XVIII Волков И.К., Зуев СМ., Цветкова Г.М. Случайные процессы (1081434), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Таким образом, Х(из, в) = 1(из) (-а(у) — — — (Ь(у) Цв, у))), (850) 1 д в=и2 и для того, чтобы найти среднее число выбросов значений марковского процесса за уровень у = из в единицу времени, каждый нз которых имеет длительность более заданного значения ро, достаточно обратить интегральное преобразование Лапласа.
Пример 8.9. Для случайного процесса С(1,ь ), 1 Е Т, определенного в примере 8.6, определим среднее число выбросов п(О,ро) за нулевой уровень, длительность которых превосходит ро, В рассматриваемом случае Ь(у, т) = т~. а(у,т) = — ау, Согласно (8.48), пР1'(у) + 2ау('(у) = О, ~(у) Йу = 1. Следовательно, является функцией плотности вероятностей нормального закона распределения с нулевым математическим ожиданием и дисперсией оз = тз/(2а). А тьк как по условию из — — О, то Диз) Х(0) = 317 Вопросы и задачи В соответствии с (8.49) изображение по Лапласу У(в,у) функции и(г,у) является решением следующей задачи: дзГ(з, у) 2ау дУ(в,у) 2а — 2в ду 2 то 2 ду таз Г(в, 0) = 1, У(в, со) = О.
у>0, Таким образом [Х1Ц, Йв,у) =ехр( — — ) оу Р-т/а (у~о) Р, .(О) Подставив полученные результаты в (8.50), с учетом свойств функции параболического цилиндра найдем откуда ое-ат Вопросы и задачи 8.1. Напишите уравнение Маркова — Смолуховского— Чепмена — Колмогорова. Почему оно справедливо лишь для марковских процессов? 8.2. Докажите теорему 8.1 при и > 1. 8.3. Перечислите типовые постановки задач для определения условной функции плотности вероятностей )'(1,Х,т,Ъ').
8.4. Можно ли утверждать, что: а) каждая стохастическая модель состояния однозначно определяет марковский процесс; 4. Все полученные результаты могут быть обобщены и на случай т-мерного марковского процесса. 318 8. МА РКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ б) каждый марковский процесс порожден стохастической моделью состояния; в) каждый марковский процесс однозначно определяет стохастическую модель состояния? 8,5, Как связаны между собой параметры уравнений Колмогорова и соответствующей стохастической модели состояния? 8.6. Изложите основную идею решения задачи определения вероятности пребывания значений марковского процесса в заданной области.
8,7. Изложите основную идею решения задачи определения закона распределения времени пребывания значений марковского процесса в заданной области. 8.8. Возможно ли обобщение краевой задачи (8.38), (8.39) для определения математического ожидания времени пребывания значений скалярного марковского процесса в заданной области на случай векторного марковского процесса? 8.9.
Почему при постановке задачя определения среднего числа выбросов значений марковского процесса эа заданный уровень накладывается ограничение на время пребывания значений случайного процесса вне допустимой области? 8.10. Изложите основную идею решения задачи определения среднего числа выбросов значений марковского процесса за заданный уровень. 8.11. Пусть ю~(1,а~), 1Е Т = (О,оо), и вз(1,м), 1 Е Т,— независимые винеровские скалярные процессы, а скалярный случайный процесс П(1,ы), 1 Е Т, определен стохастическим дифференциальным уравнением Йш~1Яы) + сйшз(1, ы), где с — произвольнзл постоянная. Докажите, что П(1,м), 1 б Т, — марковский процесс, которому соответствует уравнение Колмогорова, приведенное в примере 8.3.
818 Вопросы и задачи 8.12. Предположим, что условная функция плотности вероятностей 1(2,Х,т,У) и-мерного марковского процесса удовлетворяет второму уравнению Колмогорова (8.7), в котором коэффициенты сноса заданы равенствами аь(ут)= ~~ ал у +А.. Ь=1п, т=г и коэффициенты диффузии Ьь (У,г), lс, ти = 1, и, равно как и параметры аь, )1ю Й, пг = 1, и, являются известными постоянными. Воспользовавшись начальным условием (8.22), обобщите результат, полученный при рассмотрении примера 8.6, и докажите, что исходный случайный процесс является гауссовским. 8.13.
Пусть С(г,ог), 2 Е Т = [О, оо), — скалярный гауссовский стационарный (в широком смысле) случайный процесс, спектральная плотность которого равна с2рг 4( ) (рг+аг+Дг)2 4Вгпг' где а, д, с — известные постоянные. Докажите, что С(2,ог), Ьб Т, можно рассматривать как компоненту векторного марковского процесса 21(г,ог), Ф Е Т. Определите размерность такого случайного процесса и коэффициенты уравнений Колмогорова для него. Ответ: С(2,и), 2 Е Т, — первая компонента двумерного марковского процесса.
при этом а2(х,г) = хг, аг(х,г) = = — (аг+,32)хг — 2ахг, Ьы(Х 2) = сг, Ь22(Х 2) = Ь22(Х 2) = -2асг Ьгг(Х Е) = 4агсг. 8.14. Получите систему стохастических дифференциальных уравнений, определяющих двумерный марковский процесс, если его условная функция плотности вероятностей удовлетворяет уравнению Колмогорова д 1, дУ дУ, 1д (у У) — + — (уг — +чг(у2) — ) — — ( 2 + — — 2) = О, дг 72 (. ду1 дуг) 222 ~ дуг 2 дуг ~ 320 8. МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ где !г и К вЂ” известные постоянные, а ))) — известная неслучайная скалярная функция.
Ответ: Е И, ) = ~ '1*)~, ) ~~ + и ' ч% )' ) ~ Р ) 4г(!~с~)) =!г )Р(6(!!о1))ей+!г Х««)г(!>)о)~ т где п)(1,ь)) = (п)1(1,о)) п)г(1,ы)), ! Е Т, — двумерный винеровский процесс, выходящий из Й. 8.15. Закон отклонения руля высоты самолета, которое сообщается автопилотом для ликвидации воздействия пульсаций ветра, характеризуемых случайным процессом С(1,о1), ! Е Т, можно приближенно описать стохастическим дифференциальным уравнением То))(1,о)) + т!(1,ы) =!о~(й,ы), ! б Т, где То, !о — известные постоянные.
Определите условную функцию плотности вероятностей Я,х,т,у) для случайно- го процесса 11(1,о1), ! б Т, если известно, что М(С(1,а))]— : О, К1(!1, 1г) = ст1 6() г — С)) и т!(т)о) = х при т = 1. Ответ: ду ! д( у) 1г,тг дгу — — — =О, дт То ду 2Т' дуг 1 (у — тпч(х, т — !)) !(1,х,т,у) = ехр~- Д ) — о ' 2„) — ~) т — 1х вг„(х,т — 1) = хехр(- — ), Т,) оч(т — !) = — ~! — ехр( — )~. 1.)т,' 2(т — !) 8.16. Пусть 1!(1,о)), ! Е Т, — т-мерный марковский процесс. Определите вероятность того, что в момент времени т б Т 321 Вопросы и задачи значение его первой компоненты будет находиться в интервале (а, д). Ответ: Р1(т) = ... И~(т,уг,уг,,у„,)ЙуАуг".Йу.о В.17.
Угловые отклонения В1 и пг оси гироскопического маятника от вертикали в первом приближении удовлетворяют системе стохастических уравнений < г)1 Хууг — Хс1 Чг + Ху 11 = Х4г где Х, д — известные постоянные, а 41(й,оз), С Е Т = [О,оо), и Сг(г,оз), 16 Т, — горизонтальные ускорения точки подвеса маятника, которые можно считать независимыми случайными процессами, обладающими свойствами белого шума: М[Яг)) = О, К~„(т) = с6(т). Определите вероятность того, что в течение интервала времени Т ось маятника ни разу не выйдет за пределы конуса, образующая которого составляет угол 7 с вертикалью, если в начальный момент времени ось маятника вертикальна.
Ответ: Р(Т) = %(Т, у„уг) Ыу1Иуг, Р1+яз 47 где Ит(Т, у1, уг) — решение задачи дИт дИ; дИт хгсг сдгИт дгИг~ дт ду1 дуг 2 [ дуг дуг ) И (О, у„уг) = й(у1) й(уг), у1'+ у,' < ~', И~(т,уг,уг) = О. ~З2+Я2 С72 322 8. МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ Решение смешанной задачи может быть получено методом Фурье разделения переменных (ХП)в полярной системе координат и имеет вид г ХгсгТ 2 1'(Т) = ,'~ ехр(- г ) г г 1 х1о(хая)Нх, 27 7'11 (,иь) У о где,иь — корни уравнения 1е(н) = О, а 1г(х) и 1о(х) — функции Бесселя [Х1]. 8.18. Пусть П(~,ш), 1 6 Т, — двумерный марковский процесс с известными козффициентами сноса и диффузии. Изложите общую схему решения задачи определення среднего числа выбросов его ординаты за уровень, определяемый уравнением т а~у~ + огуг = Н, в направлении вектора нормали (о, ог) .
9. ЭЛЕМЕНТЫ СТАТИСТИКИ СЛЪ"4АЙНЫХ ПРОЦЕССОВ Подобно тому, как результаты теории вероятностей находят свое практическое применение в методах математической статистики, так и результаты, содержащиеся в предыдущих главах, являются теоретической основой для построения методов статистики случайных процессов. Из всего многообразия задач статистики случайных процессов рассмотрим лишь задачу оценивания параметров случайного процесса по дискретным значениям его выборочных реализаций.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
