XVIII Волков И.К., Зуев СМ., Цветкова Г.М. Случайные процессы (1081434), страница 19
Текст из файла (страница 19)
пример 4.5) ]с, )и(<Ж; 10, !и/>Ж. В этом случае при определении дисперсии Р(П(1,о~)] случайного процесса О(1,м), 1 > О, Г Й яс В[0(1,а)] = ле(и) Й~ = с / возникает погрешность Ь. Оценим ее: с с1и /' сй /' Й Ф< — = 2с из+а',/ из+а' ./ из+а' -со -И М 2с и 2сул Ж~ = — агс15 — = — ~ — — агс15 — ~ .
а а~ а~2 а Относительная погрешность для дисперсии Э(г1(1,ы)] оценивается следующим образом: Пример 4Л. Пусть функционирование линейной динамической системы описывается линейным дифференциальным уравнением первого порядка а1й(1, м) + вон(й,ы) = Ь1 Я,~и) + ЬоЯ~, м), 154 4. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ где ао, аг, Ьо, Ьг — известные параметры, а ((1,м), 16 Т = = (О,со), — стационарнын скалярный случайный процесс с математическим ожиданием го~ и ковариационной функцией К4(т) = югехР(-агдас~). НайДем математическое ожиДание ого и дисперсию аг реакции системы на входной сигнал ДФ,ог), 1 Е Т, если его производнал рассматривается в классе обобщенных функций (см. пример 4.5).
Согласно равенствам (4.15), (4.16) и (4.17), Ьо . ) г ~ Ьг(1и)+Ьо~~ Ьгиг+Ьго ог„= — ог4, )Ф(гг ) ~ ао ~ад(гг')+во~ а~сг+аог' А так как (см. пример 4.3) г,г в1(г) = .(, 4+„г)' то спектральная плотность реакция изучаемой динамической системы равна аг Ьгиг+ Ьг ог о( )=14(' И"ч( ) = —,', ',, 4. и огиз+аз иг+а4 Воспользовавшись свойством 4.2 е) спектральной плотности, находим 2ог тг / Ьггг г+ Ьо пг=2 в„(и)й— Ии= ,1 " и / (аг~иг+ог~)(иг+о4) о о 1г ~~г+о4 рг г+ог~ 2огпг г Л Л И агих = — ~ — агс1и — + — агсги — ) н а~ о~ агао ао о Вопросы и эадачи где использованы обозначения ~ а,Ьо аоЬг гг гг о4аг — аг о аг — ао А= „4Ьг Ьг о4аг а2 ' о Окончательный результат можно представить в следующем виде: огаоЬ21 + а1Ьог ссо — — и аоаг(ога1 + ао) Вопросы и задачи 4.1.
Можно ли в условиях теоремы 4.2 считать, что ковариационная функция удовлетворяет условию К4(т) Е Лг[-1,!], но не удовлетворяет условиям теоремы Днрихле? 4.3. Пусть для стационарных случайных процессов С(е,ы), с Е Т = [О, оо), и гу(2,со), Ф Е Т, выполнены условия теоремы 4.3, т.е. существуют интегральные представления с(г,оэ) = Яи,со)е'"~с1и, о(й,ы) = ~р(и,оэ)е'"Ур. Пусть случайные функции ф(и,оэ) и ~р(и,оэ) обладают свойством М[эЬ (иг,м)у(рг,оэ)] = о4„(иъ)6(и1 — иг) (функцию о4„(г ) называют езаимноб спентпро вьноб нвопьносэнью исходных случайных процессов).
Докажите, что в этом случае: а) К4„(21, $2) = К~„(т), т = сг — $2 ~ 4.2. Определена ли спектральная плотность стационарного случайного процесса, ковариационная функция которого удовлетворяет условию Ке(т) Е г [-со, +со]? 4 СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ б) Кеч( ) = ьеч(г )е'"'4и; 1 в) ье„Я = — / Ке„(т)е "'Ит; г) если исходные случайные процессы являются комплексными, то ь'„(и) = ь„,~(и); д) если исходные случайные процессы являются вещественными, то ь~ч( — и) = ь„~(и). 4.4.
Найдите ковариационную функцию К~(т) стационарного случз,йного процесса Д2,а), г б Т = [О, оо), если его спектральная плотность равна с, )и) Е [мм иг); -ь~(и) = О, )и! ф [им иг). 2с О т нет: К~(т) = — [ьт(мгт) — ьт(игт)~. т 4.5. Пусть С(г,а), г Е Т = [О, оо), — дифференцируемый стационарный скалярный случайный процесс и тф,ы) = С(г,а), г Е Т. Определите ЩЯ(г,а)1, если известна спектральная плотность ,г 4( ) (м2+ о2)2' где а и о — известные величины. г г О т в е т: Оц — О[т>(~, а )] = 0,5наго г. Указание: предварительно докажите равенство ь„(м) = 2 2( 2+ „2) — 2 4.8.
Определите ковариационную функцию К~(т) стационарного случайного процесса С(г,а), г Е Т= [О, со), если извест- 157 Вопросы и задачи на его спектральная плотность вс(и) = ~Л~ г з 2 + оз ' где аь аь (й = 1, и) — известные величины.
аь Ответ: К~(г) = я~~ — ехр( — олт). 4.7. Определите спектральную плотность стационарного скалярного случайного процесса Яг,м), г Е Т = [О, оо), если известна его дисперсия ол и корреляционная функция К((ч) 1 — —, )т)(ге, й~(т) = О, )т( > те, где то — известнал величина. 2ггз, з ито Ответ: вс(и) = — ьйп —. ггиз 2 4.8. Найдите спектральную плотность стационарногоскаляр- Рис.
4.3 ного случайного процесса С (г, м), г Е Т = [О, со), ковариационная функция которого: а) равна К~(т) = ггз(1+ сг(т)) ехр( — а)т0, где оз, а — известные величины; б) задана графически (рис. 4.3). 2олоз 4 . Зи, и Ответ: а) вл(и) = .( „я+из)з , б) в~(и) = — сйп — в1п-. ггиз 2 2 4.9. Пусть ((Г,оз), г Е Т = [О, оа), — нормальный стационарный скалярный случайный процесс с нулевым математическим ожиданием и ковариационной функцией Кл(т). Пусть О(г,оз) = ~з(г,ш), г Е Т.
Докажите, что в„(и) = 2 в~(и1)в~(и — иг)г1и1. 158 4, СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ У к аз а н и е: последовательно докажите следующие утвер- ждения: 1) Кв(т) = М[~ (гг,ы)4 (сг,м)) — К1(0); 2) М[~~(гмы) ~~(1г,ы)) = 2К~(т) + К~4(0); 3) з (и) = — / 2К~~(т)е "~ йт = 2 зй(иг)вя(и — и~) Ии,.
1 Г 2п „l 4.10, Пусть Дг,м), 1 Е Т = [О, со), — нормальный стационарный скалярный случайный процесс с нулевым математическим ожиданием и ковариационной функцией Кв(т) = о ~созЯт) + — з1вЩт[~ е 11 где аг, а, 13 — известные положительные величины. Определи- те спектральную плотность случайного процесса 0(1, )Ац(1, в)~(г,ь), 1ЕТ. 2ига(аг+ 3г)иг(иг+ 20аг+ 43г) х (иг+4аг+413г)г — 16~3гиг[(иг+4аг) Указ ание: используя равенство [уг(хЦ'= 2у'(х)у(х), результаты задачи 4.9 и свойства спектральной плотности, докажите, что иг Г з„(и) = — / з4(и~)зв(и — и~) Ыи,.
2 4,11. Пусть с (1, м), 1 Е Т = [О, оо), и 0(1, м), 1 Е Т, — нормальные стационарные скалярные случайные процессы с нулевыми в математическими ожиданиями и а(1,м) = Ц1,ы)0(1,ш), 1 Е Т. 159 Вопросы и эадачи Докажите, что ао(тт) = тт~ао(дт) +ст„ат(тт) + ат(дт — ид)а„(ид) Иид+ + ато(тт — рд)а„т(ид)йтд, где а4„(и) и а„1(и) — взаимные спектральные плотности. 4.12. Два стационарных скалярных случайных процесса Дд,до), д Е Т = [О, оо), и ту(д,ю), д ~ Т, связаны равенством 5т)(д,от) + т1(д,до) = 4~с(д,от) +3((д,от), д Е Т.
Определите математическое ожидание и дисперсию случайного процесса т1(1,от), д Е Т, если тат = 0 и Кт(т) = 2е ~ ~, где ст— известная положительнал величина. 16дтд + 45 Ответ: пд„= 9; сто =0,4 5ст+ 1 Указан не: используйте свойства спектральной плотности.
4.13. Работу дифференцируюдцей ВС-цепочкн (рис. 4.4) описывает уравнение ВСт)(д, )+ту(д, )=ВСЦ~, ), дбТ=[0, о). Найдите математическое ожидание и дисперсию случайного процесса 0(д,от), 8 Е Т, если тт = 0 и Кт(т) = адсоеЦ3т), где ттд и ~3— известные величины. Рис, 4.4 2и'В'С9' Ответ: тип — — 0; о~ = 160 4. СПЕК ТРАПЬНАЯ ТЕОРИЯ 4,14. Функционирование интегрирующего устройства мо- делируется уравнением ( —,) Л~. 1 1 1+ — ~оси)+ Я,си) =6С,ьс)+ — ((~,ьс), СЕТ=(0,оо), л,~ ' сл, ' ' сл, где С, Л, Лс — известные положительные величины, а ~(с,ьс), с Е Т, — белый шУм с интенсивностью ДСо/4х.
ОпРеДелите спек- тральную плотность и ковариационную функцию случайного процесса с1(с,, и), с Е Т, %~(1+ (Лси) з] 4х(1+ 1С(Лс+Лз)и'1з)' ЖоЛзс ХоЛ(Л+ 2Лс) ~ (т~ -.=„...,,": ....,'.,:"-...„,,) 4.15. Ошибка я(с,ьс) измерения ускорения самолета акселерометром определяется уравнением Г(й, си) + 2Ы(С,,ш) + озс(й,ьс) = дпзс1(С,ьс), й Е Т = [О, оо), где о, и, д — известные постоянные, а случайный процесс с1(С,ьс), с Е Т, характеризующий случайные возмущения, испытываемые чувствительным злементом акселерометра, является белым шумом с интенсивностью сз.
Найдите дисперсию скорости самолета, определяемой путем интегрирования показаний акселерометра в течение времени 1, если при интегрировании не возникает дополнительных ошибок, а время переходного процесса много меньше 1. Ответ: с с сл(сзо(г,ьс)1 К~(Сз — Сд)йсйз 21 Кс(т) сСт = 2хд~сст о о У к а з а н и е: ошибка в определении скорости самолета равна Ьо(1,ис) = я(1с,с4с) йс, 8 Е Т. а 161 Вопросы и задачи 4.18. Пусть дана система дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами аО, 1, у =1, п, соответствующая устойчивой динамической системе з)«(й,ьз)+~» а«.т.(С,оз) =Щ,м), 1 6 Т= [О, оо), 1 =1, и., 1=1 где С«(1,со), ~ б Т, Й = 1, н, — стационарные скалярные случайные процессы с известными ковариационными и взаимными ковариационными функциями.
Пусть время ~ велико. Докажите, что з1«(1,м), 1 Е Т, Й = 1, н, — стационарные случайные процессы, спектральные и взаимные спектральные плотности которых определяются равенствами: а а ло„(и) = ~Ь(и)~ ~ЯЯА~«(и)А «(и)лу,(и), 1=1 1=1 а а л„о«(и) = ~Ь(и)~ ~ ~~ ~ А~",„(и)А «(и)л«,з,(и), 1=1 1=1 где Ь(и) — определитель матрицы (а «)+ 1пЕ 1,Š— единичная матрица); А «(и), у, а = 1, п, — алеебраические дополнения соответствующих элементов определителя Ь(п); л~ с (и) Ке ~ (т) е-™т йт взаимная спектральная плотность, а взаимная ковариационная функция стационарных случайных процессов С,(1, аз), 1 Е Т, и ~1(1,со), 1 Е Т. 4.1Т. Пусть Ь«(1,аз), 1 Е Т = [0>со), и сз(~,аз), 1 Е Т, стационарные скалярные случайные процессы с известными 162 4, СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ спектральными плотностями аг аг л'(из+ 1)' ~' ) гг(иг+ 4) и взаимной спектральной плотностью а (иг — 2) г + 1и ' где гтг„газ, а — известные величины.
При больших значениях времени 16 Т определите л„,(и), л,а(и), лл,„,(и), если при 1 6 Т 1)г(г,аг) +2г)г(1,аг) +4тГг(1,ьт) = Сг(г,ьг) — цг(1,аг), Ъ(г,ьт) + 9Ъ(г,аг) = 6(г,аг). Ответ: 2агг гг(из+4)(иг+81) ' 1 (гтг(иг+ 81) ллг (и)— (из+81)((иг — 4)г+4иг] ~ гг(иг+1) + 2гтг 2а(иг — 9(иг — 2) г] ~1 л'(из+4) (иг 2)4+ иг /' 1 а(г и — 9) 2гггг + ((иг — 4) +21и](иг+ 81) ~,(иг — 2)г+ ги тг(иг+ 4) 5. МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ С ДИСКРЕТНЫМИ СОСТОЯНИЯМИ И ЦЕПИ МАРКОВА Аппарат теории марковских процессов с дискретными состояниями и цепей Маркова широко используют в теории систем, в исследовании операций и других прикладных дисциплинах. Зто обусловлено многими причинами, среди которых отметим следующие: 1) многие реальные технические системы имеют конечные множества возможных состояний, а их поведение в процессе функционирования адекватно моделируется марковскими процессами", 2) теория марковских процессов с дискретными состояниями и цепей Маркова разработана настолько глубоко, что позволяет решать широкий класс прикладных задач.
Именно поэтому основной материал главы связан с изучением прикладных аспектов теории марковских процессов с дискретными состояниями и цепей Маркова. 5.1. Основные понятия Определение Б.1. Марковский скалярный процесс Дг,ц>), 1 Е Т = 1а, 6] называют марковским процессом с дискрегпмыми состояниями, если для любого фиксированного момента времени ~ б Т случайная величина с11,м) является дискретной. Пусть о' — некоторая физическая система с возможными дискретными состояниями (ЯьЦ, которая случайным образом время от времени скачком (мгновенно) переходит из со- 164 Б. МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ И ЦЕПИ стояния в состояние.
Если зтот процесс является марковским, то имеем марковский случайный процесс с дискретными состояниями. При анализе марковских процессов с дискретными состояниями удобно пользоваться геометрической схемой — гроувом соспзолний, который изображает возможные состояния системы и возможные переходы зтой системы из одного состояния в другое, указываемые стрелками. Пример 5.1.
Техническая система 5 состоит из двух узлов с номерами 1 н 2, каждый из которых в процессе функционирования системы может выйти из строя. Возможные состояния системы: 51 — оба узла работают; Я, Я, 5з — первый узел отказал, а второй работает; 5з — первый узел работает, а второй отказал; ьз Я4 54 — оба узла отказали. Рнс. 5.1 На рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
