XVIII Волков И.К., Зуев СМ., Цветкова Г.М. Случайные процессы (1081434), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Пусть ю(1,ы), 1 Е Т = 10, оо) — и-мерный винеровский процесс, выходящий из О, и Ф(ю(8,м);1)— матпричнал функция типа п х п, определенная для всех 8 е Т. Если для любых в, 1 Е Т, таких, что л ) 1, и для любого т Е '10, 1) существует предел 1пп ,') Ф(тю(1~,.ь1,ы)+(1- у)в(1ь,ь~); 71~+1+(1 — у)1ь) х ь=~ х (ю(1ь+ми) — ю(1ь,м)), где Ьг = (1 — в) (М, 1ь = в+ (к — 1)Ы, к = 1, %+1, то его называют с|похастпическим иитпегралом функции Ф по винеровсиому процессу ю(1,ы), 1 Е Т, и обозначают 1ч(1, в). При этом, если т = О, то его называют стпохастпическим иитпегралом Итпо, а при т = 0,5 — стпохастпическим интпегралом Стпратпоиовича.
Замечание 7.5, Прежде, чем приступать к изучению свойств стохастического интеграла по винеровскому процессу, отметим три важных момента, относящихся к дальнейшим рассуждениям. Во-первых, будем далее предполагать, что матричная функция Ф(х,1) удовлетворяет определенным условиям гладкости, в частности, имеет непрерывные первые и вторые частные производные по х для всех 1. Во-вторых, чтобы избежать недоразумений и не путать стохастические интегралы Ито и Стратоновича, интеграл Ито будем записывать как и выше: 73 Стохаетичееиие интегралы и дифференциалы 2б1 а в интеграле Стратоновича будем ставить „звездочку" при дифференциале: 1ол(1,8) = Ф(ю(т,и);т)н ш(т,м). В-третьих, для упрощения выкладок при доказательстве свойств стохастических интегралов Ито и Стратоновича, будем рассматривать случай скалярной функции Ф(х; ~) и скалярного винеровского процесса.
Обобщение результатов на случай матричной функции Ф(х;1) и векторного винеровского процесса связано лишь с техническими трудностями. Теорема 7.4. Интеграл Ито 1о(1,л) имеет нулевое математическое ожидание и с Р[1о(с,л)) = М[Ф~(в(т,ы);т)) 0т. (7.23) ° я По определению интеграла Ито имеем М[1о(1,н)] =М ~ !пп ~> Ф(ю(йь,ы);1ь) (ю(4+~,и) — ю(~ь,м)) ~ = ь=! 1пп ~~~ М[Ф(ю(Кь,м);Юь)~ М[ю(1ь+~,са) — ю(1ь,ыЯ =О, " "ь=! М [(и>(л,са) — ш(л,ы)) [ = 1 — ж так как математическое ожидание винеровского процесса равно нулю и для любых т„тэ Е Т, т~ < тэ, случайные величины ю(той) и ю(тэ,м) — ю(тих) независимы.
Равенство (7.23) можно доказать аналогично. Следует лишь учесть, что в соответствии с определением 2.6 винеровского процесса с коэффициентом диффузии оэ = 1 при 1 ) л (1, л Е Т) 262 7. СТОХАСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СОСТОЯНИЯ Действительно, ~~[7о(~,я)) ™[Го(~ я)) = Н 2 =М[ 11щ (~~ Ф(в(йь,ш);~я) (в(~ь+ыш) — в(Юыш))) ] = 1=1 = Ищ М~"К ~~~ 'р(в(сь,ш);~я)'р(в(~,,ш);~,) х ьж1р=1 х (в(1ь+ыш) — в($ыш)) (в(1 +ыш) — в(1,ш))] = = 1пп ,') М[Ф~(в(~ь,ш);Фь)1 М[(в(ьь+ыш) — в(~ь,ш))~) = Для того чтобы определить математическое ожидание и дисперсию для интеграла Стратоновича, установим связь между Го(ь,я) и 7о,ь(ь,я) Теорема 7.5. Интегралы Ито и Стратоновича связаны следующим равенством: Го,ьИ,л) = 1о(~,я)+ — / ' ] пг.
(7.24) 1 ГдФ(я,г) дх хжиз(ч,м) б и По определению 7.3 интеграла Стратоновича имеем ч /в(4+ыш)+в(~ь,ш) 4+1+~я~ я=1 х (в(ць+ыш) — в(1ь,ш)). (7.25) 7.3. Стохаетичеекие интегралы и дифференциалы 263 Испольэуя формулу Тейлора в окрестности точки (лп(~ь,и);~я) и ограничиваясь линейными членами, получаем (лр(~ь+л,~4) + ло(~ы~4 Ьь+ъ + ~ь) 2 ' 2 лр(~я+, 4 — ля(~ы ) ля+1 — ~ь' 2 ' 2 иьь, — 4 дФ(ю(~„,а);~)~ 2 дл лп(1ььл,ы) — ля(1ыы) д1р(х, гь) ~ 2 дх ~ = 1~ы.,)' где приближенное равенство понимают в смысле ~реднего квадратичного 3.1. Подставляя это выражение в правую часть (7.25), находим 7ед(т я) = 1пп ~~ Ф(лр(~ыь~);~я) (ля(~ь+л,~э) — ля(гам))+ а=1 + — 1пп ~~) ЕИ (ля(1ьл.ым) — лп(1ь,и)) 1 дФ(ля(1ь,а~); 1) /с=1 + — 1пп ~Яро(1ь+ыы) — лр(~мы)) 1 .
т дф(х,~ь) 2 л~-+ а=1 дх еы~ирл,ы) Первое слагаемое в правой части этого равенства по определению 7.3 является интегралом Ито. Второе слагаемое тождественно равно нулю, так как элементы суммы в смысле среднего квадратичного имеют порядок (Ы)'я. действительно (см. пример 7.3, также 3.1), М((лп(~я+„м) — лп(~ь,м))~) = Ь~, й~ (ю(~и+ъ,и)-ш(~м,.)) $~сн-— ЛИЦ~Ю( и+ )- (Ь,и)Цск= = Ь~ М((лп(гьь1,м) — лр(гь,м)) ) = (Ьг) '~. 264 7. СТОХАСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СОСТОЯНИЯ Можно также показать, что третье слагаемое равно 1 Гдф(*.)( и доказательство завершено. В Из теорем 7.4, 7.5 следуют равенства мсс,,отсс= -1' и( ~""~) ('?.26) с мсс„',о,,с]=~м/е'с с, >;,)!с .с с -с — м(() ' с ) ].
Сс.сс) Если Ф(х,с) — матричная функция типа охи, а пс(~,ос),16 Т,— и-мерный винеровский процесс, то Тех(Гс л) = 7о(Г я) + —',с / / с1г, (7.28) 1 ТдФ,(~, ) 2 дх я=ю(с,ш) б где Ф,(х,г) — ~-й столбец матричной функции ся(х,г); М[со(1, л)) = О, (7.29) мщу,*сс,'сс,,сс=~м$сс с, с; се*с с,, с; с1с,. ссзос ь Эти результаты, равно как и выражения для математического ожидания и коварианиокпой функции для интеграла Страто- 7.3. Стохаетичеекие интегралы и дифференциалы 265 новича, можно получить', используя технику доказательства теорем 7А, 7.5, Теперь вернемся к исходной нелинейной стохастической модели состояния (7.7) в интегральном представлении (7.20).
Возникает естественный вопрос: какой стохастический интеграл по винеровскому процессу записан в правой части этого уравнения — Ито или Стратоновича? Можно показать"", что в интегральном представлении (7.20) исходной стохастической модели состояния (7.7), полученной как результат введения процесса случайныя возмущений в деяперминнрованную модель, стохастический интеграл по винеровскому процес~у представляет собой интеграл Стратоновича. Таким образом, и соответствии с замечанием 7.5 исходная нелинейная стохастическая модель состояния в интегральном представлении имеет следующий вид: Х(1,ец) = Хо(и)+ А(Х(т,ы),се,т)дт+ о Ф + В(Х(т,ы),се, т) д„яо(т,и), й > О.
(7,31) о Ее называют стпохастпической моделью состполния в форме Стпротпоновичо. При этом, чтобы подчеркнуть, что именно она соответствует рассматриваемой стохастической модели состояния (7.7), при записи последней вместо дю(~,и) пишут д,ео(е,м). Соответственно и исходную стохастическую модель состояния представляют в виде дХ(с,ы) = А(Х(г,м),о,й)й+ + В(Х(й,и),се,й)д.ю(й,~о), й > О, (7.32) Х(О,м) = Хо(ы), Смл Пуеачеа В.С., Синицын Н.Н, См.
там же. 266 н стОхлстические мОДели сОстОЯниЯ Если о-мерный случайный процесс Х(1,м), 1 > О, задан стохастической моделью состояния (7.32) или стохастической моделью состояния в форме Стратоновича (7.31), то он зависит от винеровского процесса в(1,ь~), 1 > О. Поэтому в рассуждениях случайный процесс Х(1,м), 1 > О, более удобно и корректно обозначать как Х(1,в(1,ь)), 1 > О. Используя зто обозначение и равенство (7.28), связывающее интеграл Стратоновича с интегралом Ито, можно показать, что стохастическал модель состояния в форме Стратоновича (7.31) может быть преобразована к следующему виду: Х(1,ы) = Хо(м) + А(Х(т,и),о,т) + о + В(Х(г,ы), а, г) дю(г,ы), 1 > О, (7.33) о где оь(Х(1,ы),о,1) представляет собой Й-й столбец матричной функции В(Х(1,ь~),о,1). Интегральное представление (7.33) исходной стохастической модели состояния (7.32) называют стиохастичесной моделью состолни* в форме Итпо.
Определение 7.4. Пусть случайный процесс Х(1,ы), 1 Е б Т = 10,оо), удовлетворяет уравнению (7.31). В этом случае выражение дХ(1, ) = А(Х(1,ь),о,1)п1+В(Х(1, ),о,1)й.(1,ь~) называют снзохаснзичесним дифференциалом случайного процесса Х(1,м), 1 б Т, в форме Стпратпоновича. 7.3. Статистические интегралы и дифференциалы 2б7 Стпохасвтвический дифференциал в форме Итцо для исходной стохастической модели состояния имеет вид в1Х(1,от) = А(Х(1,от),о,1) + + В(Х(т,вт),се,1) аю(1,со), (7.34) что следует иэ (7.33).
Обратим внимание на то, что в случае В(Х(т,и),о,т) = = В(о,1), 1 Е Т, вид соответствующих представлений исходной стохастической модели состояния в форме Ито и Стратоновича (7.34) и (7.32), (7.33) и (7.31) совпадает с точностью до обозначений соответствующих интегралов. В этой книге даны лишь минимальные сведения иэ дифференциального исчисления Ито и Стратоновича, необходимые для усвоения основного материала. Более полную информацию по этому вопросу можно получить иэ специальной литературыэ. Отметим, что основные правила дифференциального и интегрального исчислений Стратоновича аналогичны обычным правилам дифференцирования и интегрирования функций одного и многих переменных (1Ц, (Ч), (У1), (Ч11). Сказанное не относится к дифференциальному и интегральному исчислениям И то.
Пример 7.4. Рассмотрим скалярную стохастическую модель ~остояния в форме Ито: < Йх(в,ы) = а(х(1,м),в) Й+ Б(х(1,и) 1) а1н(1,и), х(О,м) = хе(м) з См., например: Воланов Л.Гч Константинов В.М., а такие Вуеонев В.С., Синицын В.Н. 268 Т. СТОХАСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СОСТОЯНИЯ и найдем дифференциал скалярной функции у(х(Г,м),г), предполагал, что она удовлетворяет необходимым условиям гладкости.
Воспользовавшись разложением в ряд Тейлора и ограничившись в нем членами второго порядка, получаем Ьу(х(1,ы),1) ж ~ ' й+ ' Ых+ — ' Йх + 1ду(х,~) ду(х,1) 1 д у(х,1) г дг дх 2 дхз Поскольку в смысле среднего квадратичного элементы в правой части равенства, заключенные в квадратные скобки, имеют порядки малости 0(йз), 0(й*д), 0(й1 л) соответственно, то при дальнейшем анализе ими можно пренебречь. Таким образом, с учетом исходной стохастической модели состояния имеем ,бу(х(~,~ ),г) ~ ' й+ Г ду(х, й) + (а(хай+ Ь(х4йлМ) д ' + ду(х, ~) + — ( аз (х, й) йз + 2о(х, Г) Ь(х, Г) ййл(й, ш) + + Ь ( й) (йл(Ь м)) ) Л ~х=х(~,м) В правой части этого равенства во второй квадратной скобке лишь третье слагаемое имеет порядок малости 0(й), поскольку М[(йл(г,м)з) = зл[о|и(Г,и))) = й.
7.3. Столаетичеекие интегралы и дифференциалы 269 Таким образом, ду(х(1,ц1), !) = [ду(х, !) ду(х, !) 1, д у(х, !) 1 + 6(х,!) ' йи(1,ь!) . 41 (7.35) ду(х, !) е=е(1,ы) Равенство (7.35) известно как правило дифферениированил йлтпо. В общем случае, когда х(1,ц1), ! Е Т, — п-мерный случайный процесс, а(х,!) = (а1(х,8) ... а„(х,1)) — п-мерная векторная функция, а 6(х,!) = (6;,(х,1)) — матричная функция типа и х и, правило дифференцирования Ито имеет вид ну(х(1,ь!),!) = ( [ ' + 11 а;(х,!) ' + Гду(х,й) " ду(х,!) 1=1 + -~~'~ ",! 6„(х,!) 6„,(х,!)~ д!+ 1 дэу(х, !) 1=1 1=1 1 %=1 + ~~ ' (6(х,1) Йи(1, ь1)1 ети! т где х= (х, ... х„), а (6(х,!) Йи(1,ц1))51 — 1-й элемент вектора 6(х,!) йц(1,ц1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
