XVIII Волков И.К., Зуев СМ., Цветкова Г.М. Случайные процессы (1081434), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Это оправдано, во-первых, тем, что ее постановка является типичной для весьма обширного класса прикладных задач, а во-вторых, тем, что ее решать можно различными методами. Применение таких методов показано в этой главе. Более полное изложение статистики случайных процессов читатель может найти в специальной литературе'. Приступая к обсуждению задачи оценивания параметров случайных процессов по дискретным значениям их выборочных реализаций, введем некоторые обозначения и рассмотрим типовые варианты данных наблюдений. 9.1. Данные наблюдений Напомним, что если Ом) — и-мерный случайный вектор с множеством возможных значений Х С К" и плотностью распределения вероятностей ~~(х~,б) = ~~(хы...,х„~~3ы...„9с), где д Е К~ — вектор параметров, то случайной выборкой Смг Липчер Р.Ш., Ширяев л.н. 324 9.
элементы стлтистики слУчАЙных пРОЦессОВ объема Х для Дм) называют блочный случайный вектор С(11(ы) Он[с( ))=' ~(з)( ) с(н1(а') с множеством возможных значений У = Х С И" и функцией плотности вероятностей ~(у[(1) — = П А~(у( 1[(У) я=! который составлен из независимых и-мерных случайных векторов с(я1(м) й = 1, Ю, имеющих тот же закон распределения, что и и-мерный случайный вектор С(м). Конкретное значение случайного вектора Як[с(м„)) называют реаянзая(ней случайной выборка. Пусть теперь с((,м), ( й Т = [а,о), — - и-мерный случайный процесс, характеризующий состояние изучаемого объекта, а ~((,ы(я(), а(ь1 й О, Явлметсм его й-й Реализацией, й = 1, т.
БУдем предполагать, что при проведении и-го испытания в результате наблюдений за состоянием изучаемого объекта в дискретные моменты времени (ь,,1 = 1, г((й), а < (ы < (ьз « ... (як(я1 < Ь, определена выборочная реалнзая(ия ~(Т(ь(,ы(я() = (Я((,м(я1): ( й Т(я1~, Т(я1 = ((я ) (11, (9.1) являющаяся совокупностью Ю(к) значений случайного процесса с((,ы), ( е Т, в дискретные моменты времени, составляющие множество Т(„1, при фиксированном значении а~ = ы(ь1 й й. Совокупность т таких выборочных реализаций обозначим как множество 4 К(Т(ь) м(ь1))я=1 (9.2) а при т = 1 вместо 6(1 будем просто писать Г. 325 9.1.
Данные наблюдений Предполагая, что случайные проттессы ~1ь)(т,ьз), 1 б Т, к = = 1, т, независимы и имеют те же конечномерные законы расоределения, что н исходный случайный процесс С(1,ьт), 1 Е Т, можем считать С(Т1ь),зо1ь)) выборочной реализацией случайного процесса С1ь)(1,оз), 1 Е Т, н в этом смысле говорить о иезависимостии выборочных реализаций, представленных множеством У Далее мы предполагаем, что для всех тз = 1, т значения ((ты, ьт1ь) ), 1 = 1, зт'(к), случайного процесса с (1,ьт), 1 е т, оп ределены точно путем прямых измерений значений компонент вектора состояния изучаемого объекта.
Таким образом, считаем, что выборочные реализации не содержат нн систематических, нн случайных ошибок измерений. В практических задачах встречаются самые разнообразные варианты данных наблюдений в зависимости от воэможностей нх получения. Например, множества Т11),Т1з),...,Т1 ) могут не содержать общих элементов (рис. 9.1), но может иметь место ситуация, когда Т11) = Т1з) = ... = Т1 ), т.е. значения выборочных реализаций измерены в одни н те же моменты времени 1„1 = 1, Х, где для всех й = 1, т имеем Х(к) = Х н 1ьт =1„,1' = 1, Х (рис. 9.2). На рис. 9.1 н 9.2 элементы множества У для скалярного случайного процесса С(1,ьт), 1 Е Т, представлены в виде точек, расположенных на его траекториях.
ыт) ы,з~) тзз Зи тзт Ззз зы тзг ззз ти 326 9. ЭЛЕМЕНТЫ СТАТИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ 0 и 11 й~ йд й~ ЙБ й~ Н Ф8 йе Ь я Рис. 9.2 Довольно часто встречается случай, когда одно испытание позволяет произвести лишь одно измерение вектора состояния (например, если в результате измерения или после него объект разрушается). В этом случае для получения данных о динамике вектора состояния используют Ю практически одинаковых объектов, испытания которых начинают одновременно, но измерение состояния у'-го объекта производят в момент времени 1; Е Т. ГГри этом 1+1 >1, 1= 1, М вЂ” 1, а 1'-я выборочная реализация состоит из одного значения вектора состояния: Е(ТЦ),ыЦ)) = (91,иЦ)): С Е Т(1)), Т( 1 — — (1.)з 1 С Т.
(9.3) Множество ГГн таких выборочных реализаций обозначим через ГГ1у, тем самым указывая, что оно представляет собой как бы одну выборочную реализацию, но состоящую из Ч независимыв эначейнб рассматриваемого случабноео нроя4есса, где независимость понимают в смысле независимости выборочных реализаций. Этот вариант является частным случаем более сложного испытания, когда в момент времени 1= а одновременно начинают испытания М практически одинаковых объектов.
В моменты времени Г,, у = 1, Х, а < ~1 < 1з < ... < 1н < 6, производят измерения состояния соответственно у ты тиз, ..., ти,ч объектов. После измерения состояния объект выбывает иэ рассмотрения. Поэтому после измерений в момент времени 6 = ~1 32? Я.1. Данные наблюдений К(Т[д),ниц,)) = (~~1,н1б)): с Е ТП1, 1 Е Е111), Т1В = (11)1ю1 С Т, Ебй Ь ( ~1 тй+1~ я=1 (9.4) Множество таких реализаций обозначим через Еды (рис. 9.3). Заметим, что если т1 = 1 для всех 1 = 1, Ю, то приходим к предыдущему варианту испытаний. 0 а 1 Ь Рис. 9.3 Конечно, существуют выборки и других видов, но мы ограничимся данным рассмотрением, которого вполне достаточно для иллюстрации применения основных методов статистики случайных процессов.
В заключение отметим лишь, что при правильном планировании проводимых исследований не вид выборки определяет выбор метода ее анализа, а наоборот — исходная задача и выбранный метод ее решения должны являться будет получено ти1 значений вектора состояния и останется М вЂ” т1 действующих объектов. После измерений в момент времени 1 = 11 будет получено еще тз значений вектора состояния и останется М вЂ” (т1+ тз) действующих объектов и т.д. При этом М = т1+ тз+... +ев1ч. Таким образом, в момент времени 11 имеется тЕ независимых значений случайного процесса Дс)м) 1е т: 328 а элементы стАтистики случАЙных пРОцессОВ 9.2.
Статистические моменты случайного процесса Рассмотрим случай, когда полностью отсутствует какая- либо априорная информация о закономерностях поведения нзучэемого объекта н в результате испытаний получено множество независимых выборочных реализаций У~, определяемое соотношениями (9.2), (9.1) прн тр,1 = т(е) 4 («,) и, С т, й = 1, (9.5) Прн каждом фиксированном 1 Е Т(в1 исследователь располага- ет реализацией случайной выборки объема т для и-мерного случайноео вектора С(1,а ). Эта реализация представляется ма- трнцей И'(1) = (01ЛвП)) ~(е~~л(з)) " 4(1~«~(та))) Е Мтаэта(1~), где с1(1,02(ь1) с2(~ ~л(ь1) 1ЕТ(вр че(1 ч'(ь1) = 6~ (1 ~ ~в(Й1 Оценки основных моменпзов рассматриваемого случайного процесса, т.е. оценки его математпического азкидания, ковариационной матрицы н ковариационной функции, могут основой для планирования необходимых измерений.
К сожэленню, это не всегда удается. Зачастую исследователь вынужден н«кать компромнсс между этими крайностями, что требует определенного искусства н стимулирует его к соэданню новых методов решения прикладных задач. В этой главе, рассматрнвая тот нлн иной метод статистики случайных процессов, мы будем использовать соответствующую этому методу выборку. 9.3, Статистические моменты случайного процесса 329 быть найдены с использованием известных формул математической статистики [ХЪ'11).
Так, для оценки математического ожидания имеем 1 1 т((1) =,~,6! ол(ь)) = — — И'(!)1, 1Е Т1ор (9.6) т ' т ь=! т где ! = (1 °" 1) Е М !(яс) — единичная матрица-столбец. Оценку ковариационной матрицы можно определить следующим образом: (Иг(1) — т1(1)! ) (Иг(Ю) — т~(1)! ), 1 6 Т(о). (9.7) Диагональными элементами матрицы Е~(1) являются исправленные выборочные дисперсии компонент вектора состояния изучаемого объекта в момент времени ! Е Т1ор Совершенно аналогично вычисляют оценку ковариационной функции: 1 т К1(1,т) = ~! ®1,о!<я1) — т~(1)) фт,о!(ь)) — тл(т)) ь=! (И'(1) — т1(1)! ) (И'(т) — тг(г)! ), 1, т Е Т1ор (9.8) Заметим, что множество У выбрано с условием (9.5) далеко неслучайно.
Во-первых, укаэанное условие позволяет усреднять значения выборочных реализаций для каждого ! Е Т(ор а в противном случае пришлось бы проводить интерполяцию реализаций. Во-вторых, при нарушении условия (9.5) использование множества 1!м!ч для оценки ковариационной функции некорректно, поскольку в этом случае оно представляет собой (по условиям испытаний) множество независи.иых значений случайноео процесса. 330 9 ЭЛЕМЕНТЫ СТАТИСТИЕИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ Пример 0.1. Пусть ((1,о>), 1 Е Т, — двумерный случайный процесс, Т1е1 = 11ы 1з) С Т, а результаты испытаний представлены в следующей таблице.
В данном случае т = 5 и и = 2. Согласно 19.6), 3 ' ~~ ) 2 Поэтому и для нахождения оценок ковариационной матрицы н ковариационной функции достаточно воспользоваться равенствами ~9.7) н (9.8): 1 0,025 0,045~1 - / 0,065 -0,020 1 ~~~") 10045 0,100)' ~~~") ~-0020 0050/' 1 0,0100 0,0025'1 ~ 0,0425 — 0,0025 ( ' Если заранее известно, что ороаесс изменения состояния изучаемого об"ьекта является эрзодаческим по отношению к рассматриваемому моменту, то для решения задачи оценнвания этого момента можно обойтись одной реализацией 17 тв ~~(1„мВ) ): ~' = 1, 1У, а < 11 ( 1з ( ... < 1,Ч < й) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
