XVIII Волков И.К., Зуев СМ., Цветкова Г.М. Случайные процессы (1081434), страница 40
Текст из файла (страница 40)
И'(11) — т((11) 7 т /02 -01 И (12) т((12)7 = ~ О 1 0 3 т / — 0,2 0 01 — 02 01 0,1 — 0,5 0,2) ' 0,2 -О,З О,З '1 0 — 0,1 — 0,3/ ' 9.2. Статистические моменты случайного процесса зз~ Действительно, если изучаемый случайный процесс является эргодическим по отношению к математическому ожиданию и Т= (О,оо), то 1 Г т~ = 1нп — ) Е(р,ы) Ир о и для оценки математического ожидания имеем 1 тя = — 1 ((р,ы1,1) Ир, е где интеграл в правой части равенства находят численно с использованием выборочной реализации.
В частности (рис. 9А), если 11 — — О,бсас и Ь1 = 1,+1 — 1„~ = 1, Ю вЂ” 1, то т.е. оценкой математического ожидания в рассматриваемом случае является среднее арифметическое выборочной реализации. ~1цид>) Ьс Лс Рис. 9.4 332 в. элементы стАтистики слУчАЙных пРОЦессОВ Аналогично, если стационарный (в широком смысле) случайный процесс С(1,м), 1 й Т = [О,оо), янляется эргодичесним относительно ковариационной функции (обобщение понятия эргодичности скалярного случайного процесса относительно диснерсии), то 1 Г т Ке(г) = 1пп — / Яр,4 — те) фр+ г,ы) — т1) др о и оценка ковариациониой функции при 1 — г > 0 имеет вид 1 Г т Кс(г) = — ~ (С(р,ы1П) — те) (~(р+ г,ы111) — тс) др, о где интеграл в правой части равенства находят численно, используя выборочную реализацию.
В частности (см. рис. 9.4), если наблюдения являются равноотстоящими, то оценку т~ получают согласно (9.9), а оценку ковариационной функции— по формуле где Х вЂ” т > 1, 1а+ — 1я+ тЬ|. При т = 0 из (9.10) получаем ~1 = К((0) = — ~ фгь огП)) — ™() ф(1я,ь'(д)) — ™() . (9.11) я=1 Пример 9.2. В условиях горизонтального полета самолета произведена запись вертикальной перегрузки, действующей на самолет. Перегрузка регистрировалась с интервалом в 2с в течение 200 с. Результаты измерений приведены в следующей таблице. 9.2. Статистические моменты случайного лроцесса 333 ! х(М) х(1) х(!) ! х(1) х(1) Необходимо определить оценку корреляционной функции изучаемого случайного процесса, если известно, что он является зргодическим по отношению к ковариационной функции.
В данном примере х(!) = С(1,м(!!), где ~(1,о~), ! Е Т, — скалярный случайный процесс значений вертикальной перегрузки, действующей на самолет в горизонтальном полете. Имеем д! = 100 и в соответствии с формулами (9.9), (9.11) находим о~~ = Е4 = 0,1045. т4 =0,98, Так как Ы = 2 и х4(г) = К4(г)/д~~, т = тЬ1, то для завершения анализа достаточно воспользоваться формулой (9.10) и учесть связь ковариационной и корреляционной О 2 4 6 8 !О 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 1,о 1,3 1,! 0,7 0,7 1,1 1,3 0,8 0,8 0,4 0,3 0,3 0,6 0,3 0,5 0,5 0,7 О,б 0,6 1,о 40 42 44 46 48 50 52 54 56 58 60 62 64 66 68 70 72 74 76 78 0,5 1,о 0,9 1,4 1,4 1,о 1,1 1,5 1,о 0,8 1,1 1,1 1,2 1,о 0,8 0,8 1,2 0,7 0,7 1,1 80 82 84 86 88 90 92 94 96 98 !Оо 102 104 106 108 11О 112 114 116 118 1,5 1,0 О,б 0,9 0,8 0,8 0,9 0,9 0,6 0,4 1,2 1,4 0,8 0,9 1,о 0,8 0,8 1,4 1,6 1,7 120 122 !24 126 128 !30 132 134 136 138 140 142 144 146 148 150 152 154 156 158 1,3 1,6 0,8 1,2 0,6 1,О 0,6 0,8 0,7 0,9 1,3 1,5 1,1 0,7 1,о 0,8 О,б 0,9 1,2 1,3 160 162 164 166 168 170 172 174 ! 76 178 180 182 184 186 188 190 192 194 196 198 0,9 1,3 1,5 1,2 1,4 1,4 0,8 0,8 1,3 1,о 0,7 1,1 0,9 0,9 1,1 1,2 1,3 1,3 1,6 1,5 334 9.
ЭЛЕМЕНТЫ СТАТИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ функций: Й4(2) = 0,505, к4(4) = 0,270, Й4(б) = 0,277, й4(14) = 0,071, й,(2 ) = 0 (ш > 7). /с4(8) = 0,231, Й4(10) = -0,013, й,(12) = 0,014, Функция к4(т) изображена на рис. 9.0 набором точек, через которые проведена непрерывная кривая. Не совсем гладкий вид этой кривой объясняется недостаточным объемом экспериментальных данных.
На рисунке также приведен вариант аппроксимации оценки Й4(г) гладкой функцией. ф 0,8 0,6 0,4 0,2 2 4 6 8 10 12 14 Рнс. 9.5 При решении реальных задач математического моделирования наличие априорной информации об изучаемом процессе позволяет существенно сократить необходимый объем данных наблюдений, получение которых, как правило, связано со значительными затратами материальных и временных ресурсов.
Априорная информация об изучаемом процессе может быть самой разнообразной, но в том или ином виде она всегда имеется в распоряжении исследователя. Поэтому далее рассмотрим методы, предполагающяе определенные априорные знания об изучаемых случайных процессах. аэ. Опениванне параиетроп случайного процесса 335 9.3.Постановка задачи оценивания параметров случайного процесса Задача, о которой пойдет речь, состоит в том, чтобы по данным выборочных реализаций случайного процесса с(С,ь~), Се Т, построить оценки неизвестных параметров, составляющих вектор Д.
Эту задачу, известную как задача оценив они* тэараметров случайноео тэроцесса по данным его выборочных реализаций, будем рассматривать в предположении, что: 1) динамика состояния изучаемого обьекта представляет собой и-мерный случайный процесс С(С,м), С Е Т; 2) состояние изучаемого объекта от значений ряда параме- Ъ т тров объекта, представленных вектором )3 = (Стс ... С)ь); 3) невозможно прямое определение параметров изучаемого объекта, представленных вектором С). Рассматривая сделанные предположения как априорную информацию относительно случайного процессами(С,ы), С Е Т, приходим к выводу, что все его конечномерные законы распределения зависят от вектора параметров Д.
Таким образом, ДС(х) С) = ~С(х/С;,8), ,~~(х(с),...,х(со) ! Сс,...,Ссч) = СС(х(с)>...,х(сч) ! Сы... )Сх'Я, Су > Иэ этого следует зависимость от вектора параметров Д момен- тпов изучаемого случайнозо процесса. В частности, тС(С) = ™С(С()у), КС(СыСэ) = КС(СмСз[)э)~ Е((С) = Е((С))з). Пример 0.3. Пусть скалярный случайный процесс описывается стохастической моделью состояния: С(С,м) = хоехр( — АС+ Дэв(С,ь~)), С Е Т = [О, оо), (9.12) где ев(с,~г), с е т, — скалярный винеровский процесс, выходящий из О, с козфЯициентом диффузии в'э = 1; хв > О— Известное детерминированное значение начального состояния; т С) = (Дс С)э) — вектор неизвестных параметров. 336 9. ЭЛЕМЕНТЫ СТАТИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ Из (9.12) следует, что 1п~ ) = — Я1+Дгш(1,ы), ~ Е Т. г~(1,м) ч хо 41з1 М) е( )~ (9.13) 41К1 М) где случайные векторы (1ь1(ы), й = 1, К, являющиеся функциями сечений случайного процесса С(1,м), ~ Е Т, независимы н имеют один и тот же закон распределениа Таким образом, при любом фиксированном Ф Е Т случайная величина 1п(4(~,м)/хо) распределена по нормальному закону с математическим ожиданием — Д~ и дисперсией 3з~.
А это значит, что одномерная 93ункция плотности вероятностей изучаемого случайного процесса является плотностью логарифмически нормального распределения и зависит от вектора параметров 13, т.е. )~(х)С) = Я(х~С;Я. ~ф По результатам качественного анализа изучаемого случайного процесса С(й,ы), С б Т, с учетом содержательной интерпретации неизвестных параметров, составляющих вектор 13, может быть выдвинуто предположение о том, что вектор 13 принадлежит некоторому открытоку выпуклому множеству В С Ж~. Если ограничения на значения вектора параметров ~3 отсутствуют, то полагают В = Е~. Именно этот случай и исследуется далее. Итак, мы приходим к следующей задаче: по известным значениям и-мерного случайного процесса С(Ф,м), 1 к Т, представленным множеством П., где П„-- любое из рассмотренных в 9.1 множеств данных наблюдений, необходимо построить качественную оценку 13 = 13(Е'„) Е В вектора неизвестных параметров 3.
Для уяснения понятия „качественная оценка" рассмотрим случайную выборку объема К для случайного процесса С(~,м), Ф Е Т, зависящего от вектора неизвестных параметров 13: с1 1('") Н В Оценнванне параметров случайного процесса 337 Каждая случайная выборка объема К для случайного процесса с(с,м), ! Е Т, связана с конкретным видом функциональной зависимости случайных векторов «(ь!(а), й = 1, К, от сечений случайного процесса Д!,ы), ! Е Т.
Поэтому при решении практических задач способы формирования случайной выборки с(со) определяются схемой испытаний, которые проводятся с целью получения данных наблюдений, представленных множеством с7.. Значит, У, — реализация случайной выборки с(и). Конкретные способы формирования случайной выборки с(м), соответствующие данным наблюдений, которые представлены множествами У, У~,ч, Уа!~д, рассмотрены в 9.4. Пусть !3а (м) — оценка вектора неизвестных параметров !3, полученная на основе случайной выборки с(о~), определенной в (9.13), т.е. выборочная статистика. В этом случае оценка ,3(У,) является реализацией случайного вектора ~3к(сэ) и качество оценки !3(!7.) определяется требованиями, предъявляемыми к вероятностным свойствам случайного вектора 3к (м).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
