XVIII Волков И.К., Зуев СМ., Цветкова Г.М. Случайные процессы (1081434), страница 24
Текст из файла (страница 24)
6.2. Простейший лоток Так как поток заказов является простейшим и интенсивность А = 12(заказов/час) = 0,2(заказа/мин), то, согласно (6.5), имеем: а) Р[П(ш) = 0 )1 = Ц = с од = 0,819; б) Р[п(ш) < 3/1= 10) = (Л1)" Р[0(ш) = й(1 = 10) = ~~», е ь=о 1=0 ~=до 22 2з = (1+2+ —,+ —,+...)е ~ ъ0,857. 4 (6.8) В соответствии с определением 6.1 простейшего потока, длительность т временного интервала между двумя последовательно поступающими заявками является случайной величиной т(ш).
Для построения математических моделей систем обслуживания необходимо знание функции распределения Р,(Т) Ь 4 Р[т(ш) < Т) случайной величины т(ш) или ее плотности распределения (веролтносп1ей) /,(Т). Теорема 6.2. В случае простейшего входного потока с интенсивностью Л длительность т(ш) временного интервала между двумя последовательными заявками имеет экспоненциальное распределение с параметром А.
й Вероятность реализации случайного события [т(ш) > Т), означающего, что длительность временного интервала между поступлениями двух заявок будет больше некоторой величины Т, равна вероятности отсутствия заявок в этом интервале. Поэтому Р[т(ш) > Т) = рв(Т). С учетом (6.5) при Т > 0 имеем Р[т(ш) < Т) = 1 — Р[т(ш) > Т] = 1 — Ро(Т) = 1 с — Ат 198 6.
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ Очевидно, что Р[т(ю) < Т) = 0 при Т < О. Согласно определению функции распределения случайных величин (см. П1), (1 — е-лТ Т > О. Р (Т) = Р(т(ы) < Т) = ~ О, Т < О, т.е. случайная величина т(ю) распределена по экспоненцнально- му закону с параметром А. ~ Следствие 8.3. В случае простейшего входного потока с интенсивностью А длительность т(ы) временного интервала между двумя последовательно поступающими заявками является случайной величиной с плотностью распределения (вероятностей) математическое ожидание и дисперсия которой определяются равенствами (6,9) (6.10) Согласно следствию 6.3, Р[т(ю) > Т+л[т(ы) > я) = Р[(т(ю) > Т+я) Л (т(ю) > л)] Р[т(ю) > Т+я) Р[т(ю) > л) Р[т(ю) > я) ,-л1т+.) = е = Р[т(ю) > Т1 (6.11) Таким образом, вероятность появления очередной заявки по прошествии времени Т при простейшем потоке не зависит от момента появления предшествующей, что является следствием отсутствия последействия в простейшем входном потоке.
199 6.3. Время оввдавия н время обслуживании 6.3. Время ожидания н время обслуживания В теории массового обслуживания время обслуживания, т.е. время пребывания одной заявки в канале обслуживания считают случайной величиной, распределенной, как правило, по зкспоненцизльному закону с плотностью распределения (вероятностей) -«е 1> О. О, 1 < О.
(6.12) Ф (1 — е вм е>0 ся(е) = д(х) дх = (6.13) Ее значение равно вероятности того, что к моменту времени 1 обслуживание заявки будет завершено, т.е. освободится канал обслуживания. Время ожидания (время пребывания заявки в очереди, если последняя существует) также считают случайной величиной, распределенной, как правило, по зкспоненциальному закону с плотностью распределения (вероятностей) (6.14) Это обусловлено многими причинами, среди которых следует отметить: 1) отсутствие последействия; 2) достаточно корректное отражение свойств многих реальных систем обслуживания; 3) простоту и удобство аналитических выражений.
Согласно (6.12), среднее время обслуживания заявки равно 1/р (ср. (6.9) ). Величину р называют иктексивкостьяо обслузкивакия. Функция распределения времени обслуживания заявки равна 200 в, элементы теОРии ЧАссОВОГО ОБслУжиВАниЯ и функцией распределения с (1 — е ", 1>0; Н(1) = Ь(х)йх = ~ ' ' (6,15) О, й < О, где и — величина, обратная среднему времени ожидания, а значение Н(1) равно вероятности того, что в момент е начнется обслуживание заявки. 6.4.
Основные принципы построения марковских моделей массового обслуживания 1. Процессы массового обслуживания представляют собой случайные процессы с дискретными состояниями. Переход из одного возможного состояния в другое происходит скачком в момент, когда реализуется какое-то случайное событие (поступление новой заявки, начало или окончание обслуживания, уход заявки из очереди и т.п.), вызывающее такой переход. 2. Для процессов массового обслуживания с простейшим входным потоком и зкспоненциальным законом распределения времени обслуживания характерно отсутствие последействия. Таким образом, будущее развитие рассматриваемых процессов зависит лишь от их текущих состояний и не зависит от того, как происходило их развитие в прошлом. А зто означает, что процессы массового обслуживания с простейшим входным потоком заявок и зкспоненциальным законом распределения времени обслуживания являются марковскими процессами с дискретными состояниями.
3. Предположим, что в систему обслуживания с т идентичными параллельными каналами обслуживания поступает простейший входной поток. При наличии хотя бы одного свободного канала немедленно начинается обслуживание заявки, а если все каналы заняты, то заявка становится в очередь (в системах обслуживания с отказами заявка покидает систему; в е я Построение марковских моделей массового овслумнваннл 201 еистпемах обслуживания с оерапичепной длипоб очереди заявка становится в очередь, если там есть свободное место, и покидает систему в противном случае). Пусть Я, — возможное состояние рассматриваемой системы обслуживания, характеризуемое тем, что в ней занято ровно г каналов обслуживания, г = О, т, а возможное состояние системы з +„характеризуется тем, что все та каналов обслуживания заняты и очередь состоит из г заявок, где г > 1.
Если на длину очереди не накладывают ограничений, то г может быть сколь угодно большим и система может иметь счетное множество состояний. Системы обслуживания с отказами и с ограничениями на длину очереди могут иметь лишь конечные множества возможных состояний. 4. За бесконечно малый промежуток времени Ьс система обслуживания с простейшим входным потоком заявок и экспоненциальным законом распределения времени обслуживания либо остается в прежнем состоянии 15,), либо переходит в соседнее (5,+1 нли з, 1 при 1 > 1, з1 при 1 = 0). Таким образом, в любой момент времени 1 система обслужи вания с т идентичными параллельными каналами обслуживания находится в одном из своих возможных состояний (з',1", „, и Е Ж или и = оо. При этом: если 1= О, т, то занято 1 каналов и очереди нет; если 1 = т+1, и, то заняты все т каналов и в очереди находится 1п — т) заявок; если п = т, то рассматривают систему обслуживания с отказами; если т < п < оэ, то рассматривают систему обслуживания с ограниченной длиной очереди; если п = оо, то рассматривают систему обслуживания с ожиданием без ограничений на длину очереди.
5. Пусть 1з,)," в — множество возможных состояний рассматриваемой системы обслуживания. Для 1 = О, и введем случайное событие оо заключающееся в том, что в момент 202 6. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ времени ~ > 0 система находится в состоянии Б„н обозначим вероятность его реализации через р,(с): р,(1) = Р(о,). В любой момент времени исходная система может находиться лишь в одном из возможных состояний, поэтому (о,),", — полная группа событий и, как следствие, (6.16) Одна из задач теории массового обслуживания сводится к определению вероятностей р,(~), 1= О, п, как функций времени.
6. Из приведенных выше рассуждений и определения 5.8 марковского процесса с дискретными состояниями следует, что рассматриваемые процессы массового обслуживания являются процессами гибели — размножения. К изложенному в 6.4 добавим следующее: а) элемент размеченного графа состояний системы Б, соответствующий возможному состоянию Яь, будем называть Й-й верилиной гроува„стрелки, указывающие возможные переходы системы 5 из состояния в состояние, с записанными переходнььми вероятностями, — нагруженнььми дугами, а переходные вероятности — весами; б) при составлении системы уравнений Ко могорова можно использовать следующее правило: производная от вероятности пребывания системы в состоянии Я, в момент времени ~ равна сумме произведений весов дуг, инцидентных 1-и вершине размеченного графа состояний, на вероятности состояний, к которым они направлены; при этом вес дуги берется со знаком „плюс", если дуга направлена к 1-й вершине, соответствующей состоянию ло и со знаком „минус" в противном случае; в) плотности вероятностей переходов (Д,Д, а следовательно, и переходные вероятности могут зави~еть от структуры системы, характеристик входного потока и параметров законов распределения времени ожидания и времени обслуживанияя.
блп Построение марковских моделей массового обслуживание 203 Пример 6.2. Рассмотрим простейшую задачу шеории массового обслуживания — задачу о функционировании одноканальной системы обслуживания с отказами, на вход которой поступает простейший поток заявок с интенсивностью Л (заявка, заставшая канал занятым, покидает систему), а время обслуживания заявки — случайная величина, распределенная по экспоненциальному закону с параметром р = сопв1. В данном случае система имеет лишь два возможных состояния: яе — канал сво- Г ч ч— ьч боден; Я1 — канал занят.
Ее размеченный граф состояний изображен на рис. 6.2. Далее (см. 6.5) мы докажем, что Лш = Л Рис. 6.2 и Лш = р. Если считать, что в начальный момент времени 1 = 0 система находилась в состоянии Яе, то машемашическая модель изучаемого процесса массового обслуживания имеет следующий вид: реЯ =-ЛреЯ+рр Я, р',(1) = Лре(1) — рр,(С), р.(о) = 1, р,(о) = о. При этом, учитывая, что, согласно (6.16), р1(1) = 1 — ро(1) 1> О, математическую модель можно упростить: < рОИ) (Л+ И)реИ) + И р.(о) = 1. Решив полученную задачу Коши, находим (рис.
6.3) рояее + е 1+во 1>о р Л Л+р Л+р р1(1) = — — е (~+"1', 1> О. Л+р Л+, 204 в элементы теОРии мАссОВОГО ОБслУжиВАниЯ л Рис. 6.3 Важнейшими характеристиками системы обслуживания с отказами являются: Л р1 — — 1пп р1(Ф) = т-+ Л+ р ре = !па ре(1) = —, И й-+оо Л + а ' Поэтому в рассматриваемом случаеотносительная пропускная способность системы обслуживания равна р/(Л+ и). Можно показать, что абсолютная пропускная способность равна а) абсолютпная пропусяная способностпь — среднее число заявок, которое может обслужить система в единицу времени; б)отпноситпеяьная пропусямая способностпь — отношение среднего числа заявок, обслуживаемых системой в единицу времени, к среднему числу поступивших за это время заявок.
Нетрудно убедиться в том, что в примере 6.2 функцию ро(1) можно интерпретировать как относительную пропускную способность системы. Действительно, ре(1) есть вероятность того, что в момент 1 канал обслуживания свободен, т.е. что заявка, поступившая в момент 1, будет обслужена. А это означает, что ре(т) есть отношение числа обслуженных заявок к их общему числу, или относительная пропускная способность системы. При стпаллиомармом (установившемся) режилле фумятлиомировамия имеем б 4 Построение марковских моделей массового обслуживания 205 величине обратной сумме среднего времени ожидания заявки и среднего времени ее обслуживания: 1 Лр 1 „1 Х н Пример 6.3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
