XVIII Волков И.К., Зуев СМ., Цветкова Г.М. Случайные процессы (1081434), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Найдите ковариационную функцию и дисперсию скалярного случайного процесса о с(1,со) = ~~» [оь(а») сое(иев) +®со) я»п(иьГ)], 1 Е Т С К, ь=! если иь, »с = 1,и, — известные неслучайные параметры, некоррелированные скалярные случайные величины оь(ю), »5ь(со), »с = 1, в, имеют нулевые математические ожидания и равные дисперсии П[аь(о»)] = 13Ща»)] = о~я, /с = 1, в. Ответ: К»(1», Фз) = ~~» с»ь сое[рь(8з — 8»)]; с»( (1) = ~~» оь.
ь=» а=! 1.17. Найдите взаимную ковариационную функцию скалярных случайных процессов ~(8,о») = а(о») е»в(И) +»3(а») сое(И), 1 Е Т с К, п(С,а») Й о(ю)»йп(ив) + у(ю) сое(И), ~ Е Т с Е, 46 1. ИСХОДНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ если и — известный неслучайный параметр, а скалярные случайные величины о(м), 7г(ы), у(ьг) являются попарно некоррелированными.
Ответ: К~а(~м~г) =оп(И1)в1п(Иг)Що(а)). 1.18. Пусть С1(й,ы), С 6 Т, и Сг(й,ы), ~ Е Т, — два скалярных случайных процесса, для которых известны ковариационные функции К~,(Ф1,йг), К~,(~мйг) и взаимная ковариационная функция К61,(81,йг). Найдите ковариационную функцию комплексного случайного процесса Цс,и) 4 (а(8)~1(с,ы)+ЬЯ)+1[с(1)(г(1,ы)+Н($)1, 1 б Т, если а(г), Ь(й), с(с), Ы(й) — известные неслучайные функции, определенные при 1 Е Т. Ответ: К~(ЮО Юг) = ~а(К~) а(1г) К~, (~ы ~г) + с(~1) с(~г) К~, (Юы Юг)] + +1'(а(с1) с(1г) К~,~,(~мсг) — с(1~)а(сг) К~,~,(7ПСг)].
2. НЕКОТОРЫЕ ТИПЫ СЛ'У'ЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ Для построения конструктивной теории, позволяющей решать различные задачи как теоретического, так и прикладного характера, необходимо конкретизировать общее определение случайного процесса (см. 1). Рассмотрим важнейшие типы случайных процессов, представляющих особый интерес для приложений.
2.1. Стационарные случайные процессы Определение 2.1. Случайный процесс С((,и), ( е Т = [а, Ь], называют спзацкокарким в узком смысле, если для любых )ч' > 1, 8ь е Т, й = 1, Ф, и Ь е И, такого, что (ь+ Ь б Т, /с = 1, )Ц, имеет место тождество р((х(1),..., х( ч) ] (ы..., (ч) = Р~(х(1),..., х( ч) ] (1 + Ь,..., (к + Ь), или, что то же самое, ~((х(1),...,х(к) ](ы...,(и) = Д(х(1),..., х(ч) ](1 + Ь,...1(н + Ь).
Если стационарный в узком смысле случайный процесс Я8,ы), ( с Т = [а,6], имеет моменты первого и второго порядков, то его математическое ожидание М[с((,м)] ив в т(— постоянный вектор, а ковариационная функция зависит лишь от разности аргументов, т.е. сои [~((пм);(((з,ы)) = К(((з — (1). Действительно, полагая Ь = а — 1, получаем М[Я(,ы)] = х,(((х]() йх = хД((х]а)дх = т((а) = т(. 48 2, НЕКОТОРЫЕ ТИПЫ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ Совершенно аналогично, полагая й = а — 1ы приходим ко второ- му тождеству: соч[~(8ыы);~(1з,ы)] = т (х1 — т~)(х1з1-т~) ~с(хВ1,х1з1[1м1з)дхВ10х1а1 —— и ип ~(*р~- (и*()- с*ы'п»*щ~'ь -' ь"м'пФ'~»=' К~(12 11)' Определение 2,2. Случайный процесс ~(1,ы), 8 Е Т, называют стационарным е широком смысле, если его математическое ожидание — постоянный вектор, а ковариационная функция зависит от разности аргументов, т.е.
М[Яг,ы)) = тг — — сопвФ, Кс(гд,1з) = КС(1г — 1ь) Таким образом, из стационарности в узком смысле следует стационарность в широком смысле. В той мере, в какой теория случайных процессов отражает явления реального мира, понятие стационарности случайного процесса отражает идею неизменности (стационарности) условий, в которых он протекает. Заметим, что случайный процесс, рассмотренный в примере 1.3, является стационарным в широком смысле, если случайные величины а(ы),,3(м) являются нскоррслированными, имеют нулевые математические ожидания и одинаковые дисперсии. Пример 2.1. Пусть скалярные случайные величины о(ы), Д(ы), т(ы) обладают следующими свойствами: а) о(ы) и 13(ы) положительны и ~,„п(хм ха) — плотность распределения (вероятностей) случайного вектора (о(ы) Яы)); б) Яы) не зависит от а(ы) и Д(ы) и распределена по равномерному закону на отрезке [О, х).
2.1. Стационарные случайные лроцеееы Докажем, что случайный процесс ~(гц() = о((ц) сов[(3((ц)1+ 7(ц()), 1 й Т = [а, а), является стационарным в узком смысле, начав с определения его одномерного закона распределения. Фиксируем значение 1 Е Т. В этом случае сечением рассматриваемого случайноео проиесса является случайная величина В,(ц) =(р(о((ц),(3(ы),7(ы)) = — (з((ц)сов[(3((ц)1+7((ц)), представляющая собой функцию случайных величин (2((ц),,3(а(), 7((ц). Функция плотности вероятностей случайного вектора (о(ц() (3((ц) 7((ц)) имеет вид ,(а(Зу(Х11ХЗ~ХЗ) 1о(З(Х1~Х2) 1 ((ХЗ).
Из равенства У = (Р(Х 1 ~ Х2 ~ ХЗ) = Х1 СОВ(Х21 + ХЗ) следует, что агссоз ~ — х21, (у( < [х(); ХЗ =(Р (Х1~ХЗ~У) = О, (у) > )х1). Поэтому, согласно теории построения законов распределения функций случайных величин, находим [ХЧЦ где (х1[ > (У~; О, (х1! < (у) 50 2. НЕКОТОРЫЕ ТИПЫ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ и пе завысит от значения 1. Кроме того, по условию случайная величина у(и) распределена равномерно иа отрезке (й,к), т.е. фуикция плотности вероятностей Д„инвариантна относительно сдвига аргумента.
Таким образом, Для Ж > 1 нужно определить закон распределения Ф-мерного случайноео вектора с компонентами (ь(м) = ~рь(о(ь),~3(м), у(и)) = о(ы) соф(м)Гл+ ~(ю)] и доказать, что Далее принципиальная схема рассуждений аналогична использоваииой в одномерном случае и потому ие приводится. 2.2, Нормальные процессы Определение 2.3. Случайный процесс С(с,м), Ф б Т = = (а, 6), называют нормальнььм, или еауссовым процессом, если любые его коиечпомериые законы распределения являются нормальными. Пусть ~(с,ы), 1 б Т, — п-мерпый нормальный процесс с математическим ожиданием тф) и ковариационной функцией Кф,т). В зтом случае для любого Ф > 1 и для любых Гь б Т известны значения его математического ожидания т((1Ь) = МЦГЬ,м)], й = 1, Ф, и ковариацвоипой функции К~(1ЙД)=М[(~(гй,м) — т((1ь))(((г„м) — т((гр)) ], Й,,1=1,%.
З.З. Нормальные процессы Введем в рассмотрение блочные матрицы-столбцы, которые при дальнейших рассуждениях будем называть блочными в емепорами: тг ((Н) ь((Н,ь>) и блочную матрицу Кг((1>(1) Кг(((>(г) ... Кг((1>(Н) К~((з>(1) К>((з>(з) ... К~((з>(л() К>.(с>'> с ) Кс(">>> з) .. К>,("с> спи) Не останавливаясь на анализе особых случаев, связанных с возможной линейной зависимостью сечений рассматриваемого случайного процесса, будем считать, что ~$~~д~ ~ О. Блочный вектор пы(ь>) является (пА()-мерным случайным вектором с математическим ожиданием тя( и ковариационной матрицей р)ч. А так как Я8,ь>), ( Е Т, — нормальный случайный процесс, то случайный вектор цл((ь>) распределен по нормальному закону и ( 1 Яу) = ехр~- — (у — т>ч) Ъ' (у — т»()1 (2я) Н(~Я 2 является М-мерной функцией плотности вероятностей для случайного процесса (((,ь>), ( ~ Т.
Таким образом, любой конечномерный закон распределения нормального случайного процесса полностью определяется его математическим ожиданием и ковариационной функцией. Если 4((,ь>), ( с Т, — п-мерный стационарный нормальный случайный процесс, то его математическое ожидание— постоянный п-мерный вектор, а аргументом ковариационной функции является параметр г =(з — ((. Ы г. нккоторык типы случлйных и'оцессов В силу центральной предельной теоремы [ХЧ1] нормальные случайные процессы в ряде случаев оказываются предельными для сумм возрастающего числа случайных процессов.
2.3. Процессы с независимыми приращениями Определение 2.4. Случайный процесс Д1,и), 1 Е Т С К, называют процессом с независимыми приращени.ями, если для любых Ф > 1 и 8ь Е Т, к= 1, Ф, таких, что 11 <1г « ...1,ч, случайные величины ~(1„ь), ~(1г, ) — Ц1,, ), ..., ~(1ч,о) — Ц1~я „о) являются независимыми. В практике научных исследований встречаются случайные процессы, родственные (в определенном смысле) случайным процессам с независимыми приращениями.
Отметим некоторые из них. 1. Если и-мерные случайные векторы С(1,,м), Ч(1г,и)— — Д1мм), ..., ~(1у,ы) — Д1ч мм) являются, вообще говоря, зависимыми, но некоррелированными, то п-мерный случайный процесс С(1,м), 1 б Т, называют процессом с некорреяированнмми (оргпоеонаяьными) приращениями. 2.
Если для любых Ф > 1 н 1ь Е Т, й = 1, Ф, закон распределения приращения ~(Ц+1, ы) — ~(1ь, ы) зависит лишь от 8ь+1 — 1ь, к= 1, М-1, то случайный процесс С(1,м), 1 Е Т, с независимыми приращениями называют процессом со спзационарными независимыми приращени,ями. Случайный процесс Д1,ы), 1 Е Т С К, с независимыми приращениями полностью определен одномерным законом распределения ~1(х [1), характеризующим случайный вектор Д1мм), и двумерным законом распределения Ях(11,х(г1 [11,1г), характеризующим приращения С(Ц+, ) — ~(1ь ), й=ГЖ вЂ” 1. 2.3.
Пронесем с незавнснмымн нрнрыаенннмн Пример 2.2. Пусть С(~,ы), ~ б Т С И, — случайный процесс с ортогональными приращениямя и требуется определить его коеариационную функцию. Полагая ~з > ~м имеем К~(~и~з) = сои[с(~мы); с(~з,а)] = = сои(с(й1,м); с(й1,и) + (с(йз,и) — с(Еисми))] = = сои(с(11, м)," с(11,а )] + +сои~~(Й1,ы)) ~(Йя,ы) — ~(Ему)] = Е((Й1)1 где последние равенства следуют из свойств ковариации и некоррелированности случайных величин с($мм) и с(~з,м)— — С(с1,М). Рассуждая аналогично, при ~1 > ~з получаем Кс (~1 ~ ~2 ) — Ес (~2) ° Таким образом, с учетом связи ковариационной функцяи слу- чайного процесса и его ковариационной матрицы, имеем Е ((8), л > ~; йЕ(~,о) = Ее(о), о < ~.
Отметим, что процесс с независимыми приращениями является процессом с ортогональными приращениями. Поэтому результат, полученный при рассмотрении примера 2.2, имеет место для любого процесса с независимыми приращениями. Пример 2.3. Пусть ((~,ы), ~ Е Т С й, — процесс с ортогональными приращениями. Для 1, о Е Т, о < 1, положим Н~(~ — л) = сои(С(~,ы) — ((о,а); Я1,м) — С(о,м)]. Так как исходный случайный процесс является процессом с ортогональными приращениями и о < 8, то соъ'фя,и); Я(С,ы) — с(о,м)] = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
