XVIII Волков И.К., Зуев СМ., Цветкова Г.М. Случайные процессы (1081434), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Переход от уравнений Колмогорова к соответствующим системам стохастических дифференциальных уравнений в общем случае не является однозначным, но представляет интерес, так как эти си~темы определяют марковские случайные процессы, эквивалентные по ~воим вероятностным свойствам праце~~ам, для которых заданы соответствующие уравнения Колмогорова. 3. Случайные процессы С18,ы), 1 б Т, и т~(1,ы), ~ Е Т, называют независимыми случайными процессами (некоррелированными случайными нроцессами), если для любых 1, т б Т случайные величины С11,и) и 0~1,ы) независимые 1некоррелированные) . 8.4. Постановки задач для нахождения условной функции плотности вероятностей Уравнения Колмогорова 18.4), (8.7) являются уравнениями в частных производных параболического типа. Для того чтобы их решение определялось однозначно, необходимо задать начальные и граничные условия.
Начальное условие определяет зависимость искомой функции Я,Х,т,у ) от „пространственных координат", представленных и-мерным вектором Х для первого уравнения Колмогорова и и-мерным вектором У для второго уравнения Колмогорова, в заданный (начальный) момент времени, определяемый значением переменного 1 или т соответственно. 299 В.4. Ноствновнн задач ~(г, Х, т, У) = о(Х вЂ” У), (8.22) Если начальное состояние изучаемого случайноео процесса не известно, оно должно рассматриваться как случайный вектор с плотностью распределения ~в(У), а начальное условие при- нимает следующий вид: ~(Ф,Х,т,У)~ = ~о(У).
(8.23) Начальное условие для первого уравнения Колмогорова вводят аналогично начальным условиям (8.22), (8.23) для второго, Уравнения Колмогорова (8А), (8.7) можно интерпретировать с позиций математической физики [ХП) как уравнения массопереноса. При таком подходе функции а и о, определяемые равенствами (8.5), (8.6), будут характеризовать конвективные и диффузионные составляющие процесса массопереноса. Поэтому их элементы зачастую называют коэффмциенпэами сноса и диФфузии соответственно. Граничные условия для каждого из уравнений Колмогорова фактически являются условиями изолированности области С С ЛС" изменения рассматриваемого и-мерного марковскоео процесса Я1,~о), ~ Е Т = [а,о].
В рамках рассматриваемой интерпретации этих уравнений условия изолированности области С С лс" означают, что соответствующие суммарные потоки Начальные условия для уравнений Колмогорова, как правило, устанавливают из смысла решаемой задачи. Для второго уравнения Колмогорова (8,7) естественно считать начальным значением временной переменной т настоящий момент времени г. Если начальное значение исходного марковского процесса ~(Г,и), 1 й Т, предполагается заданным, то условная функция плотпности вероятпностей 7(~, Х, т, У) в начальный момент времени т = Г обращается в о-функцию Дарана.
Таким образом, в данной ситуации начальное условие имеет вид зоо 8. МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ обращаются в нуль на границе области Гс. С учетом этого граничные условия (8.7) можно задать следующим образом: для второго уравнения Колмогорова (аь(У,т)~ — — ~ — (йь,„(У,т) Я ~ = О, к =1, и, (8.24) 1 д 2 1 дУ ~уегс для первого уравнения Колмогорова (8.4) (- ~ ~6„(Х,1) —— 1 д~ — [аь(Х,8) — — ~) ~ ' ] ~)~ =О, к=1, и. (8.25) Если С = яь", то граничные условия (8.24), (8.25) можно упроститгц для первого уравнения Колмогорова 1ип ~(1,Х,т,У) ив в О, !|хй-+оо (8.26) для второго уравнения Колмогорова 1пп Я,Х,т,У) = О.
ОП-+' (8.27) Д1, Х, т, У) ) О, Я, Х, т, У) ЫУ =- 1. и» Пример 8.6. Рассмотрим скалярный случайный процес~ С(1,ш), 1 Е Т = (О, оо), который является решением стохастиической задача Коши: Е Ч(1,ш) + оС(1,м) = тр(1,м), с(О,ы) = хо, Решения уравнений Колмогорова (8.4), (8.7) для начальных и граничных условиях вида (8.14) — (8.19) должны удовлетворять стандартным требованиям, предъявляемым к любой условной функции плотности вероятностей: 801 8.4. Постановки задач т1ч(1,ы) = — сто,ьт) тд+ тпт1.ит(т,ы), ч(0>ьт) = хо. В данном случае тп не зависит от состояния Яс,и), 1 е Т.
Следовательно, стпохастпическал модель состполнил в форме Хттпо имеет тот же вид. Таким образом, ~(1,м), 1 Е Т, является марковским процессом и его стохастическую модель состояния характеризуют функции тр(х,й) = — стх, С(х,1) = тп и детерминированное начальное состояние ха. Для определения коэффициентов сноса н диффузии достаточно воспользоваться равенствами (8.18) и (8.19): а(х,1) = чт(х,1) = — стх, Ь(хам=С (х,1) = та . А так как начальное состояние является детерминированным, то, согласно (8.7), (8.22), (8.27), можно сформулировать задачу для нахождения условной функции плотности вероятностей У(т, х, т, у) случайного процесса ~(1, ш), 1 Е Т = [О, оо): ду д(уЯ тпз дзу — =ст + — —, т)1, х,убей, д ду 2 дуз ~(1,х,г,у)! =6(х — у), (8.28) 11т Я,х,г,у) =О, и-+со решение которой может быть получено с помощью интеграль- ных преобразований [ХЦ.
где ст, тп, ха — неслучайные величины, а т1(1,ы), 1 Е Т, — белый шум с единичной интпенсивностпью. Исходная стпохастпичеснал модель состояния может быть записана в форме Стпратпоновича: 302 8. МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ д(Л,р,х) = еы" Я, х, т, у) с!у, которая, в силу (8.28) и свойств экспоненциального преобразо- вания Фурье [ХЦ, является решением следуюшей задачи: дд тн~ э дд — = — — Л~у+еЛ вЂ”, р>0, Лбй, др 2 дЛ' д(Л,р,х)1 = еы, ! р=о или, что то же самое, д1пу пР д!пд — = — — Л2+ оЛ вЂ”, др 2 дЛ ' 1пу(Л,р,х)[ =1Лх, |р=о р>0, Ларь, Применив интегральное преобразование Лапласа по перемен- ному р, приходим к обыкновенному дифференциальному урав- нению первого порядка относительно изобраэкения по Лапласу Е(Л, а, х) функции 1и у(Л, р, х): дЕ т~Л~ оЛ вЂ” — лЕ= — — 1Лх, ЛбК, дЛ 2л которое можно решить стандартными методами [У11Ц.
Из свойств условной функции плотности вероятностей ~(1, х, т, у) Полагая р = т — е, к задаче (8.28) применяем экспоненциальное интегральное преобразование Фурье по переменному у. В этом случае изображением экспоненциального интегрального преобразования Фурье условной функции плотности вероятностей Д~,х,т,у) является характаеристическа* функция случайного процесса с(1,ор), ~ б Т: ЗОЗ 8.4. Постановки задач (см. 8.1) и связи между характеристической функцией д(Л, р,х) и функцяей Дс,х,т,у) следует, что д(О,р,х) = Цс,х,т,у)ду= 1.
Поэтому 1пд(О,р,х) =О, Е(О,в,х) =О пзз з гх Е(Л,в,х) =— Лз + — Л. 2в(в — 2сз) в — о По изображению Е находим оригииел 1и д: !пд(Л,р,х) =зЛхе ~ — — (1 — е ~). л 4а 1 ( (у — нз(х,т — $))~ ) 1(*с,х,т,у) = ехр ~2 ( вша ( 2 ( — о ) где ат(т — 1) = — ~1 — е ~ 1' ~). 2а ' ти(х,т — 1) = хе Теперь достаточно записать выражение для характеристической функции д(Л,р,х) и при помощи обратного экспоненциального преобразования Фурье перейти к условной функции плотности вероятностей Дс,х,т,у). Но обратим внимание на то, что в правой части полученного равенства записан натуральный логарифм характеристической функции для нормального распределения [ХУЦ с математическим ожиданием хе и дисперсией (тз/2сз)(1 — е ~ в).
Поэтому с учетом обозначеа ния р = т — 1 получаем 304 а МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ 8.5. Три характерные задачи теории марковских случайных процессов с непрерывными состояниями В практике прикладных исследований встречаются задачи, для корректного решения которых аппарат корреляционной теории случайных процессов недостаточен. К подобным задачам в первую очередь относятся задачи определения вероятности выброса значений случайного процесса за пределы заданной области и задачи определения закона распределения времени зтого выброса. Решение зтих задач для случайных процессов произвольного типа связано с преодолением значительных трудностей принципиального характера'. Но если случайный процесс является марковскилл, то решения удается получить относительно просто.
Вероятность пребывания марковского случайного процесса в заданной области. Простейшей задачей данного класса является вычисление веролпаноспаи того, что скалярный случайный процесс Д1,ы), Е Е Т = ~а,6], в течение интервала времени (Е, 1+ ~в) С Т удовлетворяет неравенству и1 < ((Ф,ш) < ию (8.29) где и1 и ил заданы. Определение вероятности пребывания значений случайного процесса в заданной области необходимо при решении многих прикладных задач. В частности, к ним относятся задачи теории надежности, в которых для нормального функционирования изучаемой системы нужно, чтобы параметры, характеризующие систему во время ее работы, не выходили за некоторые допустимые пределы.
Рассмотрим решение подобных задач для скалярного марковского процесса Д~,ш), 8 Е Т. Пусть значения изучаемого 'См.: Фомин Я.А., а также Свешников А.А. 305 8.$. Три задачи теории марковских процессов случайного процесса в интервале времени (1,т) С Т ни разу не вышли за границы области, определенной неравенствами (8.29), а вероятность того, что в момент времени т Е Т его значения будут находиться в интервале (у,у+ ау), с точностью до о(Иу) равна И'(т,у)йу.
Очевидно, что И'(т,у) — зто условная 4уннция плотности вероятиностец а искомая вероятность Р(т) того, что граница области к моменту времени т = 1+ 1о не будет досгигнута, определяется равенством оз Р(т) = И'(т, у) с1у. и! (8.30) Если условие (8.29) выполнено, то функция И'(т,у), будучи условной функцией плотности вероятностей скалярного марковского процесса С(1,цз), 1 Е Т, удовлетворяет второму уравнению Колмогорова, т,е, дИ'(т, у) д дэ + д (а(у,т)И (т,у)) — д з (о(у,т)И (т у)) = 0 (8.31) при и1 ( у < из. Нарушение условия (8.29) связано с моментом, когда значение случайного процесса достигнет (пкоснется") границы, т,е.
при у = и1 или у = из. В этом случае попадание значений случайного процесса в интервал (у,у+ Ыу) без достижения границ становится невозможным и для любого т Е Т условная функция плотности вероятностей равна И'(т,у) = О, т.е. имеют место граничные условия Ис(т,и1) = О, И'(т,из) БО, т ) 1. (8.32) Если начальные условия для И'(т,у) заданы равенствами (8.22) или (8,23), то исходная задача может быть сведена к смешанной задаче для уравнения Колмогорова (8.31) с граничными условиями (8.32) и начальными условиями (8.22) или (8.23). Пример 8.7. Пусть С(1,оз), 1 Е Т, — скалярный марковский процесс, определенный в примере 8.6. Найдем вероятность 306 Н МЛРКОВСКИКПРОЦ8ССЫ того, что в течение времени т значения рассматриваемого случайного процесса не выйдут за пределы ~Ь, если ЯО,м)— : О.
В соответствии с результатами, полученными в примере 8.6, приходим к смешанной задаче (8.31), (8.32), (8.22) для уравнения Колмогорова, решением которой является функция плотности вероятностей и'(т, у): ВИ'(т,у) таз ВзУ~(т,у) 8(уИ'(т,у)) От 2 Оуз + В (8.33) И'(О, у) = е(у), Иl(т, -Ь) = И'(т, Ь) = О. Для решения задачи (8.33) можно воспользоваться методом Фурье разделения переменных [Х1Ц. В этом случае И'(т, у) = А(т) В(у), где функция В(у) является решением задачи Штурма — Лиу- вилля [ХЦ: < Вл(у)+2отп ~[уВ(у))'+Л В(у) = О, [у[( Ь, (8.34) В(-Ь) = В(Ь) = О, А'(т) + — т~л~А(т) = О, т > О. 2 (8.35) Как известно [Х1Ц, ортонормированная система решений за- дачи Штурма — Лиувилля (8.34) может быть представлена в виде Вь(у) = сьехр ~ — — уз)Р„,( — у), й = 1, 2, ..., а ~/2а а функция А(т) удовлетворяет линейному дифференцизльному уравнению первого порядка ЛЛ, 7)зи задачи теории марковских процессов 307 где Р,(г) — функция параболического цилиндра (функция Вебера — Эрмита (ХП]); ил = тзЛ~~/а — порядок функции параболического цилиндра, определяемый из уравнения Р (~Зов) 0.
сл — нормирующий множитель, который можно вычислить по формуле Л "= (/о.',( — ) г ) -л Используя свойство ортонормированности системы функций (Вл(у)) с весом р(у) = ехр(атп туз) и равенства Р„(0) = 1, получим разложение И'(0, у) = 3(у) = ~~> (3(у), В (у)) В (у), где щр), в, [рц = / .«р ( —;д') по х ел ехр(- — у ) Р,„( — у) пу о— н сл. Таким образом, если Лз = Л~~ = аул/тз, то решение уравнения (8.35) имеет вид Ал(т) = слехр(-0,5тхилт) и можно записать разложение для условной функции плотности вероятностей Оо Оз Мl(т,у)=Я Ал(т)ВЛ(у)=~ с$~ехр(- — — — )Р „( — у).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
