XVIII Волков И.К., Зуев СМ., Цветкова Г.М. Случайные процессы (1081434), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Практическая проверка реализуемости необходимого и достаточного условия (3.14) эргодичности случайного процесса относительно его математического ожидания может быть связана с преодолением значительных трудностей. Поэтому 110 3. элементы стОхАстическОГО АнАлизА Теорема 3.10. Пусть скалярный случайный процесс второго порядка ~(г,ы), Ф Е Т = (О, 1), интегрируемый на множестве Т с весом 1/1, имеет постоянное математическое ожидание т1. Тогда для его зргоднчности относительно математического ожидания достаточно существования предела 1пп Кфг, гг): — О. рг -ц ~-+оо (3.15) М Пусть выполнены условия теоремы. Тогда для любого е > > 0 существует такое !е > О, что пРи )гг — 11) > 1е веРно неРавенство )К1(1~,8г)~ ( е.
Обозначим С1 = = ((11,1г) Е Т х Т: /11 — гг~ > 1е), Сг — — Т х Т~С1 (рис. 3.1). Если О 1 Ф = тахПЦФ,м)) = — тахК(1,1), Рис. 3.1 а т(С1), тп(Сг) — площади областей С1 и Сг соответственно, то ! 1 Гà —, / ) КЯ1,1г) йАгг = Иl е о 1 ГГ г Ц К~(11,1г) ейгюйг+ Кс(11,гг) йг~~г ~( 10 О~ 1Г Г < —,у~~к,р„е,у~а,а,+Я~к,р„~,у~ас,ы,) < — ~/ с, Ог (~ г ( с+2Ж вЂ”, лог(С1) + 11~ог(Сг) 1о зачастую, особенно в случае стеционарнмх случайных процес- сов, целесообразно испольэовать достаточные условия зргодич- ности. 3,6. Эргодяческне сеучелпые проиессы так как имеют место неравенства (см. рис. 3.1) еп(01) < 1, еп(Сз) < 211о. Таким образом, из (3.15) следует (3.14), что и требовалось доказать.
~ Пример 3.13. Скалярный стационарный случайный процесс Ц1,м), 1 б Т = [О, со), с характеристиками тп4(с) ви О, К~(т) = а~е «~~~ ~сов(бт) + — в1пЩт~)~, о > О, (см. пример 3.11) является эргодическим относительно математического ожидания. Действительно: а) по условию Мф$,м)) = О, Ф Е Т, т.е. случайный процесс Д8,м), 8 Е Т, имеет постоянное математнческое ожидание; б) он является интегрируемым на любом отрезке (О, 1] С Т, 1 > О, с весом 1/1, так как существуют интегралы 1Г 1Гà — / тп4 Я М = О, - / / К4 (1з — Я Й1 йз; 1/ — ' 1// о о в) выполняется достаточное условие (3.15), которое при т = = 1з — 81 означает существование предела 1пп К4(т) = О.
1т( ее« Замечание 3.3. Для эргодического по отношению к математическому ожиданию скалярного случайного процесса С (Ф,м), 1 Е Т = (О, $ с известной реализацией х(~) в качестве оценки его математического ожидания можно использовать величину 112 3. ЭЛЕМЕНТЫ СТОХАСТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА При этом, как известно иэ курса математической статистики [ХЧП], качество этой оценки возрастает с ростом 1. Замечание 3.4. Возможность получения оценки математического ожидания эргодического случайного процесса но одной его реализации, т.е. по результатам одного эксперимента, зачастую избавляет исследователей от проведения многочисленных экспериментов, связанных с затратами материальных и временных ресурсов.
Замечание 3.5. Если ДС,м), с Е Т С 1ь, — скалярный стационарный случайный процесс, то тс = М[с (~,м)] = соней; Скалярный случайный процесс ф(8,м) — т~), й Е Т, имеет постоянное математическое ожидание Р~ и при выполнении соответствующих условий является эргодическим по отношению к математическому ожиданию. Таким образом, можно вести речь о том, что исходный случайный процесс ((1,м), Ф Е Т, является зргодическим ко отпношению к дисперсии и рассматривать возможность построения качественной оценки для его дисперсии по одной реализации.
Определение 3.10, Скалярный стационарный случайный процесс второго порядка Яс,ы), ~ Е Т= [О,1], интегрируемый на Т с весом 1/1, называют эргодическим по отношению к дисперсии Р~, если существует предел 1~11(, ) ] д, о или, что тоже самое, 1 Г1 Г э э) 1пп М ~~ — / [ф(1,ы) — т~] й — Р~~ ~ = О. ~1У о 113 Вопросы и задачи В заключение отметим, что если скалярный случайный процесс Щм), 1 Е Т = [а, 1), эргодический по отношению к дисперсии П~, то скалярный случайный процесс тр(1,м) = (((Г,ы)— т~), 8 Е Т, согласно определению 3.6, эргодический относи- 3 тельно математического ожидания М[ц(г,м)) = Рс = соней. Таким образом, условие 1 Г Г 11Щ 1 1 К (м2) и — о о о необходимо и достаточно, а условие 11ш К, ($~,1з) = 0 р~ -ц ~-+со достаточно для эргодичности исходного скалярного стационарного случайного процесса С(Ф,м), 1 Е Т, относительно дисперсии. Вопросы и задачи 3.1.
Являются ли: а) стохастически эквивалентные случайные процессы равными в смысле СК-нормы; б) случайные процессы, равные в смысле СК-нормы, стохастически эквивалентными? 3.2. Можно ли утверждать, что предел случайного процесса обладает обычными свойствами предела неслучайной функции? З.З. Можно ли утверждать, что предел последовательности случайных процессов обладает обычными свойствами предела последовательности? 3.4.
Докажите теорему 3.2. З.Б. Докажите утверждение из замечания 3.1. 3.6. Определение 3.3 непрерывности случайного процесса в точке является аналогом первого из двух эквивалентных 114 3. ЭЛЕМЕНТЫ СТОХАСТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА 3.7. Пусть ЯФ,м) = ф(1,ся) Сз(1,ы)), 1 Е Т = [О,оо), — двумерный винеровский процесс, выходящий из О.
Пусть [а,6] С Т и а = 8е < 8~ < ... <1„= 6. Докажите, что существует предел 11щ ~Ь [~6(1ь+~,ю) — (д(йь,ы)Я [(з(1л+~,оя) — Щ,м)] = О, я=о где 1Мь = Сь — Фл ~, 1 =1, и. 3.8, Докажите следствие 3.1 из теоремы 3.5. 3.9. Докажите, что линейная комбинация и произведение непрерывных на Т скалярных случайных процессов — непрерывные на Т скалярные случайные процессы.
3.10. Пусть ~л(м), й = 1, оо, — некоррелированные случайные величины и О„(м) Ь ~~) ~ь(ы), п = 1,2,... Докажите, что последовательность случайных величин (О„(и)1 сходится тогда и только тогда, когда одновременно сходятся числовые ряды ~~> М[~л(ы)), ью! ,',1:1Ь( Н. я=1 3.11. Пусть Яс,ы), ~(ь)(1,ы), й = 11, оз, О(с,м), п1„1(с,м), и = = 1, оо, — скалярные случайные процессы, 1Е Т С ль, причем М[ф1,м)[~~ < со, М[[п(с,ы)[з~ < оо, 1пп Е(л)(1,ы) = с(й,м), л-+оо 1пп о1„1(Ф,м) = Я,и). определений непрерывности функции в точке.
Сформулируй- те определение непрерывности случайного процесса в точке, аналогичное второму определению непрерывности функции в точке. Вопросы и задачи Докажите, что 1пп М[~1ь1(С,ы) 000(1,м)] = М[С(й,ы) 0(й,ы)]. 3.12. Докажите следствия 3.2, 3.3. 3.13. Докажите, что скалярный случайный процесс ~(Ф,ы) = е 'е1п[Ф+ у(м)], 1 Е Т, где у(м) — случайная величина, распределенная по равномерному закону на отрезке [О, 2и], дифференцируем на Т.
У к а з а н и е: воспользоваться критерием дифференцнруемости случайного процесса. 3.14. Пусть у(м) — случайнзл величина, распределенная по равномерному закону на [0,2и] и Дй,м) = [е1п1[ е1п[2й+ <р(ы)], В Е Т = [О,со). Является ли: а) случайный процесс ((С,м), 1Е Т, дифференцируемым? 6) произвольная реализация случайного процесса с(с,м), 1 Е Т, дифференцируемой? Ответ: а) случайный процесс С(с,м), 1 Е Т, является дифференцируемым при любом ~ Е Т; б) любая реализация не имеет производных в точках ~ = йи, й = О, оо. 3.15.
Найдите математическое ожидание, дисперсию и ковариационную функцию случайного процесса чбтр =4(с1~о)~ с е Т с 1с> если известно, что 6~,~ >) = 2+ 1+ о(м)1 + Р(ь~)~~, 8 Е Т, где о(м) и Д(ы) — некоррелированные случайные величины с нулевыми математическими ожиданиями и одинаковыми дисперсиями, равными 0,1. О т в е т: тч (С) ьн 1; о~о Я = 04с~ + 0 9 1~; Ко (йы сз) = 0 4 С~ 1з + + 0,9фзз. 116 В. ЭЛЕМЕНТЫ СТОХАСТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА 3.16. Найдите математическое ожидание и ковариационную функцию скалярного случайного процесса 1ф,ы) =Цс,м), ~ е Т, если известно, что ((Г,ы) =а~(ы)С+аз(м)в1пг, 1Е Т, а(м) = л, М[а(м)) =, сои(а(ы)) = Ответ.
"бич(й) = 2нпз(05й); К„(8~,йз) = 2+ сы~з+ соМ~+ + 3 сов 1 л совйз. 3.17. Дифференцируемый случайный процесс С(1,м), 1 Е Т, имеет математическое ожидание т~(1) и ковариационную функцию К~(8~,~з). Найдите математическое ожидание и ковариационную функцию случайного процесса ц(г,ы) =('(1,ы) +Я(~,м), ~ Е Т. Ответ: гпч(~) = т~(~) + оф1); Л;,(~,,Фз) = К~(~~,~з) + + дКЛ(Л,Л~) + дК~(Вью~) + ФК~(йоД~) дФ~ д1а ди дЬ 3.18. Является ли дифференцируемым винеровский процесс? Ответ: нет.
3.18. Пусть С(8,ы), Ф Е Т, — стационарный в широком смысле случайный процесс, дифференцируемый на Т. Является ли стационарным в широком смысле случайный процесс С(1,м), 1Е ТТ Ответ: да. 3.20. Докажите, что производная от гауссовского процесса — гауссовский процесс. 117 Ванросы и задачи 3.21. Найдите вероятность того, что производнал от гауссовского стационарного случайного процесса Д8,ог), 1 Е Т, будет иметь значения большие, чем 0 = сг'5м/с, если М(~(~,ьс)) = = 10 м, К~(т) = сгзе сгс(сое(с т) + (о7)г) есв(сг~т(Ц, сгз = 4 м~, а = =1с ~,~3=2с '. О т в е т: 0,3085. 3.22. Пусть Д8,ог), 1 Е Т, — стационарный в широком смысле случайный процесс с ковариационной функцией Кг(т) = (1+ ~т)+ 0,125т~)е ~'~.
Сколько раз он дифференцируем7 Ответ: два раза. 3.23. Найдите одномерный закон распределения векторного случайного процесса гр(й,ог) = ф1,ог) С(с,ог)), 1 Е Т, если Цй,ог), ~ б Т, — нормальный скалярный стационарный в широком смысле случайный процесс с нулевым математическим ожиданием и ковариационной функцией Кг(т) = (1+ то) 3.24. Докажите следствие 3.6. 3.25. Найдите дисперсию случайного процесса г1(Ф,ог), 1 Е Т, при 1=10с, если с Я,ю) = Ц1',ю) сЫ', й Е Т, о а с(с,ьг), 1 Е Т = [О, оо), — интегрируемый на Т скалярный случайный процесс и Кй(т) = сгз(1+а)т~е "~'!), сгз = 10 (см/с)з, а=0,5с '. Ответ: 1366 см'. 3.26. Найдите математическое ожидание, ковариационную функцию и дисперсию случайного процесса: а) Я,ог) = Ч(с,ьс)ссс, 16Т, о 118 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
