XVIII Волков И.К., Зуев СМ., Цветкова Г.М. Случайные процессы (1081434), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Поэтому, если в стохастической задаче Коши (7.8) вектор начального состояния Хо(м) обладает нулевым математическим ожиданием и ковариационной матрицей Ео — — Е„, то ее решением является стационарный (в широком смысле) случайный процесс, что следует из (7.13), (7.14), тождества Е(1) = Е, и вида резольвенты 71(11,1з). 253 7.3 Стохаетячеекие интеграеы и диффереициаеы Замечание 7.3. Пусть в стохастической задаче Коши (7.8) Хо(ш) ен хо Е и", а(о, 1) = а и а(о, ~) = 6 при любых ~ ) О, где а и 6 — постоянные квадратные матрицы порядка и и действительные части собственных чисел матрицы а отрицательны.
Если эту стохастическую задачу Коши интерпретировать как математическую модель линейной динамической системы с невозмущенным начальным состоянием, на вход которой поступает белый тиум, то ее реакцию можно рассматривать как стационарный (в широком смысле) нормальный марковский случайный процесс лишь при больших значениях текущего времени г, так как в рассматриваемом случае Ео = 6 ф Е (см.
замечания 7.1 и 7.2). При больших значениях текущего времени в любой динамической системе, обладающей свойством асимптотической устойчивости (решение соответствующей нормальной системы обыкновенных дифференциальных уравнений являет~я асимптотически устойчивым), происходит фактическое затухание переходных процессов.
На этот факт мы уже обращали внимание, анализируя преобразование стационарного случайного процесса при его прохождении через линейную динамическую систему. Т.З. Стохастические интегралы и дифференциалы Изучение нелинейных стохастических моделей состояния вида (7.7) дХ(~,ш) = А(Х,о,1)й+ В(Х,о,1)дш(1,ш), Х(О,ш) = Хв(ш) представляет собой сложную задачу, успех решения которой в значительной степени зависит от конкретного вида правой части матричного нелинейного стохастическово диффереициальиоео уравнения. Но общие принципы и особенности исследования таких моделей можно установить.
Именно этому и 254 7. СТОХАСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СОСТОЯНИЯ посвящен данный параграф. Предполагается, что для любого фиксированного м Е Й соответствующая детерминированная задача Коши удовлетворяет условиям теоремы существования и единственности решения. Это означает, что матричные функции А(Х,о,1) и В(Х,о,1) удовлетворяют определенным условиям гладкости, а исходная математическая модель может быть представлена в виде интегрального уравнения с Х(1,ы) = Хо(ы) + А(Х(т,ы),о,т) дт+ о ! + В(Х(т,ы),о,т)йо(т,м), 1 > О.
(7.20) о Первый интеграл в правой части уравнения (7.20) представляет собой интеграл от случайной функции по времени, а второй — интеграл от случайной функции по винеровсно.иу процессу. Понятие стохастичесного инепеграла по винеровсно.иу процессу и его свойства требуют обстоятельного изучения. Изучение таких интегралов начнем с простого примера. Пример 7.3. Пусть ю(1,м), г Е Т = [О, оо), — скалярный винеровский процесс с коэффициента.и диффузии о~ = 1. Рассмотрим интеграл 1(1,в) от винеровского процесса по этому же винеровскому процессу: Ц8, в) = ы(т, ы) диэ(т, оэ), 0 < в < 1 < со. Отметим сразу, что если ю(т,м) ив е в(т) — непрерывно диффе- ренцируемая неслучайная функция, то 1( з() г( )) 7.3.
Столлстнческне интегралы н дифференциалы 255 Для любых 1, в Е Т, 1 > в, интеграл 1(л,в) определяют следующим образом. Пусть т Е [О, 1] — параметр, Ьс 4 (1 — в)/1лс, 4 = в + (й — 1) с."11, й = 1, А1+1. Тогда 1(1,в)А й1щ ~~ [тю(1ь+1 ю)+(1-у)ю(1ью)] х Ьс-ло 1с= 1 1Ч Х [Ю(11+1сСсС) — Ю(1Ьс1с1)] = йсщ ] — ~ [ЮЗ(1Ь+1,СсС) — ЮЗ(ЕЬ,Сц)] + ьс-+о 2 1с=1 +( —;)ЕС"Сс» )- 1с )|*)=--~ '<с, )- Ч, 11+ й=1 1 + (-у — — ) 11щ 11 [ю(1ь+1,цл) — ю(1ь,о1)] . '"'1=1 А так как ю(1,о ), 8 Е Т, — винеровский процесс, то ю(1ь+1,ц1)— — ю(1ь,сц), Й = 1, А1, — независилсые случайные величины, распределенные по нормальному закону с нулевым лсаплеллатичеснилл ожиданием и дисперсией, равиой Ь1.
Таким образом, случайная величина , ( Н(1ь+„ю) — ю(1ь,ю) распределена по закону Кз с одной степенью свободы и, значит [ХЧП], М[е(ю)] = 1, П[е(цс)] = 2. Поэтому М[(ю(1Ь+1 цС) Ю(1ЬОЛ)) ] = — лд[ю(11+1,Сц) — Ю(1Ь,Сц)] ГН ЬС, лд [(ю(11+1,сц) — ю(ль,цс)) ] = = М[((ю(11+1,ссс) — ю(11„ссс))з — Е~|) ] = 2(Дс1)1. 256 7, СТОХАСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СОСТОЯНИЯ Введем случайные величины тть(ю) 4 [пт(1у,.ьт,и) — ит(1ь,от)~ — Ь1, )т = 1, ттт. Они являются независимыми как функции от независимых случайных величин и М[тр,(от)~ =О, Э[т1ь(ьт)~ = 2(Ь1)~ =, й = 1, Ю. 2(1 — я)з Но тогда так как ДтЬ1 =1 — я, при Ь1 -+ О, а любая случайная величина с нулевым матема- тическим ожиданием и нулевой дисперсией есть нуль. Таким образом, 1(1,я) = Йт(1,я) = 0,5[то~(1,от) — от~(я,от)~ — (у — 0,5)(1 — я), н мы имеем однопараметрическое семейство интегралов с па раметром 7 б (О, 1).
Замечание 7.4. В практике научных исследований используют два типа стохастических интегралов нз множества 1.,(1, я): ят ат-+о ~Л-~ ь=т [то(1~+т,от) — то(1ыот)]' = !пп ",т'[Ь1+ т1„(от)' = = 1пп (ГтЬ1)+ 1пп ~ щ(от) =1 — я, ат-+о ат-+о я=1 М~~> тть(от)~ = ~~т М[т1ь(от)~ = О, ь=т лют Р~~» т1ь(м)~ = ~~т Р[т1ь(от)~ =2Дт(Ы) -+О 1о(1гя) = 0,5 (пт~(1, ьт) — ит~(л, ~о) ) — 0,5(1 — я), ~од(1,я) = 0,5(пт (1,ьт) — то (л,от)).
257 7.3. Стохаетичеение интегралы и дифференциалы Интеграл 1в в(1,в) внешне совпадает с интегралом от неслучайной функции и((т). На первый вэгляд, следовало бы именно его испольэовать при анализе стохастических моделей состояния. Но далее убедимся, что интеграл 1в(1в) имеет ряд преимуществ при решении эадач о нахождении математического ожидания случайного процесса.
рассмотрим интеграл по случайному процессу от неслучайной функции: 1(Ф, и) = ~р(т) Йи(т,щ), где р(8), 1 Е Т, — непрерывная неслучайная скалярная функция, а о(1,(ц), ~ Е Т, — дифу(еренцируемый скалярный случайный процесс с ортогональными приращениями, причем для любых 8,вЕТ Определение 7.2. Стпохастпичеспим иптпегролом отп неслучайной скалярной функции д(1), 1 б Т, по дифференцируемому скалярному случайному процессу со стаационарными неэависимыми приращениями и(е,(э), 8 Е Т, в пределах от в Е Т до 1 Е Т наэывают случайную величину 1(1, в) = (р(т) ди(т,(о), 258 7.
СТОХАСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СОСТОЯНИЯ определяемую равенством Ц1, в) = 1пп ~) )р(1ь) [о(1ь+ыь)) — о(1ь,)о)], а=а где 1ь = в+ (й — 1) Ь1, й = 1, И+1, Ь1 = (Ф вЂ” в)/Ж. Покажем, что при сделанных предположениях относительно неслучайной функции )р(1) и случайного процесса о(1,ь)), 1 й Т, М[1(1, в)] = )р(т) т'„(т) йт, (7.21) Э[Щ в)) = )р (т) В' (т) йт. (7.22) Действительно, согласно определению 7.2, из свойств скалярного случайного процесса о(8,ь)), 1 е Т, следует, что М[7(1,в))= 1нп )) )р(1ь)М[о(1ььмь)) — о(4,ь))~ = а=1 где в соответствии с принятыми допущениями использовано свойство дифференцируемости функции.
Таким образом, равенство (7.21) доказано. Для доказательства равенства (7.22) рассмотрим ценп)рированный случайный процесс НЗ. Статистические интегралы и дифференииалы 259 и напомним (см. пример 2.3), что для случайного процесса с ортогональными приращениями сон [о(1, и2) — о(л, 1и); о(1, 1и) — о(л, о2)) = Й„(1) — Щл). С учетом этого рассмотрим разность Л1 Ц1,л) — МЩ1,е)~ = 1цп ~ Ч2(1ь) [е(1ь+1,о2) — о(1ь,о2)]— Ю->оо Ь=1 2» — 1пп ~> 1р(1ь) [т„(~ь+1,и>) — нл„(1ь,а1)] = Л1-лоо ни 1 Л1 1ип,'> Чл(!л) [о(1ь+1,1о) — ц(еь,ь1)].
Ьа1 Таким образом, П(1(1,лЦ = М[Щг,л) — МЩ1,л))) ] = !пп ~~1 ~> ~р(1л)уеду)М[(о(!ь»1,1и) — о(1ые2)) (е(~ге1,1и)— Ьи! Уа1 — о(12,ь1))] = 11п1 ~~> ср (1ь)М[(о(1ь+1,1н) — о(1ьь2)) ] = Л1 !цп ~~1 ~р2(1ь) [27 (1л+ ) г1 (1ь)] где в соответствии с принятыми допущениями использовано определение дифференцируемости функции. Таким образом, равенство (7,22) также доказано полностью, 260 7 СТОХАСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СОСТОЯНИЯ Теперь перейдем к рассмотрению важного случая, когда подынтегральная функция зависит от винеровского процесса. Определение 7.3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
