XVIII Волков И.К., Зуев СМ., Цветкова Г.М. Случайные процессы (1081434), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Ло1 Ли1 Для получения окончательного результата достаточно воспользоваться (8.30) при н1 — — Ь и вз = 6: Л 1~=2 - (- — ""Д- ( — "',)'(~) ° Л=1 -л 308 8. МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ где ию й = 1, 2, ... — корни уравнения 0„(~12оЬ/т) = 0; л =(~О„,( — у)ь), Й=1,2,... з Если С(~,м), 1б Т, — п-мерный марковский пропесс, то можно рассматривать различные постановки задач о вероятности пребывания его значений в заданной области С С Й". Эти различия главным образом связаны с видом области С, а основная идея решения исходной задачи практически та же, что и в скалярном случае.
Действительно, пусть к моменту времени г б Т значение и-мерного марковского процесса С(1,о~), 1 б Т, ни разу не пересекало границы Га области С С Ж", а вероятность того, что в момент времени г значение случайного процесса попадает в и-мерный интервал (У, У+НУ), т.е. для любого й = 1, п его Й-я компонента попадает в интервал (уь, уь+Иуь), с точностью о(йпУ)() равна И'(г,У)ИУ. Тогда, рассуждал так же, как и в скалярном случае, приходим к выводу, что функция И'(г,У) удовлетворяет второму уравнению Колмогорова, граничным условиям И'(г,У)~ = О, !Уев одному из начальных условий (8.22) или (8.23), а искомая вероятность Р(т) того, что граница области не достигнута, равна Р(т) = И'(г, У) ИУ. Закон распределения времени пребывания марковского процесса в заданной области.
Пусть ~р(г) — функция плотности вероятностей времени пребывания скалярного марковского процесса С(~,м), 1 Е Т, в заданной области, опре- П.о. Три задачи теории марковских процессов 309 деленной неравенствами (8.29). Если к моменту времени т значения рассматриваемого случайного процесса есце ни разу не достигали границ области, то время р их пребывания в допустимой области будет не менее, чем (т — с). Вероятность реализации этого события равна 7р(Ю) СЬ.
т-С С другой стороны, зта же вероятность определена равенством (8.30), т.е. оо из 7р(Я) ссх = Рт'(т,У) ссУ. т — С Таким образом, 7" (я) = — Р'(т) / = — ( ' ! Ыу. (8.36) Р дК(т, у) т=С+* дт т=С+х ззср(я) сто = Р(т) йт. о (8.37) 1. Если за начальный момент времени взят момент пересечения значениями случайного процесса границы допустимой области, то функция Яг), определяемая равенством (8.36), устанавливает закон распределения времени пребывания значений этого случайного процесса в допустимой области от момента входа в нее и до момента выхода. 2. Если из — — +ос, то функция Др(я) устанавливает закон распределения времени выброса значений рассматриваемого случайного процесса за уровень ис „снизу вверх".
3. Если функция Др(г) плотности вероятностей времени пребывания значений скалярного марковского процесса ~(~, оз) в допустимой области определена, то математическое азссиданае этого времени пребывания равно 31О в. МАРКОВСКИЕ ПРОПЕССЫ Выражение в правой части (8.37) отвечает определению математического ожидания, если для функции плотности вероятностей ~р(х) воспользоваться представлением (8.36) с последующим интегрированием по частям. 4. Если в уравнениях Колмогорова, соответствующих рассматриваемому скалярному марковскому процессу Яг,ор), 1 Е Т, коэффиииенгом сноса и диффузии не зависят от времени, т.е.
а(х,1) = а(х), Ь(х,1) = Ь(х), то математическое ожидание р можно определить, не используя (8.37). Действительно, в этом случае (см. пример 8.6) условная функция плотности вероятностей И'(т,у) будет зависеть не от Ф и т, а от разности т — Ф. Поэтому дИ' дИ' д1 д До того момента, когда значения случайного процесса С(1,ор), 1ЕТ, достигают границы допустимой области, функция Ит(1,х) является решением первого уравнения Колмогорова: дИ' дИ' 1 д'И' — + а(х) — + -Ь(х) — = О. д1 дх 2 дхз Заменив в этом уравнении И", на — И", и проинтегрировав его по переменйому у в пределах от и1 до ию с учетом равенства (8.30) приходим к дифференциальному уравнению в частных производных относительно Р(т): дР дР 1 д~Р— = а(х) — + -Ь(х) —.
дт дх 2 дхз ' Так как, согласно определению вероятности Р(т), имеют место равенства Р(1) = 1) Р(со) = О, 8.5. 7рц палачи теории марковскпх процессов 3П то после интегрирования этого уравнения по т в пределах от 1 до +со в соответствии с равенством (8.37) приходим к обыкно- венному дифференциальному уравнению второго порядка от- носительно р = р(х): — о(х)р '(х) + а(х)р (х) + 1 = О, и1 < х < из, (8.38) 2 дополняемому очевидными краевыми условиями (8.39) р(и1) = р(из) = О.
— ти~р '(х) — ахр (х) + 1 = О, (х( < и, 2 р(-й) = р(й) = О. Понизив порядок уравнения, без особых трудностей находим значение математического ожидания времени пребывания зна- чений исходного случайного процесса в пределах ~Ь в зависи- мости от его начального значения х: р(х) = — / (лС вЂ” / ехр( — — ) пх(ехр( — э) пу, -Л -Л с=Ц Р( У,) о) 1 1' р( — и — *ч)~ ь.
-Л -Л-Л Отметим, что (8.36), (8.37) справедливы и для векторных марковских процессов. Среднее число выбросов значений марковского процесса за данный уровень. Задача определения среднего числа выбросов значений марковского процесса за данный уро- Пример 8.8. В условиях примера 8.7 примем коэффициент диффузии равным о(х) = шз, а ксоффициент сноса а(х):— — ах.
Тогда краевая задача (8.38), (8.39) относительно р(х) примет следующий вид: 312 ц млрковскик процессы вень в единицу времени, для каждого из которых время пребывания вне допустимой области больше заданного значения ра, сводится к решению соответствующих задач для уравнений Колмогорова. Прн этом логика решения исходной задачи аналогична логике решения задачи об определении вероятности пребывания значений марковского процесса в заданной области. Рассмотрим временной интервал (1, 1+ Ь) с Т, в течение которого значения марковского скалярного процесса Д1, аг), 1 Е Т, пересекли уровень у = иг.
При этом условии вероятность того, что к моменту времени т Е Т значения изучаемого случайного процесса принадлежат интервалу (у, у+Ыу) и ни разу за промежуток времени (1,т) не опускаются ниже уровня у = иг, представим в виде произведения и(т,у)гз. Это представление верно с точностью о(Ь). А так как длина Ь временного интервала (1,1+ гз) не зависит ни от т, ни от у, то функция и(т,у) должна удовлетворять второму уравнению Колмогорова: ди(т,у) д 1 дг дт ду ' ' 2 дуг + — (а(у,т)и(т,у)) — — — (а у,т)и~(т,у)) = О.
(8.40) Начальное н граничные условия для уравнения (8.40) должны отражать два обстоятельства: 1) для моментов времени, предшествующих 1, значения случайного процесса С(г,аг), 1 б Т, находятся ниже уровня у = иг,. 2) в некоторый момент времени из интервала (1,1+ Ь) значения случайного процесса С(1ы), 1 Е Т, пересекают уровень у= иг. Из первого условия следует, что (8.41) так как для моментов времени, предшествующих 1, значения случайного процесса ~(1,аг), 1 Е Т, не могут быть больше, чем иг, ни разу не опускаясь ниже этого уровня, поскольку предполагается наличие выброса в окрестности значения 1.
818 8.5. зрм задачи теории марковских процессов Так как время выброса точно не известно, а известно лишь, что выброс произошел в интервале времени (1, ~+ Ь), то второе условие означает, что интеграл от ц(т,у)Ь по переменному т в пределах от 1 до ~+ Л при у = из должен определять вероятность попадания значений случайного процесса ~(~,оз), ~ Е Т, в окрестность значения из. Таким образом, и(т,из)Ь = 6(т — ~) Я,из)Ь и окончательно и(т,из) = 6(т — С) Дс,из), (8.42) где Д1,х) — функция плотности вероятностей случайной величины Ц(й,оз) в заданный момент времени С.
Условия (8.41), (8.42) полностью определяют частное решение уравнения (8.40). Число выбросов п(из,ре)Ь, длительность которых не меньше заданной величины ре и которые происходят в среднем в течение интервала времени (~, 1+ Ь), равно вероятности того, что выброс, начавшийся в интервале (1, 1+ Ь), не закончится к моменту т = ~+ сх. А так как условная еероятностль реализации этого случайного события в принятых обозначениях равна и(Ро У) Ь, кз то окончательное решение исходной задачи имеет вид (8.43) и(из Ро) = и(ро>у)с1у.
В заключение отметим следующее. 1. Введем в рассмотрение функцию и(т,у), определяемую равенством ц(т, у) = Дс, из) и(т,у). 314 и. МА РКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ Тогда из (8.40) — (8.43) следует, что п(иг ре) =У(1,иг) и(ре,у) Ь, а2 На практике при определении среднего числа выбросов марковского процесса за заданный уровень удобно представлять исходную задачи в виде (8.44), так как в таком виде легче обеспечить численное решение. 2. Если исходный случайный процесс является стационарным е широком смысле, то Дт,у) = Ду), а(т,у) =а(у), 6(т,у) =6(у) (8.45) и функция Ду) должна удовлетворять второму уравнению Колмогорова, которое в данном случае имеет вид Н 1 ,1г у (а(уШу)) — — д , (5(у) Х(у) ) = О, (8 40) стандартному свойству функции плотности вероятностей У(у)~Ь = 1 и граничным условиям (8.24) в виде (- — еьиьи- ыу(о)~ =~ 847) 1 Н 2 Иу не1я а1 где ГО = (о, д) — множество граничных точек области С изменения значений рассматриваемого случайного процесса, ди(т, у) д дт ду + — (а(у, т) и(т, у))— иг < у < оо, и(т, у) ~ = О, ! 1 дг (8.44) — — (6(у, т) и(т, у) ) = О, 2 дуг и(т> иг) ~ = Б(т — 1).
1т)1 315 В.Б. Три задачи теории марковских процессов Ь(у) У(9) + (Ь'(у) — 2аЬ)) У(у) = О, УЬ) у=1. а (8.48) 3. Пусть исходный случайный процесс является стационарным в широком смысле и и(в,„) = е '(" О (т,„)с1т о изображение по Лапласу для оригинала и(т,у). В соответствии с (8.44) и (8.45) функция (У(з,у) является решением следующей задачи: д2 д — (Ь(у) У(з,у)) — 2 — (а(у) У(в,у)) — 2з(7(в,у) = О„ дуз ' ду ' (8А9) и2 < р С оо, У(в, и2) = 1, У(в,оо) = О, где условие Цз,оо) = О соответствует граничному условию (8.27). Кроме того, если й(из,в) = е '1' Ои(из,т) Ит, о то из первого уравнения (8.44) следует, что И(ия,з) = ~(ь2) У(з,у) с19. ое представляющей собой конечный или бесконечный интервал (а, Д).
Интегрируя правую и левую части уравнения (8.48) по 9 в пределах от о = — оо до у 6 С с учетом граничного условия (8.47) при и = о, приходим к следующей задаче относительно функции 7(р): 810 В. МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ Интегрируя уравнение (8,49) по у в пределах от из до +со, получаем 1 1 д У(в,у) ду = ( — н(у) — 2 Ву(ЬЫ У(в,у))) в=и2 и2 так как по условию У(в,со) = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
