XVIII Волков И.К., Зуев СМ., Цветкова Г.М. Случайные процессы (1081434), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Пусть ~, ~', т Е Т, ~ < 1' < т — любые три фиксированных момента времени и 5(х,у) — двумерная функция плотности вероятностей изучаемого случайного процесса ~(1,~о), 1 Е Т, соответствующая моментам времени б и т, а 5(х, а, у) — его трехмерная функция плотности вероятностей, соответствующая моментам времени 1, 1', т. При этом Уэ(х у) = Хйх а у) Йэ. (8.3) А так как случайный процесс ~(~,м), ~ Е Т, является марков- ским, то Л(х,у) =А(у~ )Л( ), Уэ(х,а,у) = А(у~ )ЛИх)Жх) и равен~тво (8.3) преобразуется к следующему: ~~(у)х) = Дб(у)а)(~(х)х)сЬ.
Для завершения доказательства достаточно перейти к обозначениям (8.1). Г Равенство (8.2) известно как уравнение Моркови Смолуховсного — хЕенмена — Холмогорова. В конце Х1Х в. русский математик А.А. Марков получил аналог уравнения (8.2) для марковских процессов с дискретным временем (цепи Маркова), польский физик-теоретик М.Ф. Смолуховский 280 а млрковскикпроцкссы 8.2. Ъ'равнения Колмогорова Основная особенность .иарковских процессов ~вязана с тем, что их условные функции плотпиостпи вероятпностаей Я,Х,т, У) удовлетворяют дифференциальным уравнениям в частных производных параболического типа.
Это не только существенно упрощает процедуру нахождения Я,х,т,У), но и позволяет найти решения многих задач прикладного характера. Условная функция плотности вероятностей Я, Х, т, т') и-мерного марковского процесса ~(1,м), Ь Е Т = [а, Ь), с непрерывными состояниями, рассматриваемая как функция параметров нат чального состояния 1 Е Т и Х = (х~ ... х„), удовлетворяет уравнению ду " ду 1" " дзу — + ~) аь(Х,~) — + — ~ ~ Ьь (Х,~) = О, (8.4) ь=1 я=1 ги=1 в котором векторная функция векторного аргумента а1(Х,1) МЯт,и) — ~(1, а ) ~ 4(~,ы)=х) т-+1 т — 1 а„(Х, ь) а(Х,1) = характеризует скорость изменения значений исходного случай- ного процесса. Матаричиая функция векторного аргумента ь(х, ь) = (ь„(х,~)) = = 1пп ' ' ' , (8.6) М1(ф(т,м) — ~(й,ы)) (ф(т,ы) — ((й,са)) 1с(й,ы)=Х~ в начале ХХ в. использовал уравнение (8.2) при изучении броуновского движения, английский геофизик С.
Чепмен в 30-х гг. ХХ в. использовал уравнение (8.2) для решения кинетического уравнения Больцмана, а русский математик А.Н. Колмогоров в 40-х гг. ХХ в. разработал общую аналитическую теорию марковских процессов. 281 8.3. Уравнения Колмогорова принимающая значения в множестве М„(И), характеризует скорость изменения условной дисперсии этого случайного процесса. В литературе а(Х,1) и б(Х,1) часто называют вентаором сноса и матарицеа диффузии соответственно. Из неотрицательной определенности любой ковариационной матрицы и тождества (8.6) следует неотрицательная неопределенность матрицы диффузии.
Условная функция плотности вероятностей 7(1,Х, т, У), рассматриваемая как функция параметров конечного состояния т т Е Т и У = (у~ ... у„), удовлетворяет уравнению — + ~~~ — (вь(У, т) 1".)— ду " д дт „дуь (бь (У,т)~) =О. (8.7) 2 „,, ду~ду~ Уравнения (8.4) и (8.7) называют первым и втаорым уравнениями Колмогорова соответственно. Уравнение (8.7) называют также уравнением Колмогорова — Фоккера— Планка, поскольку оно встречалось в работах М.К.
Планка, А.Д. Фоккера и других физиков еше до того, как его обосновал А.Н. Колмогоров. Вывод уравнений Колмогорова (8.4), (8.7), приведенный ниже, весьма схематичен и реализован для скалярного марковского процесса (п = 1) при излишне жестких ограничениях. Но он позволяет уяснить как содержательный смысл самих уравнений, так и входящих в них параметров. Вывод первого уравнения Колмогорова, Пусть С(1,о~), 1 Е Т = (а, б), — скалярный марковский случайный процесс и 7(1,х,т,у) — его условная функция плотности вероятностей.
В уравнении Маркова — Сиолуховского — Чевмена — Колмогорова (8.2) при п = 1 полагаем С' = С+ Ь, где О < Ь < т — 1, и 8. МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ записываем его в следующем виде: Г(1,х,т,у) = Г(г,х,1+ Ь,») Г(1+Ь,»,т,у)Н». (8 8) Предположим, что условнал функция плотности вероятностей Г(1+ Ь,»,т,у), как функция скалярного аргумента», в окрестности точки» = х может быть разложена по формуле Тейлора: Г(1+ Ь,»,т,у) = Г(1+Ь,х,т,у)+ дГ(1+ ~1~,х, т,у) 1 д» Г(1+ Ь,х, т,у) + (»-х)+ — ' ' ' (»-х1 + дх 2 дх» 1 дав(с + Ь, х, с(» — х), т, у) + где ф < 1. Тогда, согласно (8.8), получим Яс,х,т,у) = Г(1+Ь,х,т,у) Г(с,х,1+Ь,»)~Ь+ + / (» — х) Г(с,х,1+ ~,») и»+ дГ(1+ Ь,х,т,у Г + — ' ' ' ' ' ~ (» — х) Г(1,х,с+Ь,»)<Ь+ 1д'ГИ+Ь,х,т,у) Г 2 дхз +1 1д Г(~+~ + ( ) у)( -х) Г(' '~~1')'ь (88) б/ дхз 283 8,2. Уравнения Колмогорова Учитывая, что в силу свойств условной функции плотности вероятностей 1 ($, х, т, у) Я, х,1+ Ь, х) ах = 1, переносим первое слагаемое в правой части (8.9) в левую часть, делим обе части полученного равенства на Ь и переходим к пределу при 2 — >+О.
Этот предельный переход возможен, если существует предел 1' 1 г ДзУ(т+ ~,х+е(г — х),т,у) 1пп Х а'. ++о ~ Ь,/ х(х-х)зУ(1,х,1+Л,х)йх =О. (8.1О) В результате получаем первое уравнение Колмогорова (8.4) при и = 1, в котором функции а(х, 1) и Ь(х, 1) заданы соотношениями (8.5) и (8.6) соответственно.
Предположение (8.10) в сущности означает, что вероятнностаь больших отклонений 1С(1',ы) — С(1,ы)~ снижается при уменьшении Ь= е' — 1, причем все моменты случайной величины (4(1',м) — С(1,м)~, начиная с третьего, имеют порядок малости о(Л). В предельном переходе к уравнению (8.4) для функций а(х, е) и Ь(х,1) получаем соотношения 1 Г а(х,1) = 11т — / (х — х) Я,х,1+ Ь,х) ах, а-++о Л Ь(х, Е) = 1пп — у (х — х) у(1, х, С + Ь, л) йх, а +о,л2 которые зквивалентны представлениям (8.5), (8.6), если в них положить т = 1+ Ь. Я.
МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ 284 Вывод второго уравнения Колмогорова. Второе уравнение Колмогорова (8.7) является сопряженным" по отношению к первому уравнению Колмогорова (8.4). Поэтому его вывод осуществляется несколько более искусственным способом, чем вывод (8.4). Пусть о и 33 — границы интервала изменения значений скалярного марковского процесса С(1,ь~), 1 б Т = 1а, 6], с условной функцией плотности вероятностей Д1,х,т,у), а В(у) — любая дважды непрерывно дифференцируемая на этом интервале неслучайная функция, удовлетворяющая условиям В(о) = В'(о) = В(13) = В'(33) = О.
(8.11) Тогда Р | д3(1, х, т, у) дт 11ш — /(~(1,х,т+Л,у) — Я1,х,т,у)) В(у)ду, (8.12) а-++о Ь,3 так как в правой части равенства возможен предельный пере- ход под знаком интеграла (Ъ'П). Согласно уравнению Марко- ва — Смолуховского — Чепмена — Колмогорова (8.2), л Я,х,т+Ь,у) = Я,х,т,х)/(т,х,т+Ь,у)~3х. а Поэтому Если в двойном интеграле справа изменить обозначения переменных интегрирования, заменив х на у и у на х, то с его 'Смз Марчук Г.И. а Рр | Я,х,т+Ь,у)В(у)йу= Д1,х,т,х)Дт,х,т+Ь,у)В(у)йхйу. а а а 285 8.2.
Уравнения Колмогорова помощью равенство (8.12) приводится к следующему: В(у)Ыу= !пп ~ — / ~(Ф,х,т,у) х | д|'(1,х,т,у), ~ 1 Г дг а-++о ~Ь,/ а а х Дг,у,г+ Ь,х) В(х) ~Ь вЂ” В(у) Ыу . (8.13) а Согласно принятому допущению, функция В(г) дважды непрерывно дифференцируема на интервале интегрирования. Поэтому ее можно представить в виде В(х) В(у) ! Вг(у)(х у) ! Во(у)(х у)2 ! о(!х у~~) 2 С учетом обозначений (8.5), (8.6) и в силу принятого допущения (8.10) о вероятности 6ольших отклонений ~4(!',ы) — Д1,~о)~ получим /! Г !пп ~ — / ~(т,у,г+Ь,х)(В(у)+В'(у)(х — у)+ ь-++01 Ь а + В (у)(х — у) + О(!х — у! )) нх В(у) 2 в = В (у) а(у,т) + -В (у) о(у, т). Подставив этот результат в (8.13), приходим к равенству д!(1,х,т,у) д 1 ~! 7 В ) а ~а(у,т) В'(у) + — о(у,г) Вм(у)) Я,х,т,у) Ну, ~~ д 1 | ~ 2 | ! м ! 7 ! 1 а 8.
МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ которое интегрированием по частям [Ч1] с учетом условий (8.11) преобразуется к виду + — (а(у, тЩ1, х, т, у))— (дД1,х,т,у) д дт ду 1 дз (Ь(у,т) ~(1,х,т,у)) К(у) йу О. Полученное уравнение в силу произвольности функции В(у) приводит ко второму уравнению Колмогорова (8.7). Иример 8.2. Рассмотрим и-мерный случайный процесс Д1,ы), 1 й Т = [О, оо), удовлетворяющий стохастаичесной модели состояния в форме Ито: где ю(1,м), 1 й Т, — и-мерный винеровсний процесс, выходящий из О. Пусть при каждом фиксированном ы Е Й и Х = Д1,м) векторная функция Ф(Х,1) и матричная функция С(Х,1) удовлетворяют условиям теоремы существования и единственности решения задачи Коши (8.14) и являются непрерывными по 1 на промежутке Т. В этом случае, как уже отмечалось в 7.2, стохастинесная модель состояния (8.14) задает марковский процесс Д1,м), 1 Е Т, и его условная функция плотности вероятностей должна удовлетворять уравнениям Колмогорова (8.4), (8.7).
Определим коэффициенты этих уравнений, для чего воспользуемся интегральным представлением стохастической модели состояния (8.14). Имеем ДЕ+ Ь,м) — ((1,и) = Ф(~,т) йт+ Сфт) йи(т,ы). (8.15) 287 В.2. Уравненнв Колмогорова Второй интеграл в правой части (8.15) является сгиояасошче- ским иньчеералом .Игио. Повторив рассуждения, проведенные в Т.З (см. доказательство теоремы 7.4), получим 1+а М С(ч,г)е1ш(т,ы) ~~=Х = О, с (8.16) с+а с+а м~(/ оя, мх,, ф~ао, м о, )) ~=х]= с+а С(Х,т)С (Х,г)юг.
(8.17) с+а м~фр~а, ~-р, ~и=х/ = / е~х,.м.=в(х„.)а, с где 1 < т. <1+ Ь. Подставив полученный результат в (8.5) и перейдя к пределу при Ь-++О, находим а(Х,1) = 1Р(Х,1). (8.18) А так как 1+а ~+а !пп — й(Х,т) Иг Ф(Х,т) й = ея, то, согласно (8.6), (8.15)-(8.17), Ь(Х,1)= 1пп — С(Х,т)С (Х,т)йт=С(Х1)С (Х,1). (8.19) А так как Ф(Х,1) непрерывна по 1, то из (8,15), согласно (8.16) и теореме о среднем [Л], имеем 288 В. МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ 8.3. Стохастнческне модели состояния н уравнения Колмогорова Равенства (8.18), (8.19) устанавливают связь между стохастической моделью состояния в форме Ито (8.14) и уравнениями Колмогорова при довольно жестких ограничениях.
Поэтому возникает естественное желание ослабить эти ограничения и получить уравнения Колмогорова непосредственно исходя из стохастической модели состояния. Пусть ~(1,м), 1 б Т, — и-мерный случайный процесс, удовлетворяющий стохастической модели состояния (8.14) в форме Ито, а Д~(Х~1) —, его одномерная функция плотности вероятностей Определим характеристическую функцию изучаемого случайноео процесса Д1,ьл), 1 б 7: где Л = (Л1 ... Л„), и рассмотрим разность д(Л е .1- ~1) д(Л 1) — М (е'лер+~ь~) е'лС(ь~)1 М[( 1л141с+ан~)-1(н )) 1) ал~(с, )~ Нас будет интересовать предел д(Л,1+ а,с) — д(Л, 1) 1пп ы-++о Ьс Поэтому в дальнейших рассуждениях с целью упрощения выкладок будем пренебрегать слагаемыми порядка малости о(Ье) и писэ.ть: 8.3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
