XVIII Волков И.К., Зуев СМ., Цветкова Г.М. Случайные процессы (1081434), страница 12
Текст из файла (страница 12)
< Ф'„1 < 8„= Ь, с параметром д(П) = п)ахь1„=- я Б п)ах(Ф(,+1 — 1л) существует предел я г в-1 зч !(и) М ~~~У(й,йя)6еы )Ься — О(1, )) ~ = О, 1 Е Т. (3.7) По поводу интегрируемых случайных процессов второго порядка отметим следующее. 1, Если скалярный случайный процесс Я1,(о), 1 Е Т = [а, Ь), является интегрируемым на Т с весом )р(1,8'), то скалярный случайный процесс О(1,(о), 1 Е Т, обозначают как интеграл: 6 м7(1,(о) = )р(Й,Й )ЕИ,ш)й = )р(Г,й)ЦЙ,(о) Й, 1 Е Т.
91 3.4. Интегрнруеность случайного процесса 2. Если у(»,»') = Л = сопя», то для интегрируемого на Т случайного процесса С(»,ы), » Е Т, случайная величина. 3. Если единичная функция, то п(»,ол) = р(»,»') с(»',ы) й' = с(»',и) й' скалярный случайный процесс, который называют иптпеералам с переменным вервием пределом отп скалярного интегрируемого сл»»ча»»поло процесса. Теорема 3.8.
Скалярный случайный процесс второго порядка Я»,ол), » Е Т = (а, о), является интегрируемым на множестве Т с весом д(», »') тогда и только тогда, когда на Т с весом сс(»,»') интегрируемо его математическое ожидание и на Тх Т с весом у(»,»») р(»,»з) интегрируема его ковариаиионкая фуикчил. Доказательство данной теоремы имеет много общего с доказательством теоремы 3.7. Позтому известные свойства и оценки будем использовать без дополнительных пояснений.
Необходимость. Прн доказательстве необходимости предполагаем интегрнруемость скалярного случайного процесса Я»,ы), » Е Т = (а, о), на множестве Т с весом ~р(», »и). В зтом случае для любого разбиения П(а,6) имеет место тождество 92 3. ЭЛЕМЕНТЫ СТОХАСТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА (3.7). Таким образом, и-1 21 о= в м[~Я>о,с»т»е',, »ии->»»» ] > 1=а и-1 »2 > и /м(2 >О 4»»О'„»ии — »»»»~/ = Ьмо »и-1 ,г 1»п» 1»» (»»((,(~Ь)М[~((~ь,от)]ЫЛ вЂ” М[т)(т,от)]~ ) О, л(п)-+О откуда и следует интегрируемость математического ожидания, т.е.
существует >тт»,т»и'=-м(р, »)имЦ»Л»т»ттм»и]. Далее, кроме произвольного разбиения П(а, Ь) множества Т, выберем произвольным образом еще одно разбиение П'(О,Ь) = < 1" = Ь, с параметром т((П') = п»ах тз(; = тпах(1,"+ — тт) и введем функции разбиений и-1 и» -1 А(п) = ~~ (»(х,(»ь)Яь~от)Ыы А(п') = ~~» р(»,тт(л)Цс",от)тз|", Ь=О )ма Ь(() = Итп М [(А(п) — А(п")]2]. л(п)»о Л(П')-+О С учетом тождества (3,7) имеем О < Ь(() а !тщ М[](А(П) — т)((,от)) — (А(П*) — т)((,от))] ] < л(п).+о л(п )-+о < 11 (М[(А(П) — р((,»о)('] + М [(А(П') — р(1, т) Щг] + л(п)-»о и(п')-»а +2 М[(А(П) — т)((, т)Р]М[(А(П*) — т)((, т)Р]~: — О.
3.4. Ннтегрнруеность случайного процесса 93 Таким образом, 0: — Ь(ю) = 11ш (М [А(п) А(п)~— 4(п)-+О 4(п')-+О -2М[А(п)А(п"))+М[А(п')А(п )Ц, откуда следует ннтегрируемость ковариационной функции, так как, например, М[ ц(п)А(п')~ = Го-1 то-1 =м(2 2 < р,4ГеГСж,"ГГГж',, ГГГе, Гаоае1 = я=о рео о-1т-1 р((, ф р((, Ь;) (К4(С'„, (1') — т4(аь~) т4 ((ат)) 1аСЛ са 'г;, я=о рео а условие интегрируемости математического ожидания выполняется. Д о с т а то ч н ость. Пусть теперь выполнены условия (3.5). С учетом обозначений, введенных при доказательстве необходимости н существования интеграла, имеем 12 Я(Й) = ~о(Й,(1) гР($,22) К4(11,22) йгй2 — гР((,Е') т(((г) й') = т т т о-1 то-1 11 ~ ~~ ~р(1,4ь) р(( (',у) (К4(1л 2,'у)— 4(п)~о 4(п~)- О "=О гзее — т4(А~~) т4(11у) Ь4ЬЕ' = 1пп М[А(п)А(п')~. 4(п)~О 4(п )-+О Совершенно аналогично можно доказать равенства д(() = 11т М[А(п)А(п)), д(() = Ьп М[А(п*)А(п')).
4(п)-+о 4(п )-+о 94 3. ЭЛЕМЕНТЫ СТОХАСТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА Таким образом, О = йт (М [А(П) А(П)) — 2М [А(П)А(П')] + л)п)ло л(п )ло + М[А(П")А(П )] ~ = )пп М[$А(П) — А(П')$~], я)п) ло я)п')ло откуда, согласно стохастичесхому критерию Коши, и следует достаточность в утверждении теоремы. В Следствие 3.4. Если Д),о1), 2 Е Т = [а, о[, — интегрируемый на множестве Т с весом у(),У) скалярный случайный процесс второго порядка и то т„(1) = р(2,2') т~(2') Й', Т Кч (11 з 12) = У(21 А ) ~Р (12) 12) К~ (11 > 12) Й1 Й2 з Т Т ))[э)(2,м)) = Кя(2,2) = 22(2,21)~р(2,2~)К~(21,22)Й1Й2)~ О.
Следствие 3.5. Если с(2,о~), 1 Е Т = [а,6), — скалярный случайный процесс второго порядка, интегрируемый на множестве Т с весом у2(1,2') =,У(1 — 1'), где,У(2 — г) — единичная функция, то скалярный случайный процесс 2)(),ы) = <р(1>1')Д)',ы)й = ЦС',1о) Й, 2 Е Т, Т а является диу)у)еренцируемым на множестве Т и ~(),ы) = 2)(),ы), 2 с Т. ЗА. Интегрнруемость случайного процесса < Действительно, в рассматриваемом случае из равенств и 12 т„Я = пг~(г') й', К 111,сг) = КФ,с') с1г'М' а о в точках непрерывности подынтегральных функций следуют равенства 1Ч!], 1Ч11] гп((г) = пге(г)з К4(Й1~гг) = э 'К дгК4г1 гг) и осталось воспользоваться теоремой 3.7.
~ Следствие 3.6. Если скалярный случайный процесс второго порядка Дг,о1), с Е 2, интегрируем на множестве Т с весом р(г,г') и 11(г,а1) = ~р(г>В')Цг',ц1) 1И, г Е Т, т то К~„(г„гг) = М1(Ч1г1, о) — т~(г1))1П(гг,м) — пг4гг))] = р(г„г') Кф„а') й'. т Пример 3.7, Пусть Яф,о1), с Е Т = [О,оо) — скалярный венеровскпй проиесс, выходягций из нуля. Докажем, что он является интегрируемым на Т с весом ср(г, г') Б,У(с — с').
В рассматриваемом случае имеем (2н) 1 1 1 ~хг1 ~хг — х1)г1) Д(Х1,Хг]$1,сг) = ЕХр] — — ~ — 1— 11(гг — 11 ~ 2 ~Г1 гг — 11 ~ ) / 1 т — — ехр~- — Х Е Х 2п~ДЦ ~, 2 96 3. ЭЛЕМЕНТЫ СТОХАСТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА где гг ' сс (Ьг — сс) -~с ~с ' гг Таким обраэом, псо(г) =— О, КЕ(Сссрнг) = ~ С > г (ю„сс <гг, '( Сг, Юс >Ьг. Но в этом случае существует О(эссо) = ср(г,г )Цг >ос)сН'= ~(Е',ос)дг', ~ Е Т, причем пс„(Ф) = та~(т) Йт =- О, о и существует с с ссСе~, ц=~~к,с„ь~сьа,= с с, с сэ асс сг асг + сс асс сссг = —.
3 о о о с, Пример 3.8. Пусть Яй,со), с 6 Т, и п(й,со), с Е Т, — скаляриые случайиые процессы, определенные в примере 3.7. Найдем их соелсестсгнысс закон расссределенссв при каждом фиксироваивом с > О, т.е. одномерный закон распределения векторного случайного процесса е(~,ос) = ~, ~ Е Т = [О, оо). /Д~,ос) 1 Ь«.-)(' ЗА. Интегрнруемость случайного процесса Предварительно отметим, что в смысле СК-сходимости операции интегрирования и дифференцирования случайных процессов сводятся к суммированию с весами их сеченяй и последующему предельному переходу. А из курса теории вероятностей [ХЧ1) известно, что линейная комбянация конечного числа случайных величин, распределенных по нормальному закону,— случайная величина, распределенная по нормальному закону. Таким образом, можно утверждать, что, как при интегрировании, так и при дифференцировании нормальных процессов, являющихся соответственно интегрируемыми иля дяфференцируемыми, получаем нормальные процессы.
В рассматриваемом случае Яе,м), 1 Е [О, оо), — скалярный винеровский процесс, выходящий из нуля. Он является нормальным скалярным процессом с нулевым математическим ожиданием и дисперсией О[с[1,м)1 = $ (см. пример 2.4). А так как ц(й,ы) = ([й,ы) й, Е Е Т, о то и т1(1,м), 1 Е Т, — нормальный скалярный процесс с математическим ожиданием епе[1) = — О и дисперсией ИЩ,ы)) = 1з/3 [см. пример 3.7). При этом, согласно следствию 3.6, ~з Кто [1Д = Ке[й,т) е1т = тйт = —, 1 Е Т.
Поэтому при любом фиксированном ~ > О можно считать, что двумерный случайный вектор с[1,м) распределен по нормальному закону с нулевым математическим ожиданием и новариационной матрицей ез/2 '1 ( 4/е 6/е2 '~ Р/2 Юз/3) ' ~ — 6/Р 12/Сз ~ ' 98 3. ЭЛЕМЕНТЫ СТОХАСТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА Таким образом, одномерная функция плотности вероятностей двумерного векторного случайного процесса е(2,м), 2 б [О, оо), имеет вид с~Г2 / 2х[ бх2х2 бх22~ у, (Х ~ Ф) Ы Я хм х2 ~ 2) = — ехр ~ — — + — — ) . 2х22 ~ 2 22 22 ) ' З.Ь. Действие линейного оператора на случайный процесс Пусть скалярный случабныб процесс есть результат воздействия линейного оператора й~ на исходный скалярный случайный процесс С(г,м), 2 б Т, обладающий необходимыми свойствами (дифференцируемость, интегрируемость и т.д.).
Если Ь| — это оператор умножения на неслучайную функцию, определенную на множестве Т, либо оператор дифференцирования, интегрирования или их композиция, то с учетом результатов, изложенных в 1.2, 3.3, 3.4, приходим к следующим равенствам: п2ч(2) = Ьс[™п((2ию Кч(~1ь22) = ~81ечз[К~(21,22)1. (3.9) При этом следует отметить, что равенства (3.9) могут быть получены непосредственно из определения маспемаспическоео озсиданил и определения линейного оператора, которым также является и оператор математического ожидания. Равенства (3.8), (3.9) являются весьма полезными при решении многих прикладных задач.
Пример 3.9. Пусть Я2,м), 2 б Т = [О, оо), — дифференцируемый скалярный случайныб процесс с известными математическям ожяданием тп~(2) н ковариационноб функциеи К~(22,22). З.о.,цейстнне линейного оператора на случайный процесс 99 Найдем математическое ожидание и ковариационную функцию скалярного случайного процесса ц(с,и) ЬО(с)С(с,и1)+д(Ф) — С(Г1П)+т(й) Е ~Цгали)йт, й Е Т, й о где сф), д(1), у(г) — неслучайные скалярные функции, определенные при с > О. В рассматриваемом случае оператор Г1[.] ='оР)[1+Ф(С) — [ ]+ у(Г) е-'[ ] Ет а является линейным и для решения исходной задачи можно воспользоваться равенствами (3.9). Таким образом, т„(г) = Ц[те(й)] = се(й) те(г) + дЯ + у(с) / е тпе(т) Ыт.
йтц~(а) о А так как Г1,Г1,['] = се(11) се(сг)[']+сФ1) 4(Г1) д [ ]+ д ~1 1 д + о(11)у(11)/ е т'[ ]йт1+о(11)д(Гз) — [ ]+ дгз о дз д Г +д(Ф1)~3(гз) — [ ]+ у(С1);3(сг) — / е '[ ]кЕт1+ дг1 два дг,,/ Ю о и 11 д Г + о(с1)'~(Гг) / е '1[ ]кКтз+д(Г1) у٠— / е те[.]йтз+ дС1 / о о 1, 1, + 'у(й1) 'у(Гя) е 1т'+ ~1[.] йт1йтг, а о 100 3. ЭЛЕМЕНТЫ СТОХАСТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА то искомая ковариационная функция равна К„(й1,сг) = Ь„Й,,ДКфмсг)] = о(сг) о(йг) Кф1,йг) + дК~(г„сг) дК((йы ~г) + (~)Ж1) д," + (с М~г) д, ' + +д(йг)д(гг) ' +о(сг) у($г)~ е кКс(т„сг)йтг+ д К~(смог) дг,дг о + о(г!)-~(гг) е ™ Кт(сытг) дтг+ о и „дК~( „сг) + Щ) у(Сг) е ' дтг + о юг Г дусь, тг) +д(йд)'У(Сг) / е г ' Йт1 + дг, о +7(йг) у(сг) / / е ~ '+ '>Кс(тытг)йт1дтг.
ф~ о о Следует отметить, что если случайные процессы Д~,м), В е Т = (О, оо), и п(8,ы), с б Т, определены и связаны равенством (3.8), а линейный оператор Хс является обратимым, то обратный оператор Ь, ~ также является линейным оператором и в этом случае имеют место равенства, аналогичные равенствам (3.9). Во многих технических дисциплинах* широко используют понятие лккебкоао дккамккескоео зеека и-го порядка под которым понимают подсистему любой динамической ) системы, состояние которой у(с) адекватно описывает математическая модель, представляющая собой задачу Коши для 'См.: Директор С., Рорер Р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
