XVIII Волков И.К., Зуев СМ., Цветкова Г.М. Случайные процессы (1081434), страница 26
Текст из файла (страница 26)
с ° ~ 1 (6,21) Точно та,к же го „г „г Рга+г = г р, 1 Ъ 1, (6.22) П ( + Ю) П ( + ау) /с=1 тс= 1 где величину 11 с! (6.23) си равную отношению среднего времени обслуживания одной заявки (1/тт) к среднему времени охсидания, называют приведенной плотностпью потпока ухода заявок из очереди. Подставив (6.21), (6.22) в последнее уравнение системы (6.19), находим 2, ог ро = ~~1 —., +, „° (6 24) П( +йд) тсм! Среднюю длину очереди р определяют как атвтеататическое ожидание числа заявок, находящихся в очереди. Из (6.22), (6.24) находим и= т ГР„,+г — — — 1 ,П1 г ро !'=1 = П( +йд) (6.25) 212 в, элементы теОРии мАссОВОГО ОБслужиВАния А так как некоторые требования, не дождавшись обслуживания, уходят из очереди с интенсивностью и, то без обслуживания систему покидает в среднем ир заявок в единицу времени.
Значит, из Л поступивших заявок будет обслужено лишь (Л вЂ” ир). Можно найти относительную пропускную способностпь системы „Л вЂ” иг иг Ч= Л Л =1 —— (6.26) и среднее число занятых каналов обслузкиванил, которое с учетом (6.20) и (6.23) можно записать в виде (6.27) т= ~~» 1р,+~~ тр в„—— ~~»»р;+т(1 — ~ гр,) г=о или т = т — тро — ~~» (т — г)р„ (6.28) =о где т — число одинаковых параллельных каналов обслуживания в исходной системе, а вероятности рь, й = О, т — 1, находят по формулам (6.21), (6.24).
Значение т, определяемое равенством (6.28), вычислить много проще, чем значение г, определяемое формулой (6.25). Величина д определяемая равенством (6.26), характеризует вероятность того, что заявка, поступившая в систему обслуживания, будет обслужена. При отсутствии очереди г = О и д = 1, т.е. все заявки обслуживаются. Величина т, определяемая равенством (6.27), есть математическое ожидание числа занятых каналов обслуживания. Воспользовавшись тождеством (6.16) при и = оо и тем обстоятельством, что в состояниях (5 +„)„>о все каналы обслуживания заняты, находим 6.7. Стационарные режимы некоторых систем 213 Поэтому, учитывая (6.26), (6.27), находим сх — й1 т сх 1 и (6.29) Л вЂ” ит и т = — т= —.
и Л сх и д=1 —— Л 6.7. Стационарные режимы функционирования некоторых вариантов систем обслуживания Из результатов достаточно общего характера (см. 6.6) можно сделать ве~ьма интересные для практических приложений выводы. Исследуем стпационпрные режимы функционирования некоторых вариантов сисопем обслуживания при сделанных выше (см. 6.2-6сй) предположениях относительно входного потока, структуры системы и законов распределения времени обслуживания и времени ожидания.
Другие варианты систем обслуживания анализируются аналогично, а результаты анализа подробно описаны в специальной литературе". хэистые системы обслуживания с ожиданием. кометой систпемой обслуживания с озсидапием называют такую систему, в которой заявки не покидают очереди.
Отметим особенности таких си~тем. 1. Эти системы имеют неограниченное время ожидания. 2. Иитпенсивпосжь уяода заявок из очереди нулевая: н = О, и, согласно (6.23), )1 = О. Иэ (6.24) следует, что Ро = ~~~ —., + — ~ ~~', — „ (6.30) 'Сма Иочскко Г.И., Коштокоо В.А., Коваленко И.Н. Отметим, что, согласно (6.29), относительная пропускная способиосьпь д системы обслуживания равна отношению среднего числа занятых каналов к приведенной плотности потока заявок. 214 в. элементы теОРии мАссОВОГО ОБслУжиВАниЯ 3.
Если приведенная плотность потока заявок а не меньше числа каналов обслуживания т (а > т), то ряд с общим членом (а/т)' будет расходящимся. Значит, согласно (6.30), ро — О, а из (6.21), (6.22) получаем, что рь = О, Й > О, и тождество (6.16) нарушается, т.е. стационарного режима нет. В рассматриваемом случае среднее число требований, приходящееся на среднее время обслуживания одной заявки, не меньше числа каналов обслуживания. Позтому длина очереди неограниченно возрастает.
4. Если приведенная плотность потока заявок а меньше числа каналов обслуживания т (сг < т), то ряд в (6.30) с общим членом (о/т)' сходится, его сумму легко найти (зто геометрическал прогрессия) и равенство (6.30) равносильно следующему: (6.31) Н т! (т — сг) Средняя длина очереди г может быть найдена из (6.25) при 13 = 0: с„йъ „г „л~ о г = — ~~~ г( — ) ро =— ро (6 32) ' т(- /т)' г=1 Пример 6.5.
На железнодорожную сортировочную горку прибывают составы с интенсивностью 2 состава в час. Среднее время обработки состава равно 0,4 часа. Составы, прибывшие в момент, когда сортировочная горка занята, становятся в очередь в парке ожидания с тремя путями, каждый нз которых предназначен для одного состава.
Если все пути в парке ожидания заняты, то прибывший состав ожидает свою очередь на внешней ветке. При отмеченных выше предположениях необходимо найти: 1) среднее число со~тавов, ожидающих обработки; 2) среднее время пребывания состава в парке ожидания; о.7. Стационарные реиимы некоторых систем 215 3) среднее время пребывания состава на внешней ветке; 4) среднее время пребывания состава на сортировочной горке, включая время ожидания и время обслуживания; 5) иерояоьносоьь того, что прибывший состав займет место на внешней ветке. Имеем интенсивность входного потока Л = 2, интенсивность обслуживания ьь = 1/0,4 = 2,5, приведенную плотность потока заявок о = Л/Ьь = 0,8.
В системе один канал обслуживания (сортировочнал горка), поэтому т= 1. А так как 42=0,8 < 1= = оь, то система справляется с обслуживанием входного потока и, согласно (6.31) при т = 1, Ре — — 1 — о. По формуле (6.32) вычисляем среднюю длину очереди ( в составах): о2 0,82 гсс — = ' =32. 1 — и 1 — 0,8 Рьь = „'ь рь = «> рь+„— — ~~» ос (1 — о) = ол = 0,4096.
=з Среднее время ожидания на внешней ветке (в часах) равно х (г+ 1) — 3 + Ре+" ° = 7 Рь.~.с = .=з 4 — 2)се (1 — о) = у )ссх „+Ь о (1 — 4х) ч = 0,8192. ьь(1 — а) 1 2 тьь = Р4+ Рь Р 14 1 — (г Ьь .=з Вероятность того, что прибывший состав займет место на внешней ветке, находим из (6.22) при тп = 1, Ре — — 1 — а и ,0 = О, так как имеем дело с чистой системой обслуживания с ожиданием, для которой и =0 и, согласно (6.23), Д =О. Искомая вероятность равна вероятности того, что длина очереди будет больше трех: 216 б.
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ Среднее время ожидания (в часах) в парке с тремя путями, на каждом из которых может находиться лишь один состав, равно 1 2 3 1г гпо= Р1+ — Рз+ ~~~ Рь= — (оро+2'" Ро+3~~' о Ро) = " ь=з ь з 2 о х о(1 о) — (о+2о~+3 — ) = = 0,7808. И 1 — а) р(1 — о) Таким образом, ~реднее время ожидания обслуживания в рассматриваемой системе ( в часах) равно 1,. = 1„. + 1м = 1,6, а среднее время пребывания состава на сортировочной горке составляет 1 К= К„+ — = 2. ~ф И 1>0, 1=0,т, р',(1) =Лр, 1Я вЂ” (Л+ць)РЯ+(в+1)рр,+1Я, р,(С) =0, р +,(1) =0, ~ р,(1) = 1, 1 > 0, ~=0 (1, 1=у; р,(0) = ~ ' (О, 1ф у. Системы обслуживания с откжами. Эти системы имеют следующие особенности.
1. Заявка, поступающая в такую систему в момент, когда все каналы обслуживания заняты, покидает систему. Это означает, что в рассматриваемом случае очередь отсутствует и система имеет конечное множество состояний (Яь)ь е, где ш — число каналов обслуживания. 2. В соответствии с (6.16)-(6.18) математическая модель системы обслуживания с отказами имеет следующий вид: 217 о.7.
Стааиоиарние режимы некотории систем 3. При изучении стационарных режимов функционирования систем обслуживания с отказами можно использовать результаты из 6.6, учитывая, что в данном случае интенсивность ухода из очереди равна и = со. Согласно (6.23), из и = со следует 13 = оо, поэтому из (6.21), (6.24) получаем а р = —.Ро г = 1, т. $ ч При этом, полагая а' т 1о(т;а) 4 —,е ™, 1= О, т, В(т;а) 4 ~~ 'Р(г';а), (6.33) оке приходим к формулам Р = ', г'=О,т.
(6.34) В(ц а) — В(1 — 1; а) В(т;а) а~ 1 те+05 — ах В(1;а) = ~~) — е и — +Ф~ ' ), й! 2 х/а ь 1 7 р/г где ф(х) = — ~ е ' а1 — функция Лапласа. чl2~г .! о 5. Полагая г = тп в формулах (6.33), (6.34) (все каналы заняты), находим вероятность отказа В(т — 1;а) Рот к Рт В(т; а) (6.35) Формулы (6.33), (6.34), известные как формулы Эрламеа, названы по имени датского инженера А.К. Эрланга, который в 20-х гг.
ХХ в. впервые исследовал систему обслуживания с отказами применительно к телефонной связи. 4. Формулами Зрланга (6.33), (6.34) удобно пользоваться при больших значениях г, так как в этом случае 218 в. элементы теОРии мАссОВОГО ОБслУжиВАний В(т — 1;и) ч = 1 — Р»т» = В(т;и) (6.36) 6. Согласно определению математического оясидания для дискретной случайной величины, среднее число занятых каналов в исходной системе обслуживания равно г В(к; а) — В(й — 1; сг) В(т; с») В вычислительном аспекте величину К,р удобнее определять как отношение абсолютной производительности системы (среднее число заявок, обслуженных в единицу времени) к интенсивности обслуясивания р (среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени одним каналом): К,р — — ' " —— (хд = о ' . (6.37) Л(1 — р, „) В(т — 1;а) р В(т; а) Пример 6.6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
