XVIII Волков И.К., Зуев СМ., Цветкова Г.М. Случайные процессы (1081434), страница 10
Текст из файла (страница 10)
~ Как следует из теорем 3.1, 3.2, сходимость векторного случайного процесса и сходимость последовательности векторных случайных процессов эквивалентны сходимости координатных скалярных случайных процессов и их последовательностей. Поэтому далее основное внимание уделено скалярным случайным процессам. Пример 3.1. Пусть с(1,»о), 1 Е Т = [О, оо), — винеровский скалярный процесс, выходящий из нуля и имеющий единичный ноэ44иииент диффузии. Пусть!а, Ь) СТи а=1о< 1» « ... 8л»= = й.
Покажем, что в смысле СК-сходимости существует предел л» !пп ~» ~Д1ь,»о) — Д1ь ыы)] = !» — а. пъах1»е -»е» 1~0 л=» Согласно определению винеровского процесса, случайные величины Д1л,ь») -С(1ь»,»о), 1 =1, А1, янляются независил»ылеи, имеют нулевые леател»атические оэ»сидения и дисперсии П|Ц1л,о») — 1(1л»,»о)] =М[!С(1л,»о) — С(1л»,»о)!~] = 1л 1л». А так как 74 3. ЭЛЕМЕНТЫ СТОХАСТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА то очевидно, что Ф э1 1)т М~(~~,ф(ьь') -с(ць 1,м)]~ — (Ь вЂ” а)) ~= ра-са,)-+о )пп Р ~~> ]~((ь,м) — Я(ь 1,м)]~~ = ах(юа-га ~)-+О йп ~~) Щадил,ш) — Я((ь,,ь~))э] .
мах(юа-и 1)-ае Кроме того, случайнаи величина Ъ(ь) = с((ь ) -Ж-1,о~) распределена по нормальному закону с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией, а случайнал величина тйэ(ы) распределена по закону Хэ1, Поэтому (ХЧП) П(фм)) = 2 и О~ф(ь,м) — ~((ь ым)~~] ы2((ь — 4 1)э. Таким образом, Ж э1 )пп МГ~~Ц(ь,м) — Яь 1,иЯ вЂ” (Ь вЂ” а)) ~= пъах(юа-юа 1)-+О М )пп ~~> ((ь — (ь ~) < а ах(юа-юа 1)-+О /са1 М < 2 1пп пъах((ь — (ь 1) ,') (4 — (ь 1) = ахах(1а юа ~)-+О Л о=1 =2(6-а) 1ип пвах(4-(ь 1) =О, мах(~а-са,)-ао Л что и требовалось доказать. З.к Слодвыость в смысле средыего кввдрвтвчвого 75 Теорема 3.3.
Если существует предел скалярного случайного процесса ~(Ф,м), Ф Е Т, второго порядка при Ф -+ со Е Т, равный случайной величине ц(ы), то существует и предел скалярной функции М[~(с,м)) при й -+ 1о Е Т, равный М[3(ы)). ~ Предварительно отметим два неравенства. Во-первых, верно неравенство [М[~(г,ы))[< М[фг, )[], так как Во-вторых, верно неравенство Шварца М[[с(~, )ц(г,ы)[] < которое можно рассматривать как неравенство Коши — Буняковского для скалярных случайных процессов второго порядка [~(й,м)[, й Е Т, и [ц(с,ы)[, Ф Е Т, так как М[фй,ы)ц(с,ы)!] = ~Щй,ю)/, /ц(й,м)/),„~ ~< < [[~(Ю,ыЦ [[ц(Ю, ) [[ Для доказательства теоремы запишем неравенства [М[с(й,ы) — п(ы))[ < М[[с(й,ш) — п(ми] < По условию при ~-+ 1о Е Т случайный процесс 4(с,м), 1 Е Т, сходится к случайной велнчине ц(и).
Следовательно, при ~ -+ -+ 1о Е Т правая часть неравенства, а как следствие, и его левая 76 3. ЭЛЕМЕНТЫ СТОХАСТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА часть стремятся к нулю. Таким образом, !(сп Мфр,ьс) — ср(ьс)) = О, откуда 1пп М(~(1, ьс)) = М(ср(ьс)). !ь Замечание 3.1. Можно показать, что для последовательности (с(ь)(с,ьс), р Е Т)с, с скалярных случайных процессов второго порядка из существования предела следует существованпе предела 1пп Мфь)(р,м)) = Мфр,ьс)). Теорема 3.4.
Если С(р,ьс), р Е Т, — скалярный случайный процесс второго порядка и существует предел !нп Щьс) = ср(ьс), ро Е Т, с-+сс то существует и предел 1пп М~!Д(,ьс) — ~(т,ьс)(~) = О. (с,т)-+(со,со) М Пусть выполнены условия теоремы, т.е. существует предел !пп М[(Я(,ьс) — ср(ьс))~) = О. Согласно очевидному неравенству 21а(16( < аз+ ез, получаем фр, ьс) — Е(т, ьс) ~ = ф(р, ьс) — ср(ьс)) — Ят, ьс) — ср(ьс)) ! < < Яр,ьс) — тр(ьс)(~+ 2фр,ьс) — ср(ьс)Щт,и) — ср(ьс)!+ + ~Е(т,ы) — ср(ьс) /~ < 2)ДР, ьс) — ср(ьс) 1~ + 2Щт, ьс) — тр(ьс) (з.
ЗЛ. Сходнмость в смысле среднего нвадрвтнчного 77 Воспользовавшись свойствами математического ожидания (см. П1, свойства а) и Ь) математического ожидания), приходим к неравенству М(1с(с,ю) — Дт,м)! ] < < 2м(1с(й,м) — гр(и)!~] +2м11с(т,ы) — е1(м)] ], из которого и следует утверждение теоремы. ~ Замечание 3.2. Воспользовавшись определением 3.2 предела последовательности случайных процессов и техникой доказательства теоремы 3.4, можно доказать, что для последовательности фь1(1,ы), 1 Е Т)ь „слУчайных пРоцессов втоРого порядка из существования предела 11ш ((ь1(~,м) = Д8,м) следует существование предела 11ш М Я(л1(С,ы) — 41 1(г,ьг)] ] = О, й Е Т.
4~ Условия, сформулированные в теореме 3.4 и в замечании 3.2, являются не только необходимыми, но и достаточными условиями существования соответствующих пределов. Это следует из теоремы Фишера — Рисса', однако обсуждение этих вопросов выходит за рамки данного учебника. Они известны как силохастичесмие мриизерии Келии для случайных процессов и для последовательностей случайных процессов. Теорема 3.5. Пусть С(~,м), ~ Е Т, — скалярный случайный процесс второго порядка. Предел с(1,ы), 1 Е Т, при 1 -+ ~о Е Т существует тогда и только тогда, когда существует конечный предел скалярной функции М[с(~,ш) с(т,м)) двух переменных ~ и т при (ь,т) -+ (1о,ьо).
"Смс Остром К.Ю. 78 3. ЭЛЕМЕНТЫ СТОХАСТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА 4 Доказательство опираетсл на очевидное равенство М[фй,и) — ~(т,и)1~] = = М [!~(С,и)]з] + М [фт,и) ]з] — 2М фЮ,и) ~(т,и)]. Пусть существует и конечен предел 1пп М[Я$,и)~(т,и)), ь -мо тогда существует и конечен предел Йоп М[]~(1,и)] ] = 1пп М[((1,и)Ят,и)]. Следовательно, существует и предел 11ш М[фй,и) -~(т,и)]~] = Ьо-+оо — 11ш (МСЯС,и)1~]+М[фт,и)!~] — 2М[~(1,и)Ят,и)]~ =О.
ат-+со Таким образом (см. стохастический критерий Коши), существует предел !пп ~(1,и). о-+оо Докажем обратное утверждение. Если существует предел 1пп Ц1,и), то, согласно стохастическому критерию Коши, суо-+оо ществует предел 1пп М[]~(1,и) — Ят,и)]~] = О. Ьо-ооо Следовательно, существует предел 1!ш (М[фй,и)$~]+М[фт,и)$~] — 2М[~(1,и)Я(т,и)]) = О. \о Отсюда следует существование конечного предела 11ш Мфй,и)~(т,и)], ь -+оо так как ~(1,и), ! е Т, — случайный процесс второго поридка. ° 3.2.
Непрерывность случайного процесса 79 Следствие 3.1. Для скалярного случайного процесса второго порядка Д8,м), 1 е Т, предел )пп Яй,м), йо 6 Т, 1-+Со существует тогда и только тогда, когда существуют и конечны пределы (!пв Мфй,ы)] = гпо, ~-+и )пп К((с,т) =Ко. ьт-+и Кс($,т) =МАГД!,м)Дт,м)) — М(Яс,ы)) М(Ц(т,ш)) и обратиться к теоремам 3.3 и 3.5. ~ 3.2. Непрерывность случайного процесса Опрределение 3.3.
Скалярный случайный процесс второго порядка С($,ы), 1 Е Т, называют непрерывным е тпочне т б Т, если существует предел !пп М (]Дй,ы) — Дт,м)]~) = О, или, что то же самое, )!~ ЦЯс,~) — Д~,~)]/,„= О. Определение 3.4. Если скалярный случайный процесс второго порядка ((!,м), 1 б Т, является непрерывным в каждой точке ! Е Т, то его называют непрерывным па мпонсесп1ве Т. Пример 3.2. Пусть Яй,м), й б Т = !О, оо), — скалярный виперовский процесс. Тогда для любых 1,т б Т, 8 > т, имеет место равенство М Для доказательства утверждения достаточно воспользовать- ся очевидным равенством 80 3. ЭЛЕМЕНТЫ СТОХАСТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА Таким образом, скалярный винеровский процесс является не- прерывным на Т, так как 11тЦЯ(1,м) — С(т,м)Ц = 1!тМ([~(й,м) — Ят,ы)[ ] = = 1пп(С вЂ” т)оз = О, т б Т. й-+т Теорема 3.6.
Скалярный случабныб процесс второго порядка Я$,м), 8 б Т, непрерывен на Т тогда и только тогда, когда на Т непрерывно его математическое ожидание тс(1), а на Т х Т непрерывна его новариационная 4уннцил К~(Ф, т). ч~ Нри доказательстве воспользуемся соотношениями (М[ц(м)]) < М[цз(м)], сои 1О1(и); цз(ы)] ™[ц1(м) цз(м)] ™[О1(м)] М[цз(м)]), вытекающими из свойств математического ожидания и ковариации (см. П1). Необходимость. Для непрерывного на Т скалярного случайного процесса С(8,м), 1 б Т, прн 1,т б Т имеем ]т~(й) — т~(т)] = ]М[Яй,м)] — М[с(т,ы)]] =]М(~(1, ) — Цт,ы)]]' < М[[61,ы) — бт,а,)[з]. Таким образом, из существования предела !!т М[]~(С,м) — ~(т,м)]~] = О следует существование предела 1пп [т~(1) — тДт) ] = О, т.е.
функция т~(Ф) непрерывна на Т. Для доказательства непрерывности ковариационной функции на Т х Т воспользуемся З.л. Непрерывность случайного процесса 81 отмеченным свойством ковариапии и неравенспдволд Шварца. Имеем !К~(дд,тд) — Кд(д,т)[= [М[~(дд,до)~(тд,ы)) — од~(дд) т~(тд)— — М[~(д,ы) ~(т,ь))+ пд~(д) од~(т) [ = = [М[Щ,до) ®тд,до) — Цт,до)) + ф(дд,м) — ((д,до))с(тдо)~+ + (т~(д)пд~(т) — од~(дд) т~(тд)) [ < < /Мфдд,до) (~(тд,м) -~(т,до)))1+ + 1М [(с(дд,до) - с(д„до)) с(т,до)) [+ [пд~ (д) т~(т) — т~ (Ед) т~(тд) / < + [пд((д) од~(т) — пд~(дд) од~(тд) 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
