут. Необходимо определить: 1) среднюю занятость рабочих; 2) среднее количество неисправных станков; 3) абсолютную пропускную способность рабочей бригады. В данном случае интенсивность входного потока Л = 1/0,5 = = 2, интенсивность обслуживания и = 6, число каналов обслуживания т = 2 (два рабочих с одинаковой квалификацией). Возможны следующие состояния системы: Яо все станки работают и рабочие свободны; Ял — один станок остановился и один рабочий занят, а второй свободен; Яз — два станка остановились и оба рабочих заняты; эз+„ — остановились 2 + г станков, г = 1,4, оба рабочих заняты и г станков ждут обслуживания.
На рис. 6.6 изображен раэлееченный граф состояний рассматриваемой системы обслуживания — типичного представителя так называемых замкнутых систем обслузюмвония. В 222 6. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ 6Л 62 4Л ЗЛ 2Л Л Бо Бг Бг Б4 вв вв Р 2Р 2Р 2Р 2Р 2Р Рис. 6.6 этих системах интенсивность потока заявок зависит от состояния самой системы обслуживания. Данная специфика не позволяет непосредственно использовать результаты, приведенные выше. Для построения системы линейных алгебраических уравнений относительно стационарных вероятностей рь (й = 0,6) пребывания системы в возможных состояниях Бь воспользуемся размеченным графом состояний и результатами анализа стационарных режимов процессов еибели — размножения (см.
6.4). На основании этих результатов получим — 6Лро+ цр1 = О, 6Лро — (5Л + гг) р1+ 21грг = 0 5Лрг — (4Л+ 21г) рг+ 2ррз = О, 4ЛРг — (ЗЛ+ 21г)рз+ 21гр4 = 0 ЗЛрз — (2Л+ 21г)рв+ 21грв = О, 2ЛР4 — (Л+ 2р)рв+ 2ггрв = О, Лрв — 2црв = О. Решая эту систему линейных алгебраических уравнений при Л = 2 и р = 6, находим 5 10 5 5 5 Рг =2ро, Рг = Ро, Рз= Ро, Р4 = Ро Рв= — Ро, Рв= Ро. 3 ' 9 ' 9 ' 27 ' 162 'Тождество (6.16) принимает вид ( 5 10 5 5 5х 1 + 2+ — + — + — + — + — ) ро = 1. 3 9 9 27 162 Отсюда находим вероятность пребывания исходной системы в состоянии оо'.
162 1061 223 Вопросы и задачи Среднее число неисправных станков есть математическое ожидание числа станков, связанных с процессом обслуживания (ремонтируются или ждут обслуживания): 5 10 м,р —— „') Йрь= )~1 2+2.— +3.— + 3 9 я=1 5 5 5 т + 4 ' — + 5 — + 6 — ) ро = 12ро = 1,832 9 27 162 Среднюю занятость рабочих р находим как математическое ожидание числа налаживаемых станков: р=1'рь+2'рз+2'рз+2'рч+2'рь+2 рв= = р1 + 2(1 — ро — р1) = 2(1 — 2ро) 1,389 При ингпенсивносгпи обслуживания р = 6 станков в час абсолюгпная пропускная способносп1ь рабочей бригады равна рр = 8,336. Вопросы и задачи 6.1.
Сформулируйте определение простейшего входного потока. Какие вероятностные характеристики простейшего потока Вы знаете? 6.2. Какую простейшую процедуру проверки статистической гипотезы о соответствии реального входного потока простейшему потоку Вы можете предложить? 6.3. Какие законы распределения обычно используют в теории массового обслуживания при анализе времени обслуживания и времени ожидания? Каким образом интерпретируют параметры этих законов? 6.4. При каких допущениях процессы массового обслуживания являются марковскими случайными процессами? 224 и ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ 6.6. Докажите тождественность правых частей равенств (6.25), (6.29) для определения среднего числа занятых каналов обслуживания.
6.6, Что можно сказать о существовании стационарных режимов функционирования чистых систем обслуживания с ожиданием? 6.7. Чем чистая система с ожиданием отличается от обычной системы обслуживания с ожиданием? 6.8. В чем заключается принципиальное отличие замкнутых систем обслуживания от следующих систем: а) чистой системы с ожиданием; б) системы с отказами; в) системы с ограниченной длиной очереди? 6.0. Выясните, можно ли испольэовать расчетные формулы (6.20)-(6.24) для определения предельных вероятностей следующих типов систем обслуживания: а) чистых систем с ожиданием; б) систем с отказами; в) систем с ограниченной длиной очереди; г) замкнутых систем.
Дайте обоснование ответа. 6.10. В систему обслуживания поступает в среднем две заявки в час. Считая входной поток простейшим, определите: а) среднее число заявок, поступающих в систему обслуживания за 8 часов; б) вероятность того, что в течение одного часа поступит по крайней мере одна заявка. От в ет: а) 16; б) 0,865. 6.11. В ресторан прибывает в среднем 20 посетителей в час. Считая поток посетителей простейшим и зная, что ресторан открывается в 11.00, определите: а) вероятность того, что в 11.12 в ресторан придет 20 посетителей при условии, что в 11.07 их было 18; б) вероятность того, что между 11.28 и 11.30 в ресторане окажется новый посетитель, если известно, что предшествующий посетитель прибыл в 11.25. От нет: а) 0,262; б) 0,487. 225 Вопросы и задачи 6.12.
Система обслуживания представляет собой автоматическую телефонную станцию, которая может обеспечить не более трех переговоров одновременно. Заявка-вызов, поступившая в тот момент, когда все каналы заняты, получает отказ и покидает систему. В среднем на станцию поступает 0,8 вызовов в минуту, а средняя продолжительность одних переговоров равна 1,5 минуты. Для стационарного режима функционирования системы необходимо определить: а) вероятности состояний системы; б) абсолютную и относительную пропускные способности; в) вероятность отказа; г) среднее число занятых каналов.
Ответ: а) ре 0,312, р1 0,374, рз 0,224, рз ю 0,090; б) 0,728, 0,910; в) 0,090; г) 1,09. 6.13. Автозаправочная станция имеет одну бензоколонку с площадкой, допускающей пребывание в очереди на заправку не более трех автомашин одновременно. Если в очереди на заправку уже находятся три автомашины, то очередная автомашина, прибывшая на станцию, проезжает мимо. В среднем на заправку прибывает одна автомашина в минуту, а сам процесс заправки в среднем длится 1,25 минуты. Для стационарного режима функционирования автозаправочной станции необходимо определить: а) вероятность отказа; б) относительную и абсолютную пропускные способности; в) среднее число автомашин в очереди на заправку; г) среднее число автомашин, находящихся на автозаправочной станции; д) среднее время ожидания в очереди; е) среднее время пребывания автомобиля на автозаправочной станции.
Ответ: а) 0,297; б) 0,703, 0,703; в) 1,56; г) 2,44; д) 1,56; е) 2,44. 6.14. Найдите решение задачи 6.13, если в ее условия внесены следующие изменения: автозаправочная станция располагает двумя бензоколонками; в среднем на автозаправочную 226 б. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ станцию прибывает две автомашины в минуту; в среднем время обслуживания — две автомашины в минуту. От вет: а) 0,502; б) 0,488, 0,496; в) 2,18; г) 4,14; д) 1,09; е) 2,07. 6.15.
Рабочий обслуживает три однотипных станка. Каждый станок останавливается в среднем два раза в час, а процедура наладки занимает в среднем 10 минут. В стационарном режиме функционирования системы нужно определить: а) вероятность занятости рабочего; б) абсолютную пропускную способность рабочего; в) среднее количество неисправных станков; г) среднюю относительную потерю производительности обслуживаемых станков за счет неисправностей. От вет: а) 0,654; б) 3,94; в) 1,04; г) 0,347. 7. СТОХАСТИЯЕСКИЕ МОДЕЛИ СОСТОЯНИЯ Решение практически важных задач, будь то расчет подьемной силы крыла самолета или прогнозирование динамики распространения инфекции в определенном регионе, предполагает наличие матемагнических моделей изучаемых явлений, позволяющих применять количественные методы исследования.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
