XVIII Волков И.К., Зуев СМ., Цветкова Г.М. Случайные процессы (1081434), страница 16
Текст из файла (страница 16)
2л~ст К«(т) = ~! егьа сов (4.4) ! 2 л" 2л'йт о~= — / К«(т)сов — г!т, й=б,оо. «=у/ о В соответствии с принятыми допущениями ряды Фурье (4.4) сходятся равномерно, а рассматриваемый скалярный случайный процесс Яг,!ц), г Е Т, является иигпеерцруеа«ы.ы на множестве Т Лмо 3.4, так как при любых значениях й,т ) О в силу непрерывности подынтегральных функций существуют и ограничены интегралы ! ! 4 ~' 2ггйГ! 2лпгЛз — ! К«(Го — гг) сов — сов <И!Ма, о о ! ! 4 ~', 2лйт! 2ггяМл — ! К«(Гз — с!)ьйп — сов В!гага, о о ! ! 4 ( . 2л ЙФг .
2гггп1з — К«(Ьз — Г!) гйп — вгп Йгг!аз. о о Таким образом, на множестве Т определен скалярнын случайный процесс ~а(Г~а!) = + ~~ ол(цг)сов — +Да(цг) взп —, С бТ, (4.5) а оо(ю) 2лас . 2тйс а=! 4. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ где 2 Г 2яйг аь(м) = — / Д1,ы) сов — 1Й, о 2 Г .
2яйГ ,Зь(о1) = — / ((г,го) гйп — й, о Й=О,п; в = 1, п. Если случайный процесс 5„(г,о1), г е Т, является стационарным и сходится к исходному случайному процессу Д1,ы), 1 Е Т, то можно говорить о дискретном спектре (2яйЯ0ь0 о частот стационарного случайного процесса Д8,ы), 1 Е Т. Корректность данной гипотезы подтверждается следующими теоремами. Е Так как по условию М(С(г,о1)) я О, Ф Е Т, то в соответствии с (4.5) М[сц(о1)~ = — / М[~(Г,м)]сов — гав=О, Й= О,п; 2 Г 2яйг о 1 2 Г 2ггггГ ММ )1=-,/ГМ[6~, )) 1, =О, =1,,; о м(,( )] 2 + ~ (М[оь(го)~ сов — + М[1Оь(о1)) в1п — ) = О. 2хкг 2яйг в=1 Теорема 4.1, Если ковариационнвл функция К~(г) скалярного стационарного случайного процесса Щы), г Е Т = (О, 1), с нулевым математическим ожиданием является непрерывной на отрезке (-1,1), удовлетворяет на нем условиям Дирихле и представима в виде (4.4), то случайный процесс 5„(1,1о), Г Е Т, 4 определяемый согласно (4.5), является стационарным.
н.д. Стоннонорные скучеддные пРонессы с д Р с нск етным спектром 127 Далее, с учетом равномернои сходимости р д ур ( . я ои Ф ье (4.4) и ортонормирова ванности на отрезке (О, 1) системы тригонометрических функций 1 2 2тlс1 !2 . 2дгйД ~ сов ~, )/ — вди —; ~1 имеем соч~ор(од); ое(од)] = ! — нг = М вЂ” Яд,од)сов — й~~ — Ядз,до)сов— о о 4 /' " 2нрдд 2нд22 = — Г~ М(д(дд,до)Ягз,до)] сов — сов — !дед!422 = 12 / о о ! 2нрдд 2нд22 —,2| | 4 2 1 — КЯг — 11) СО — СО — ДДГДДДГ2 сс е а 4 " г 2нй11 2~гИя .
2ггЫ~ . 2~гМя~ -- "// 2ггр21 2нддз Х СДДВ СО — ГДС1ДДд2 = г ( /' 2хЫ 2нр21 2нгс22 2дгд22 Ймо О о ! — ддг сйи — сов — й~ 22 г ! . 2нкг2 2ндгз вди — сов — д / яи— о е ггр, р=д; О, р~д. 128 4. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ Совершенно аналогично можно доказать равенства сот[4(м);,8 (м)] = ~ сот[о (ы);Оч(ы)] = О.
-1 о, Таким образом, можно утверждать (см. пример 4.1), что о'„(1,ы), 1 е Т = [О, 1), — стационарный скалярный случайный 1 процесс. ~ Следствие 4.1. Если выполнены условия теоремы 4.1, то имеют место равенства: Р [О,6оо(ы)] = ао" в П Я(1, о)] = ~~~ 'о„', я=о П[Дс,си)] = К1(0) = ,'ь о~з. я=о (4.6) ((1,ы) = 1пп 5~(1,ы), 1 6 Т, или, что то же самое, существует предел 11ш М[)~(с,ы) — чЯ(1,ы)[") = О, 1 6 Т. Теорема 4.2. Если ковариационнал функция К1(г) стационарного скалярного случайного процесса Д1,м), 1 6 Т = [О, 1), с нулевым математическим ожиданием является непрерывной на отрезке [ — 1, 1], удовлетворяет на ием условиям Дирихле и представима в виде (4.4), то при и -~ со случайный процесс 5~(1,м), 1 6 Т, определяемый согласно (4.5), сходится к исходному случайному процессу: аь Стационарные случайные процессы с дискретным спектром 129 ° я Воспользовавшись видом (4.5) скалярного случайного про- цесса 5 (г, ьг), с Е Т = (О, 1), получаем М[~(с,о )ЯЯ(Г,ог)~ = — Мф1,о )оо( )1+ 1 2иН 2яИ + ~ М[ДГ,ог)сгь(ог)) соа — + Мфг,м)Д(гс)1агп —.
ь=г 2ггкг 2ггкс М[Д1,ог)сгь(ы)~ соа — + Мфг,огЩог)! а1п — = г 2 Г 2пйв 1 2иИ = М Я(1,ы) — / С(в,го)соа — гЬ~ соа — + 1,/ о 2 Г . 2пйв 1 . 2пйт +М ((с,ог)- / Дв,м)агп Нв~а1п — = о 2 Г 2ийг 2лкв = — ( М [~(1,гс)Цв,ог)~ ~соа — соа — + о 2кйГ . 2ийв1 2 Г 2ий(à — в) + ьйп — агп — ~ Й = — К~(à — в) соа 1~ !/ 1 Ыв = о г 2 ч з Г 2пгп(г — в) 2игг(1 — в) — о~ ~ соа соа ов = аь, — о к = 1, и.
Совершенно аналогично можно доказать равенство М [~(С,ог)его(ог)3 = 2сго. При этом из (4.5) и равномерной сходимости ряда Фурье (4.4) следует, что 1ЗО 4. СПЕНТРАЛЬНАЯТЕОРИЯ Таким образом, с учетом (4.6), получаем п М[Д1,м)5~1(~,м)] = ~~ о~я = )Э[5~1(~,м)].
(4.7) еже Для завершения доказательства теоремы рассмотрим тожде- ство М П4(1,ьу) — 5й(1,ИИ2] = М [61,м)аю,ы)]в — 2М [Дй,ы)5~(1,м)] + М[5~ (1,м)5~(1,ы)]. Из условия Мф1,ш)) = М[51(1,ы)] = О, 1 б Т, и равенств (4.6), (4.7) следует, что МЦД1,ы) — 5~~(1,ю)~~] = П[Д1,ш)) — 2Э(5~(й,м)] + и-й остаток сходящегося знакоположнтельного числового ряда с общим членом (©. Таким образом, существует предел йп М[)Д1,ы) — 51(1,ы)1~] = 11т ~ оь~ —— О, лев+! что н требовалоеь доказать. > Следствие 4.2. Если Щм), 1 Е Т = [О, 1), — стационарный скалярный случайный процесс с математическим ожиданием т1, а его ковариационная функция К4(г) непрерывна на отрезке [ — 1, 1], удовлетворяет на нем условиям Дирнхле и представима в виде (4.4), то центприроеанныб сличобныб процесс о Яй,ы) = ~(й,ы) — т1, 1 б Т) дл.
Стационарные саучайные процессы с дискретным спектром 131 может быть представлен суммой ряда Фурье: и ао(м) 2хИ 2л'М ЯС,ы) = +~ аь(ы)соб — +»1ь(м) вп —, 1 Е Т, /с=1 где равенство следует понимать в смысле СК-нормы и а2 Го 2нИ ( )='-/ с(1 ) о ! 2 Г 2я йс = — / 4(1,и) соб — й, о й = О, со; 2 Гс . 2нИ ,Вь(ы) = — ( ~(1,ы) вп — Ыс = Е„/ о [ 2 Г . 2хй1 / Д1,ы) б1П пт, о й= 1, оо.
Следствие 4.3. Некоррелированные амплитуды гармоник имеют нулевые математические ожидания, а их дисперсии являются коэффициентами ряда Фурье для ковариационной функции исходного случайного процесса при соответствующих частотах. ~ Это утверждение вытекает из результатов примера 4.1, а также теорем 4.1 и 4.2. »а Пример 4.2, Пусть 4(1,м), 1 Е Т = (О, 1), — стационарный скалярный случайный процесс с нулевым математическим ожи- данием и ковариационной функцией е "»'», »т! <1/2, к,()=1 ),е 0 ~ ~», 1/2К(т(((1, где а > 0 — известная постоянная (рис.
4.1). Убедимся в том, что этот случайный процесс может быть представлен суммой ряда Фурье. 132 Е. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ КЕ(т) Рне. 4.1 Действительно, ковариационнал функция К1(т) непрерывна и на отрезке ( — 1,1) удовлетворяет условиям Дирихле, т.е. она может быть представлена суммой ряда Фурье: 2 кМт К1(т) = ~~~ т»соа —, 1 »юо где для и = О, оо 2 Г пМт сг = — ~ К1(т)сое — Йт= »=1/ о Пя ( = -~ е соа — Йт+ — ~ е ' 'соа — Й = о Пя (кк) з+ аз (, (1+ (-1) — 2е сое — ) .
Г» Пя 2 Отсюда видно, что при т = О, оо 4а1 оз +1 =О, з: —, ('» — ( — 1) е ПЯ). 1й (2 . )2+ 2 4.2. Стационарные сеучайные процессы с иепрерыаным спектром 133 Таким образом, для ковариационной функции К1(т) имеет место представление (4.4): 4о1 ! 2 2ктпт К1(т) = ~ (2яш)з+ оз (1 — ( — 1) е "1 )сов —, и, согласно следствию 4.2, случайный процесс 1е(1,м), 8 Е Т, может быть представлен суммой ряда Фурье. В заключение заметим, что ограничения, накладываемые на ковариационную функцию К1(т) стационарного скалярного случайного процесса Д1,м), 1 Е Т = [О, 1] (в том числе и требование четности гармоник), являются излишне жесткими. Они необходимы лишь для получения более или менее простых и наглядных доказательств соответствующих утверждений.
Это тем более очевидно, что мы понимаем равенство случайных процессов в смысле СК-кормы. Из теории рядов Фурье известно [1Х), что тригонометрическая система функций полна на Т и что любая функция Кй(т), интегрируемая на Т с квадратом, может быть представлена рядом Фурье по тригонометрической системе. При этом рассматривают сходимость по норме в классе функций, интегрируемых с квадратом на Т, являющейся аналогом СК-нормы. Именно поэтому возможно разложение в ряд Фурье даже обоби1еккыя функций, представителем которых является 6-функция Дерека', что и использовано далее без дополнительных разъяснений.
4.2. Стационарные случайные процессы с непрерывным спектром В этом разделе, как и выше, под стационарным случайным процессом будем понимать сепациокаркые случайные процессы в 1иироком смысле. См. также Виеочее В.С. 134 4. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ Пусть С(1,ы), е Е Т = [О, 1], — стационарный скалярный случайный процесс с нулевым математическим оэеиданием и коеариационной функцией К1(т), которая является непрерывной на отрезке ( — 1,1], удовлетворяет на нем условиям Дирихле и представима в виде (4.4). В этом случае, согласно теореме 4.2, рассматриваемый случайный процесс представим суммой ряда Фурье: 61>ы) = — +,~ оь(ы)сое — +1.'ь(и~)81п > 1ЕТ, оо(м) 2кй1 .
2л'й1 2 1 где 2 Г 2 кк1 оь(м) = — / с(~,ы)сое — й, й = О,оо, о 2 Г . 2кк1 1Цы) = — ~ с(1,ы) ьйп — д1, й = 1, оо. о При этом амплитуды гармоник оь(м) и 11ь(м) (и = 1, оо) явля- ются некоррелироеанными случайными величинами, имеют ну- левые математические ожидания и дисперсии Р(оь(и>)] = о~ь, й = О, оо; 1ЭЩы)] = оьз, /с = 1, оо, где аьз — коэффициенты РЯда ФУРье длЯ коваРиационной функции К1(т): 2кйт К1(т) = ~а~ясов> —. >>=о М)-1М )] () —,С уй(~)+1руй(~)] Й ~~ 1; Фь(ы) = к=О; й< — 1, Если воспользоваться формулами Эйлера и ввести случайные величины 4.2.
Стационарные случайные процессы с непрерывным спектром 135 то приходим к следующему представлению исходного скаляр- ного случайного процесса: ао(ь1) 2я Й! 2ггЙ2~ Д2,со) = — + ~~» '!1аь(о1) сое — + Д,(и) в1п — ) = ! Ь1' 2 Й! гкйг ,2ть! 2кк! !— -!— 3 -!— ао(ц1) Г е ! +е а, ! — е ! 2 ~2-~~ ~, 2 й1 ао(ц1) ч аь(о1) + Ць(ц1) Г .21гй!'1 +~ 2 ~ 2 ехр~ — ! — ~ + Ьм1 ч ае(1с) — ЦЬ(ц1) Г,21гйг~ +~ ехр~1 — ~ = 2 Ьм1 Фь(1с) ехр(! — ), ! б Т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
