XVIII Волков И.К., Зуев СМ., Цветкова Г.М. Случайные процессы (1081434), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Отметим, что в обычном дифференциальном исчислении, в отличие от дифференциального исчисления Ито, "( ) (д*)'~ = О(д!'). Пример 7,5. Рассмотрим скалярную стохастическую модель состояния Е *'(! ~) = -(д+ Ы )) х(! ы) х(О,ц1) = 1, 270 7. СТОХАСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СОСТОЯНИЯ где 4(1,м), 1 Е Т = (О, оо), — белый шун с нулевым математическим ожиданием и спектральной интенсивностью Ьз, а Л ) 0— параметр.
Представив процесс случайных возмущений как производную от винеровского процесса, запишем исходную стохастическую модель состояния в форме Стратоновича (7.32): < бх(1,ш) = -Лх(1,ы) + Ьх(1,м)й ш(1,ш), х(О,м) = 1 с последующим переходом к форме Ито (7.34): йх(1,~) = (0,5Ь вЂ” Л) х(1,~) й+Ьх(1, ) б~(1, ), х(О,м) = 1. Применив к стохастической задаче Коши (7.3б) оператор математического ожидания с учетом того, что т(1) = М[х(1,ш)), получаем Е т(1) = (0,5Ь' — Л)т(1), т(0) = 1. Таким образом, математическое ожидание состояния равно Ьз т(1) = ехр[( — — Л)11, 1 Е Т. Для нахождения дисперсии Р(1) состояния введем функцию у(х(ц ы),е) = х(1,ю) — т(1), 1 Е Т. Тогда оу(х(1,м),1) = бх(1,и) — йтЯ = = (О 5Ь вЂ” Л) у(х(с,ы),1) + Ьх(1, м) йю(1,м), Р(1) = М[у~(х(1,м),1)<, М[у(х(1,м),1)~ =О.
ХЗ. Стихастичесине интеграеы и дифференциалы 271 По правилу дифференцирования Ито (7.35) находим ч)у~(х(г,ы),е) = 1(Ь вЂ” 2Л) у~(х(е,ы),г)+ Ь х (гы)~ аг+ + 26у(х(),ь),1) х(Х,ы) йи(1,ы). А так как М)х~(г м)~ = Р(1) — т~(1) то приходим к задаче Коши для Р(т): РЯ = 2(6 — Л)Р())+Ь т (Е), Р(О) =О, решив которую, находим Р()) = Ь'),з)ет-л) Для определения типа закона распределения случайноео процесса х(),и), е Е Т, введем функцию х(х(),ы), й) =!и х(е, м), 1 Е Т, и воспользуемся правилом дифференцирования Ито (7.35). По- сле преобразований получаем д)ц х(Г,и) = — Ла)+ Ьдв(е,ы), 1 ) О. (7.37) А так как уравнение (7.37) является линейным относительно функции!пх(),ы), то зтот случайный процесс имеет нормальное распределение, а случайный процесс х(г,ы), т Е Т, — логарифмически нормальное распределение.
Отметим, что уравнение (7.37) непосредственно вытекает из исходной математической модели, представленной в форме Стратоновича. Но при использовании дифференциала Стратоновича нам не удалось бы так просто получить уравнения для определения математического ожидания и дисперсии случайного процесса х(),м), ~ Е Т 4 272 х стОхАстические мОдели сОстОяния В заключение отметим следующие моменты. 1. Совершенно очевидно, что в общем случае установить даже одномерный закон распределения случайного процесса Х(1,и), 1 Е Т, удовлетворяющего нелинейной стохастической задаче Коши (7.7), не так-то просто.
2. Практически полностью повторив доказательство теоремы 7.2 для нелинейной стохастической задачи Коши (7.7) в предположении, что для каждого фиксированного и б Й выполнены условия теоремы существования и единственности ее решения, приходим к выводу, что случайный процесс Х(1,и), 1 Е Т, является и-мерным марковским процессом. Поэтому дальнейшая перспектива в изучении нелинейных стохастических моделей состояния связана с изучением специфических свойств марковских процессов, чему и посвящена следующая глава. Вопросы и задачи 7.1.
Сформулируйте основной принцип построения математической модели (7.1). 7.2. Чем обусловлена необходимость введения случайных возмущений в математическую модель состояния (7.1)? 7.3. Сформулируйте и обоснуйте основные свойства процесса случайных возмущений. 7.4. Случайный процесс Х(1,ю), 1 Е Т = [О, оо), задан линейной стохастической моделью состояния при стандартных допущениях. Какими свойствами обладает этот случайный процесс? 7.5. Почему решение стохастической задачи Коши (7.8) может быть представлено в виде (7.9)? 7.6. В каких случаях решение линейной стохастической задачи Коши (7.8): а) можно считать стационарным (в широком смысле) нормальным марковским случайным процессом; 273 Вопросы и задачи б) является стационарным (в широком смысле) нормальным марковским случайным процессом? 7.7.
Докажите равенства (7.26) — (7.30). 7.8. Докажите правило дифференцирования Ито для общего случая. Указание: см. пример 7.4 и комментарии к зтому примеру. 7.9. Докажите, что решение нелинейной стохастической задачи Коши (7.7) является марковским процессом.
Указан не: предполагая, что для каждого фиксированного со Е Й выполнены условия теоремы существования и единственности решения задачи Коши (7.7), воспользуйтесь логикой доказательства теоремы 7.2. 7.10. Пусть в стохастической задаче Коши (7.8) о = 2, ~(~,г) = ~ ~, 5(о,г) =7г, Ла(~) — = ~ /-1 1 ~ Определите ковариационную матрицу и математическое ожидание ее решения. Ответ: )7(~ ) -(с-с) + -г1с — ) т(с) = е ', Е с() 1 12 0 -гс 8 4 — зс (-' ') " (''И У к аз а н и е: воспользуйтесь замечанием 7.5. 274 х стОхАстические ЧОдели сОстОЯниЯ 7.11. Пусть в стохастической задаче Коши <'?.8) и = 2, 6 7 4 Определите математическое ожидание, коварнационную матрицу и ковариационную функцию ее решения. Ответ: ~<~)= ~ + е, ~<~)= о - (с-л) + -3(1-ю) 6 15 3) 6~ — 8 1) К<(,з) = ЗО 15~) -(-0 1( 8 8~ -з(-) < 7.12.
Пусть скалярный случайный процесс х<(,ы), ( Е Т = = (О, оо), является решением стохастической задачи Коши < Мх<(, ) =Лх<(, )а+Мал<1, ), х<О,ю)— : О, где Л и 5 — неслучайные параметры. Можно ли этот процесс по прошествии некоторого времени считать стационарным <в широком смысле)? Если процесс х<(,м), ( Е Т, можно считать стационарным <в широком смысле), то чему равна его спектральная плотность? Ответ: можно при всех Л (О. В этом случае 5а 2и<Ла+ ма) ' Вопросы и задачи 7.13. Найдите математическое ожидание и дисперсию стохасти ческого интеграла т'(о() = е о йп(1,(о) о по винеровскому процессу с п~ = 1, где сз — положительный неслучайный параметр.
Ответ: М[Цоз)) =О, П[/((о)]= 1/2а. 7,14. Найдите математическое ожидание и дисперсию интеграла Ито /о(1,0) = е о 1'* 1йп(т,(о). о О т в е т: М[/о(С, 0)) = О, Р [Хо(т, 0)) = [ехр(2оз с) — 1) /(2 аз). 7.15. Найдите дисперсию стохастического интеграла Ито Уо(1,0) = х(т,(о) йп(т,(о), о где х(1,(о), 1 б Т = [О,со) — скалярный случайный процесс; т (1) = сС; К (1,з) = ехр[(з(С+ з) — /((с — з$]; с, а, (9 — неслучайные параметры. Ответ: щу (1,0)) с 1 ехР(2сз") — 1 3 2сз 7,10, Докажите равенство | (-( -(( '= -1 - ('(-«.(( ~-(,-() 2 / (н((1,(о) ) и[, в+1 о о 7,17.
Докажите, что случайный процесс х(1,(о) = [ю(1,(о)) 1 Е Т, имеет стохастический дифференциал в форме Ито: (1х(с,(о) = х (1,(о) й — х~(1,(о) йо(1,(о). 276 И СТОХАСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СОСТОЯНИЯ 7.18. Докажите, что стохастическое дифференциальное уравнение Нх(1,ш) = 0,25 Й+ ~/х(Р.,ьз) йш($,ш) имеет решение х(1,ш) = (1+ 0,5ш(1,ш)), 1 > О, удовлетворяющее начальному условию х(О,ш) = 1. 7.19. Докажите, что стохастическал задача Коши Нх(1,ш) = — 0,5х(й,ш) + у(1,ш) йш(1,и), Йу(й,ш) = — 0,5у(1,ш) — х(1,ш) ваш(1,и), х(О,ш) ив в О, у(О,ш) = 1 имеет решение х(1,ш) = Б!п(ш(е,ш)), у(1,ш) = (ш(1,ш)).
7,20. Пусть случайный процесс х(1,ш), 1 Е Т, удовлетворяет стохастическому дифференциальному уравнению Йх(Х,ш) = — Лх(1,ш) й+бх(1,ш) Иш(1,ш), 1 б Т. Докажите, что его условная функция плотности вероятностей равна у' [1п(хО)х '+ Л(1 — я)] „'2'ьчг,~ РГ я р —,~ Р' где Л и 5 — неслучайные параметры. 8. МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ С НЕПРЕРЫВНЫМИ СОСТОЯНИЯМИ В соответствии с определением 2.б марковского процесса и результатами исследований снтокасптическия моделей состояния, в основе понятия марковского процесса лежит представление об эволюционируюшей во времени системе 5, обладаюшей свойством отсутствия последействия — отсутствием „памяти". Иными словами, для марковского процесса будущее состояние определяется настоящим и не зависит от прошлого.
Пример 8.1. Пусть 5 — техническая система, которая уже эксплуатировалась определенное время и пришла в некоторое состояние, характеризуемое определенной степенью изношенности. Нас интересует, как она будет работать в будущем. Ясно, что по крайней мере в первом приближении характеристики функционирования системы о' в будущем зависят от состояния этой системы в настоящий момент и не зависят от того, когда и как оиа достигла своего настоящего состояния. При этом, если учесть результаты исследований стохастических моделей состояния, то становится понятным, что состояние изучаемой системы должно являться марковским процессом и, вообще говоря, удовлетворять некоторой стаояастттической модели состнояния в уторме атно < йр,ит) = тр~~(Е,ьт),й)+а(ДС, ),Г)й (й,ьт), ДО,ьт) = ~в(ьт).;ф Характерной особенностью марковских процессов является воэможность выражения любых конечномерныя законов распределения через двумерные законы распределения ~см.
2.5). В данной главе мы рассмотрим марковские процессы с непрерывными состпояниямн, в которых сечения являются и-мериыми непрерывными случайными вектаорами. 278 а мАРкОВские пРОцессы 8.1. Общие свойства марковских процессов Пусть ~(1,м), 1 й Т = (а,Ь], — и-мерный нарковский процесс с непрерывными состояниани и 1, г б Т, 1 ( г, — два фиксированных момента времени.
Введем обозначения для одномерных, двумерных и условных функций плотности вероятностей случайного процесса: Л(Х) Ь А(Х!1), У (У) й УЕ(У] ), (8.1) Ь(Х,У) а ДХ,У]1,.), У(1,Х...У) а ЦУ]Х), где Х е К", У б К". Если случайный процесс Д1,м), 1 б Т, является скалярным (и = 1), то вместо Х и У используют обозначения я и у соответственно. Напомним (см. 2.5), что любая конечномерная функция плотности вероятностей марковского процес~а Д1,м), 1 й Т, может быть выражена через его двумерную функцию плотности вероятностей ЯХ,У). Отметим, что условную функцию плотности вероятностей ЯУ]Х) = ЯХ,У)/Л(Х) в теории марковских процес~он рассматривают как функцию четырех аргументов 1, Х, г, У, что и отражено в обозначениях (8.1). Условная функция плотности вероятностей любого случайного процесса представляет собой условную плотность распределения одного из его сечений при условии, что другое его сечение приняло некоторое фиксированное значение.
Позтому, исходя из свойств условной плотности распределения и определения В-функции Дирака (ХП],можно показать, что условная функция плотности вероятностей ДФ,Х,т,У) имеет следующие свойства: Я,Х,т,У) > О, Я1,Х,т,У~~,, =б(Х вЂ” У), | Я~,Х,т,У)йУ = 1, ЯХ,У) = Я,Хт,У) ~~(Х), и" 71 (У) = Д1, Х, г, У) ~~ (Х) аХ. яоп Общие свойства марковских процессов 279 Теорема 8.1. Если ((~,щ), ~ Е Т= (и, в), — и-мерный марковский процесс и ~, т ~ Т (1 < т) — любые два фиксированных момента времени, то для любого значения ~' Е (с, т) имеет место равенство /'(1, Х, т, У) = 7'(~, Х, с', У) у (~', У, т, У) Ы. (8.2) ° я Для упрощения и наглядности проводимых рассуждений ограничимся скалярным случаем, т.е. полагаем и = 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
