XVIII Волков И.К., Зуев СМ., Цветкова Г.М. Случайные процессы (1081434), страница 13
Текст из файла (страница 13)
З.о. Дейстане лннейного оператора на случайный процесс 101 линейного неоднородного дифференциального уравнения и-го порядка: 1с[у(с)]= — урй(с)+о,(с)у1" '1(с)+...+ + о„1(с)у'(с) + сс„(с)у(с) = У(8), у(0) = уо, у( 1(0) = уоь /с = 1, и — 1, где оь($), /с = 1, и, — известные неслучайные функции, определенные при с > О, а ٠— известная неслучайная функция (входной сиенал). Если уо-— О=увы й= 1, и — 1, то линейное динамическое звено называют кевозмуиленкьсм и функцию у(с) — его реая«ией на входной сивка с.
Если на вход линейного динамического звена поступает случайный процесс ~(с,сп), с Е Т, то реакция линейного динамического звена — случайный процесс с1(г,сп), с Е Т, н мы приходим к равенству .Е с[0(г,ос)] = с(с,сп), С Е Т, которое фактически является стпохасспичесяим дифйоерек«иальныя уравнекием, ликейкьсм относительно случайного процесса с1(С,сп), С Е Т. Теория стохастических дифференциальных уравнений будет рассмотрена в гл. 7. А так как реакция линейного динамического звена на входной сигнал — удобный объект для иллюстраций, то в данной и последующих главах под стохастическим дифференциальным уравнением будем понимать равенство двух случайных процессов Яс,сс), с Е Т, и йс[ср(с,со)], с Е Т, которое будем использовать для определения связей между их характеристиками.
Пример 3.10. Рассмотрим задачу Коши с)(с, ) + о(С)0(С, ) = Дс, ), ц(О,ы) = — О, которую можно записать в онераториом виде ~с[О(С ~)1 = Ж~) 102 3. ЭЛЕМЕНТЫ СТОХАСТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА и интерпретировать как задачу о нахождении реакция невозмущенного (по начальному состоянию) линейного динамического звена первого порядка с параметром а(1) (с»(8) — непрерывная неслучайная функция при 1 > 0) на входной сигнал С(й,сн), й > О, который представляет собой скалярный случайный процесс с математическим ожиданием т1(1) и ковариацнонной функцией К1(Ф»,сз). Определим математическое ожидание и ковариацнонную функцию скалярного случайного процесса 0(1,м), 1 Е Т = (О, оо) . В рассматриваемом случае 1У111] с с оР, )=А !и~, >1а1 Р(+(*>и)д м~г, ~>о.
о т Таким образом, о о т1 52 Из теории обыкновенных дифференциальных уравнений 1У111] известно, что если 1у»(с)3» — фундаментальная система решений однородного линейного дифференциального урав- нения < ~.(уР)] = Ф) у(0) =у'(О) =...=у("-'1(о) =о, (3.10) Е„(у(~)]=у("1(~)+а»(1)у(" ~1(~)+...+а„ф)у'(»)+а„(»)у(») =О, где а»(Ф), Й = 1, и, — неслучайные непрерывные при Ф > 0 функции, то решение задачи Коши З.о. Действие линейного опервторв нв случвйный процесс 103 или в операторном виде может быть представлено следующим образом [Ч111]: д(() = й ~~(е)] В ВМ Ят) 1(т, о где В((,т) св (в-2)( ) (и-2)( Ы() " р И) (»-1)( ) (в-1)( Ь„[1)(с,ш)] = ~(с,ш), 1)(О,ш) = т)'(О,ш) св ...
ь 1)(" 1) (О,ш) ь О, которую можно записать в операторном виде ~1[0(( ш)]=И ш)- Таким образом, Я,ш) = Ь, 1[С((,ш)] ь В(с,т)с(т,ш) йт, с > О; о Если теперь рассмотреть задачу о реакции 1)(с,ш), с > О, невозмущенного (по начальному состоянию) линейного динамического звена и-го порядка, параметрами ол(2), Й = 1, а, которого являются неслучайные непрерывные при ( > 0 функции, на входной сигнал С((,ш), ( > О, с характеристиками п21((), Кс((1,(2), то приходим к задаче Коши 104 3. ЭЛЕМЕНТЫ СТОХАСТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА тоо(1) = 1, [тпС(1)] = В(г,т) тпт(т) йт; о б Ф2 В(1ыт1) В(1з>тз) Кт(тытз) йттйтз.
о о Как следует из проведенных рассуждений, исходная задача фактически сведена к нахождению функции В(1,т), зачастую называемой тзередаоючмой ~уммт4ией линейного динамического звена. Если оь(1) ти аь = сопя|, й =1,о, то для нахождения функции В(8,т) можно воспользоваться интегральным преобразованием Лапласа с параметром в. Действительно, в изображениях интегрального преобразования Лапласа У(в) = Цу(1)] ти е "у(1) Ш, о .г'(в) Й ЦДе)] = е И~Яке о задача Коши (3.10) принимает внд Х,„[в] У(в) = (в" + о1в" 1 +...
+ о„1в+ о„) У(в) = г'(в) . Таким образом, У(в) = —. Р(в) Ь„[в] Если при этом В(1) =Ь ~ — ~ = —. ( е* — Ив, ~ Ь„[в]~ 2пт' ( А„[в] з.н действие линейного оператора на случайный процесс 105 то для получения окончательного результата достаточно вос- пользоваться теоремой о свертке [ХЦ: у(1) = Ь ~ [У(8)] = В(1 — т) у (т) пт гн Ь, 2 [у (2)]. е В рассматриваемом случае Й(с,т) = тс(с — т).
Пример 3.11. Найдем математическое ожидание т„(2) и дисперсию .0„(~) реакции невозмущенного (по начальному состоянию) линейного динамического звена второго порядка: < ЬЬ(у,о2)] = Ч(М+2ЬМ,4+й20(С,п) = й2а,м), п(О,ы)=0, тр(0;м)=0, й>Ь>0, на входной сигнал Й2Д8, ы), где С (с, о2), 2 б Т = [О, со), — скалярныйй стационарный случайный процесс со следующими характеристиками: ней(й) = О, К~(т) = пзе ~'~ [сое(рт) + — 81пфт[)1, где аз, «2,,9 — известные постоянные, а т = 22 — 12. а Следует отметить, что сформулированная задача может иметь различную интерпретацию. В частности, к подобной задаче сводится задача определения вероятностных характеристик бортовой качки корабля при волнении (угловые наклонения на правый и левый борт судна). В этом случае т~(с,ы)— угол наклона палубы корабля в момент времени и > О, а С (2,ы)— угол наклона касательной плоскости к поверхности моря в данной точке в момент времени й > 0 относительно линии горизонта, ортогональной направлению киля корабля.
В рассматриваемом примере Л [8] = 82+ 2Ь8+ Ь2 — — (8+ Ь)2+ (/2 — Ь2) 106 3. ЭЛЕМЕНТЫ СТОХАСТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА Воспользовавшись соответствующими теоремами и таблицамн интегрального преобразования Лапласа [ХЦ, находим 1 ы. Вщ=ъ ' — =- ~'й )у2), у=чР-Р. [ 2[41 ~Р Таким образом, ь )1(Ф,ь)) = Ь, ~[С(«,ь))): — — ~ «О '1 е1в[)р(Ф вЂ” т)фт,ь)) ат, Ф > О, 'Р о и можно записать решение исходной задачи: т„Я = Ь, 1[т«(ФЦ ня й, 1 [01 = О, й,(1) =к„(~ ~) =1.„1,„[к,(~1,ь,ф., .—= с с уз/ у — « ~"'" 1е1пЬФ вЂ” т1))е1пЬФ-тзЯК«(тз-т,)йт1|т,. о е Дальнейшие вычисления уже не вызывают трудностей, и мы их опускаем.
3.6. Эргодические случайные процессы При решении прикладных задач, когда по наблюдаемым значениям изучаемого случайно«о прои«сса требуется оценить его мам«ншы, большое значение приобретает информативность выборочныя р«влезанием. Это особенно важно в тех случаях, когда условия, в которых проводят наблюдения, позволяют получить лишь одну реализацию.
В связи с зтим возникает естественный вопрос — можно лн по одной р«алиэаиии случабиого прои«оса делать какие-либо заключения о его свойствах? Оказывается, что можно, но 3.В. Эргоднческне случайные процессы 107 не для всех случайных процессов, а лишь для тех, которые удовлетворяют определенным условиям. 1 Г Иш — ~ Цг,ц!)а!= т!, о или, что тоже самое, ! Г1 Г з1 Иш М~~ — / ((1,ц!)Ы8 — т!~ ~ =О. о Теорема З.Э, Пусть Я1,и!), ! Е Т = [О,!), — скалярный случайныв процесс второго порядка, интегрируемый на множестве Т с весом р(!), где р(!) — некоторая произвольная неслучайная интегрируемая на Т функция. Предел существует тогда и только тогда, когда существует предел о о 1 Из условий теоремы следует существование случайной вели- чины и(!с) Ь р(!) Д1,и!) д! Т (3.1 1) Определение 3.9.
Скалярный случайный процесс Д1,!с), ! Е Т = [О,!], интегрируемый на множестве Т е весом !р(1!!) = = 1!'1, 1, !! Е Т, и обладающий постоянным математическим ожиданием т~, называют эргодическим ио отношению к математическомн омеиданннз т~, если существует предел 108 3. ЭЛЕМЕНТЫ СТОХАСТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА с математическим ожиданием тп„4 М(п(ы)) = р(С) т~ (1) й т (3.12) и дисперсией 9 (9МП РИ1) Р(12) ~(И1112) ~11~112. (3.13) т т ~~,=мцй ~ — мь( 1ц'1 =м[/ рщ~ф(~, ~ —,(~Яй 1. т Сопоставив зтот результат с (3.13), приходим к равенству м[~ию!61, ~- Ф3й ~=О~(~~ро~йо,'и'й т т Из определения предела следует, что ~р(ояи ~ — ~о)!й=~ о тогда и только тогда, когда 1 О= Е М[!~рффи, ~ — ~(гЯ й! ] = о ! С 1пп р(Й1) Р(Й2) КД1~ $2) ИЙ1ИЙ2.
Е-+со Г „Г о о Значит, теорема доказана. ~ Если воспользоваться определением дисперсии скалярной слу- чайной величины, то с учетом (3.11), (3.12) получаем 109 З.б. Эргоднческне сеучаймые лроцессы Следствие З.Т. Если в условиях теоремы 3.9 р(е) = 1/1, В Е Т = [О, Г) > то !ип — / [с(й,ы) — т~(й)~ ~Й = 0 1 Г о тогда и только тогда, когда 1 Г Г Бш — / / Кг(1ы12) й2Ж~2 = О.
--11 1 о о Следствие 3.8. Если скалярный случайный пропесс второго порядка с(с,м), 1 б Т = [О, Г), интегрируем на множестве Т с весом р(е) = 1/1 и 2п~(с) ю те = сопе1, то условие 1 ГГ 1ип — / / К,р„С2)а,й2=0 12// (3.14) о о является необходимым и достаточным для эргодичности этого случайного процесса по отношению к математическому ожида- нию. Следствие 3.8 — отражение общей эргодинесееоб евеорелеы, утверждающей следующее. Для скалярного случайного процесса Яс,м), Ф б Т = [О, Ц, с постоянным математическим ожиданием условие, что среднее значение этого случайного процесса по области Т в пределе при 1-+ оо равно его математическому ожиданию, равносильно условию, что среднее значение по области Т х Т новариационной ~уцнцни при 1-+ оо стремится к нулю.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
