XVIII Волков И.К., Зуев СМ., Цветкова Г.М. Случайные процессы (1081434), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Стояастичесяие модели состояния и уравнения Колмогорова 289 Таким образом, при ( =Д1,ш), 1Е Т, яо(л 1 + /~1) д( л 1) М [(еал[Ф1(л)ы+с((л1ь я) 1)е~л4~ М[( юла((д)ьы( зла(~д1ьй 1) + ему((л)а~о 1) ел~~ = М[(1лу(с 1) ."11е'ла(~л)о + е'ла(~,с)а — 1) е'л<) Фиксируем 1 е Т. Обозначим через Е,(Х,У[1) плотность т т т распределения случайного вектора (~ (1,ш) Ью (1,ы)), а через Е (Я~1) — плотность распределения случайного вектора лю(с,ьл). Тогда в силу независимости сечений слю(1,ьл) от Д1,ш) имеем Таким образом, И 1 не +е' 1 "1 — 1)е' Ея(Х~Е) Е ДЦдха.о= елыр(Х е)л,1 лс1х4гЕ (тп)лт.+ Ия + е'ло1хд18Е,.(Е[с) Ы вЂ” 1, лх~~(Хф дХ ип А так как ю(1,ьл), 1б [О, оо), — и-мерный винеровский проиесс и М[Ьш(1,ш)~ =О, М[Ью(1,ш)(Ьш(1,ш)) ~ =Е„Ь1, 290 8. МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ то плотность распределения у (Я~1) для случайного вектора ььп)(8,ьг) есть плотность п-мерного нормального распределения ~ХЧЦ с нулевым математическим ожиданием и ковариационной матрицей Е = 1„Ы и определяется равенством Следовательно, | т~ ,'~<"4'г.)г)р)«я= ) р)р«а)хр)г- — )ря= )2 ьр)"« 2Ь~ ир р)- -«а)х, р) а*) яд) «*ьр) р )2 ьр) «|.«р) — ')г-р)«с)яд)) ьр) ')г-;)«я)хр))'ьр) )«я= = ехр( — — ЛС(Х, й) С (Х,й) Л Ьй), так как функция у(г) ь х «))2 ьр)" «р( — )я — 1)«а)х,р)) ьр) )я — Ч«а)х,р)) ьр) ) является и-мерной плотностью нормального распределения и, следовательно, ДУ)Ы =1.
Используя полученный результат, заменяя экспоненту первыми двумя членами ее разложения по формуле Тейлора и отбрасывая В.З. Стохастичесние модели состояние и уравнения Колмогорова 291 слагаемые порядка малости о(Ы), получаем р ~ +ац — др ж) — 1 ( л)х ~)а»-""»"е'"<"е'*" + и» + -одла1хд)а 1хд)л с)) 1) лх~ (Х~ ),1Х =1 (ие)х ~)аф — о,ио)х со*)х ~)хы)— н» вЂ” 0,5ЛС(Х,1) С (Х,1)Л слс) е'~~Я(ХЦ ИХ = = /(ие)х ю)а~-оыо)хх)о)хх)л*ы)с~я)хрнх. и" Разделив правую и левую части полученного равенства на Ьс и перейдя к пределу при Ы -+ О, найдем еу)"') = /(ие)х д) - -'~о)хж)о*)хх)Г),""))хИ их.
Для перехода от характеристической функции к функции плотности вероятностей достаточно воспользоваться формулой обращения экспоненциального интегрального преобразования Фурье: )".(1')с) = 1 е '~~у(Л,с)ИЛ. 1 (2я')" ) и» В результате (Х1) приходим к следующему уравнению относи- тельно функции Л(У~с)) дУ~(У~1) 1 Г 1 . 1 т ( ( () Л)Р (Х, т) — -ЛС(Х, 1) С (Х, с) Л ) х и и» х е'~1~ ~1ЯХ~1) )1Х)1Л. (8.20) 292 Ж МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ Прежде чем приступать к анализу полученного уравнения (8.20), приведем без доказательства некоторые свойства 6-4унхции Дираха 1 1)еслиЛ=(Л, ... Л„)иХ=(х1 ...
х„),то Б(х~= — | '""Их= п( — | '*'"а*,) =ПБ(* н — г,„.„ Жп а=1 2) если функция р(Х) непрерывна в К", то для любого У еК" | Р(х)5(Х-У) ~Х = у (х)5(у-х) ых = ~(у); Жп Ж" 3) если функции у(Х) и ~Р'„(Х) непрерывны в К", то для любого У Е К" | (Х)д~(~ Х) ИХ=- 1д'Р(Х)аУ-Х)аХ=-д'Р(Х)~ Ж" Ж" 4) если функции ~Р(Х) и ~р" (Х) непрерывны в К", то для любого У й К" Жп (Х) ( ) гХ= ~ — 5(У-Х)ИХ= д'5 ~' — Х д'~Р(Х) д'р(Х) дх;дх; ,/ дх;дх, дх;дх~ Ж" 5) в интегралах, содержащих 5-функцию Дирака и ее производные, можно выполнить дифференцирование по параметру под знаком интеграла сколько угодно раз; 6) для частных производных 5-функции Дирака имеют место интегральные представления дхь (2я)",/ ' дх;дх (2я )" ~ Яп Ж" 'См.: (ХИ], а также Пуяачее В.С.
В.З. Стохастнчеснне модели состонннн и уравнение Колмогорова 293 Обратимся теперь к уравнению (8.20). Если суь(Х,~)— й-я координатная функция для векторной функции сР(Х,1), а С (Х 1) — скалярная функция, расположенная на пересечении *3( с)— т г-й строки и ~'-го столбца матричной функции С(Х,1) а (Х,1), то (8.20) может быть представлено в следующем виде: С~ '~=~|в,~х,сис(х~с)~ „Ссс,сч"-с>сс)сх— а=1 й» и» --,'~~|о„~х,с ух~с~( ' |сс,г*~'-»сс)сх.
с=1 х=1И и» Таким образом, согласно свойствам 6-функции Дирака, | Ф (Х ~) Д~(х)С) — гЛье'~~~ ~~ ИЛ НХ = е ~(2н)»/ и» дв(Х вЂ” У) эь(х,~) у,(х)~) их = дхь и» = — — [ф,(х,~) у,(х~а)]/ = — — [ф,(у,с) у,р ~с)], аб(Х,1) У~(х(1) — Л;Л,.е' ~ИЛ Их = ~ е ! ~ < 2 ~ | > ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ л < 2 х ~ у | и» и» дв'(Х вЂ” У) — а;,(х,~) у,(х~~) их = И" — [ао(х, ~) уха)] ~ — [а„(у, ~) д~ )~)], и мы приходим ко втпорому уравнению Колиоеорова (8.7) при замене 1 на т: д~ д 1» дз — +Š— (Фьу) — -ЕЕ (а' у) =О.
дт „, дул 2,, ду;ду, 294 В. МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ Если вспомнить, что Фь — Й-я координатная функция векторной функции Ф, а См — скалярная функция, расположенная на пересечении 4-й строки и у-го столбца матричной функции С(Х,1)С (Х,1), то из сопоставления полученного уравнения с (8.7) можно получить (8.18) и (8.19). Заметим также, что при выводе второго уравнения Колмогорова в данном случае не использовалось ограничение (8.10), а равенства (8.18) и (8.19) верны и при отсутствии непрерывности функций Ф(Х,е), С(Х,е) по~бТ.
Равенства (8.18), (8.19) позволяют реализовать переход от стохастической модели состояния (8.14) к уравнениям Колмогорова (8.4), (8.7), которым удовлетворяет условная функция плотности вероятностей Я,Х,г,У) марковского процесса ~(1,а)), Г б Т, определяемого стохастической моделью состояния (8.14). А так как уравнения Колмогорова (8.4), (8.7) полностью определяются матричной функцией Ь(Х,1) и векторной функцией а(Х,~), то равенства (8.18), (8.19) позволяют реализовать и обратный переход от уравнений Колмогорова к стохастическому дифференциальному уравнению. Пример 8.3.
Пусть второе уравнение Колмогорова для условной функции плотности вероятностей Я,х,т, у) скалярного марковского процесса Я1,а)),1 Е Т = (О,оо), имеет следующий вид; дУ д, д' — = — (у ~) + — (сйп(гу))). дт ду дуя Согласно (8.7), имеем а(х,1) = — хз, 6(х,1) = 2в)п(1х). Так как (см. 8.2) матрица диффузии неотрицательно определена, то уравнение Колмогорова определено лишь для значений г и у, удовлетворяющих неравенству сйп(гу) > О. Таким образом, из соотношений (8.18), (8.19) следует, что н.з.
Стохастичесхне модели состояние и уравнение Колмогорова 295 т.е. скалярный марковский праце~с Д1,и), ~ б Т, удовлетворяет стохастическому дифференциальному уравнению в форме тато: ав )=-6 а, )а+у2еае 1, ))ы в, ), где ю(1,м), с Е Т, — скалярный винеровский процесс, выходящий из О.
Знак перед радикалом в выражении для а(х,с) не играет роли в силу свойств случайного процесса иф,м), с > О. Если векторная функция а(Х,1) известна, то векторную функцию Ф(х,с), входящую в стохастическую модель состояния (8.14), можно однозначно определить из (8.18). Пусть известна матричная функция 6(Х,1). Рассмотрим (8.19) как нелинейную систему алгебраических уравнений относительно элементов ум(Х,1) матричной функции а(х,с). Нелинейная система (8.19) вследствие симметричности матричной функции о(Х,1) (это следует из равенства (8.6) ) имеет лишь н(н+ 1)/2 линейно независимых УРавнений и нз неизвестных до(Х,Ф). А так как при и > 1 имеет место очевидное неравенство н~ > > н(н+ 1)/2, то в общем случае система (8.19) имеет бесконечное множество решений.
Итак, в общем случае переход от уравнений Колмогорова к стохастическим моделям состояния, определяющим исходные марковские процессы, не является однозначным. Более того, эта неоднозначность возможна и в скалярном случае, т.е. при п = 1 (см. задачу 8.11, пример 8.3). В практике научных исследований для матричной функции а(Х,1) вводят, как правило, дополнительное ограничение а'(х,1) = а(х,~), позволяющее преобразовать матричное уравнение (8.19) к стандартному виду а'(х,1) = ь(Х,1). Л. МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ 296 Тогда можно достаточно просто найти решение этого уравнения с помощью квадратного корня иэ квадраенной симметрической маенрины', который определяется с точностью до знака: а(Х,1) = ~Ь(Х,~~. (8.21) Пример 8.4.
Определим си~тему стохастических дифференциальных уравнений, которой удовлетворяет двумерный марковский процесс ~(1,ео)= ', 1б Т=(О,оо), ~4з(1 ~)/' если условная функция плотности вероятностей этого случай- ного процесса у(1,х1,хз,т,у1,рз) удовлетворяет первому урав- нению Колмогорова с известными параметрами Ь, аз, Ь: дУ д1 ду аз для — + хз — — (й~х1+ 2Ьхз) — + — — = О. д1 дх1 да 2 Согласно (8.4), имеем а1(Х,1) = хз, аз(Х,1) = — (Ь~х1+ 2Ьхз), Ьы(Х,1) ив в Ьш(Х,1) = Ь11(Х,1) = — О, Ьзз(Х,1) ив н а~. Таким образом, матричная функция Ь(Х,1) являет~я симметри- ческой и для завершения решения исходной задачи достаточно воспользоваться равенствами (8.18), (8.21): Ф1(Х,1) = хз, 1Рз(Х,1) = — Ь~х1 — 2Ьхз, С(Х,1) = и выписать систему стохастических дифференциальных урав- нений, входящих в стохастическую модель состояния (8.14): д~1(1,1о) =4з(1,1о)й, Н(з(1,1о) = — [Й се1(1,1о) + 2Ььез(1,1о)1 Й+ а Йв($,1о), 'Снг Директор С., Рорер Р.
8.3, Стохастичесиие модели состояния и уравнения Колмогорова 297 где ю(С,м), С Е Т, — скалярный винеровский процесс, выходя- щий из нуля. В заключение отметим следующее. 1. При любых фиксированных значениях Х н С матрица диффузии Ь(Х,С) является симметрической и неотрицательно определенной. Поэтому с помощью ортогонального преобразования ее можно привести к диагональному виду, т.е. существует такая ортогональная матрица Т(Х с), что Т (Х,С) Ь(Х,С) Т(Х,С) =,9(Х,С) =Йа8(~3~(Х,С), ..., СС~~(Х,С)). При этом для определенности полагаем ~Я(х, С) = сс 1аб (~ Д (Х, С ) ~, ..., (Д, (Х, С) !) .
А так как равенство а'(Х,с) = Ь(Х,с) эквивалентно равенству (Т (Х,с)а(Х,с)Т(Х,с))2 = Т (Х,с)Ь(Х,с)Т(Х,с) =,9(х,с), а(Х,с) = Т(Х,с),/Ях,с) Т'(Х,с). то Пример 8.5. Чтобы вычислить квадратный корень из не- отрицательно определенной симметрической матрицы 2,5 -1,5 1 1 ~/2 ~(2 1 1 ~/2 ч'2 находим ее собственные числа Я = 1, Я = 4 и соответствующие им единичные собственные векторы, которые образуют орто- нормированную систему. Затем записываем матрицу 298 а МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ Таким образом, 2 1 -1 0 2 1 -1 -0,5 1,5 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
