XVIII Волков И.К., Зуев СМ., Цветкова Г.М. Случайные процессы (1081434), страница 4
Текст из файла (страница 4)
В шестой главе изложена элементарная теория массового обслуживания, которая опирается на методы исследования марковских процессов с дискретными состояниями. Материал этой главы предназначен для первого знакомства с теорией массового обслуживания и ее возможными приложениями, а также для подготовки читателя к освоению специальной литературы по этому разде~у. Для усвоения материала седьмой и восьмой глав, в которых содержатся основные положения теории марковских процессов с непрерывными состояниями и некоторые ее приложения, читатель должен быть знаком с элементами теории дифференциальных уравнений математической физики, иметь представление о постановках задач для дифференциальных уравнений с частными производными параболического типа и методах их Решения.
24 Введение В седьмой главе сформулирован основной принцип построения детерминированной модели состояния динамической системы, обоснована необходимость введения в нее случайных возмущений. Доказана, что процесс случайных возмущений является „белым шумом", и выписана стохастическая модель состояния, представляющая собой задачу Коши для системы стохастических дифференциальных уравнений. Далее изучены свойства решения задачи Коши для системы линейных стохастических дифференциальных уравнений и доказано, что этим решением является нормальный марковский процесс, математическое ожидание и ковариационная матрица которого являются решениями соответствующих детерминированных задач Коши. Кроме того, определены условия, при выполнении которых этот случайный процесс является стационарным или может считаться стационарным.
В этой же главе введены понятия стохастических интегралов и дифференциалов, рассмотрены их свойства и возможности применения при изучении нелинейных стохастических моделей состояния. В восьмой главе рассмотрены общие свойства марковских процессов с непрерывнымн состояниями, обосновано уравнение Маркова — Смолуховского — Чепмена — Колмогорова, на базе которого выведены первое и второе уравнения Колмогорова для условных вероятностей. Значительное внимание уделено анализу возможных постановок задач для уравнений Колмогорова и методам их решения. Доказано, что любая стохастическая модель состояния определяет некоторый марковский процесс и любой марковский процесс удовлетворяет некоторой стохастической модели состояния, В качестве иллюстраций рассмотрены: задача об определении вероятности пребывания значений марковского процесса в заданной области; задача об определении закона распределения времени пребывания значений марковского процесса в заданной области; задача об определении среднего числа выбросов значений марковского процесса за данный уровень.
25 Последние две главы посвящены задаче оценивания неизвестных параметров случайного процесса по дискретным значениям его выборочных реализаций. Эта задача занимает особое место в статистике случайных процессов в связи с ее прикладной значимостью. Мы предполагаем, что читатель может оперировать основными понятиями математической статистики в объеме базового курса. В девятой главе, после анализа различных возможных вариантов наблюдений и статистических моментов случайного процесса, сформулированы задача оценивания его неизвестных параметров и требования, предъявляемые к ее решению.
Для изучения свойств оценок и методов их определения рассмотрены случайные выборки, соответствующие различным возможным вариантам данных наблюдений, и их совместные функции плотности вероятностей. Дано определение эффективной оценки вектора неизвестных параметров случайного процесса и проведен анализ неравенства Рао -- Крамера.
Сформулирована и доказана теорема о единственности решения задачи оценивании. Рассмотрены методы максимального правдоподобия и наименыпих квадратов для нахождения оценок неизвестных параметров случайного процесса по данным наблюдений и проанализированы их свойства. Результаты, полученные в девятой главе, использованы в следующей десятой главе для решения задачи оценивания неизвестных параметров стохастической модели состояния по данным наблюдений. Установлены условия единственности решения этой задачи и рассмотрен случай, когда данные наблюдений содержат случайную ошибку измерений. Последнее сделало уместным рассмотрение основ теории фильтрации, а именно, фильтра Кзлмана. 1. ИСХОДНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ Теория случайных функций является разделом теории вероятностей и, как следствие, относится к классической математике, которая строится дедуктивно, исходя из некоторой системы аксиом. Основой теории случайных функций являются фундаментальные понятия и результаты базовых разделов теории вероятностей.
1.1. Случайная функция, случайный процесс и случайная последовательность Пусть (й, А, Р) — вероятностное пространство; (К",6)— измеримое пространство; 1 — параметр, совокупность значений которого Т в общем случае является произвольным множеством; м Е Й вЂ” элементарное событие. Определение 1.1. Случайной функцией С[8,и), 1 с Т, называют измеримое отображение с: й -+ К" пространства элементарных событий й в К", зависящее от параметра 1. Если Т = [а, о) — отрезок числовой оси, а параметр 1 интерпретируют как время, то вместо термина „случайная функция" используют термин „случайный процесс". При и = 1 случайный процесс ~(г,ю), 1 Е Т, называют скалярным случайным процессом, а прн и > 2 его называют векгпорным случайным процессом или и-мерным случайным процессом. Векторный (и-мерный) случайный процесс Д1,и), 1 Е Т, т можнозаписать в виде~(Гоо) = ф(1,м) ...
4„(Й,и)) . При этом скалярные случайные процессы ~,(Г,~.), 1 Е Т, называют его координатными случайными процессами. )лк Случайная функция, процесс и последовательность 27 Если Т = И, то вместо случайной функции Д1,ы), 1 Е Т, говорят о случайной воследоеапзельностви, которую обозначают также ((л(м))1~ При любом фиксированном значении параметра 1 Е Т случайная функция г(1,ы), 1 Е Т, является случайным вектором, называемым сечением этого случайноео вроцесса. Если зафиксировать элементарное событие ы Е й, то в этом случае ~(1,м) является (неслучайной) функцией параметра 1, которую называют твраентворией случайноео вроцесса Д1,м), 1 Е Т, или его реализацией. Пример 1.1.
Предположим, что разработан реактивный двигатель новой конструкции и р(1) — функция времени 1 Е Т = = (О, 1о], описываю1Цан теоРетический закон изменениЯ Давления в камере сгорания, причем 1 = Π— момент запуска двигателя. Так как реально невозможно изготовить даже два абсолютно идентичных двигателя, то изменение давления в камере сгорания — скалярный случайный процесс Д1,ьс), 1 б Т, где ы — вектор конструктивно-технологических характеристик реактивного двигателя. с(а и), 1сТ ц) Рис. 1.1 Пусть изготовлены три опытных образца рассматриваемого Реактивного двигателя и проведены их испытания.
На рис. 1.1 схематично изображены реализации случайного процесса ((1,а~), К ИСХОДНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ 1 Е Т = [0,1о). При этом и)1ь) — вектор конструктивно-технологических характеристик к-го образца; С(1,)в1ь)) — изменение давления в камере сгорания к-го образца реактивного двигателя; 1о -- момент окончания фиксации давления. 4 Если для случайного процесса ~(1,и)), 1 Е Т, зафиксировать произвольное значение параметра 1, то получим п-мерный случайный вектор с(1,~ ), являющийся сечением случайного процесса. Закон распределения вероятносп)ей этого случайного вектора называют одномерным законом распределения случайного процесса Д1,)и), 1 к Т. Функцию распределения (вероятностей) случайного вектора С(1,и)) Р~(х/1) АР[Д(1,и)) < х] = 1~(уфду, где л т1 Хп Уу~1)ду 4 ... ( (у,,...,у„~1) ду,...ду„, называют одномерной функцией распределения случайного процесса С(1,и)), 1 й Т, а (~(х~1) — одномерной функцией плотности веролтностей случайного процесса Д1,и)), 1 к Т, которая может быть и обобщенной (см.
П1). Если зафиксировать значения 1в параметра 1 й Т, к = 1, и, то приходим к совокупности из Ю случайных и-мерных векторов (с(1в,и)))); ) с функцией распределения (вероятностей) Г~(хП),..., х1)ч))1),...,1)))) = Р ~4(1воо) < х(ь), й = 1, Ю) = ~п) ~(н) 1.1.
Случвйнвв функция, процесс н последовательность 29 называемой коиечномерной (М-мерной) функцией распределени* случайиоео процесса С(1,ы), 1 б Т. В этом случае ДС(хвату...,х(ь11[11,...,1ы) — конечиомерная (М-мерная) функция плотин остии в ероятпиостпей случайноео процесса Цт,ы), 1 Е Т, (возможно обобщенная). Функции Д~ (х(1р..., х1ь11[11,...,11о), Р1(х11Н..., х(1ч1[11,...,11о), задают конечномериый (Ж-мерный) закон распределения случайноео процесса С(1,и), 1 Е Т. Не следует путать конечномерные функции плотности вероятностей (функции распределения) случайного процесса и конечномерные функции плотности вероятностей (функции распределения) его сечений.
В зависимости от контекста может идти речь об У-мерной функции плотности вероятностей (функции расвределения) скалярного случайного процесса и об одномерной функции плотности вероятностей (функции распределения) векторного случайного процесса. Фактически случайный процесс С(1,м), 1 Е Т, можно рассматривать как совокупность всех его возможных сечений. Таким образом, в общем случае случайный процесс Д1,ы), 1 Е Т, не может быть полностью определенным, так как он представим несчетной совокупностью своих сечений и невозможно построить совместный закон распределения всех его сечений. Поэтому любой случайный процесс Д1,м), 1 Е Т = [а, о], в общем случае не является полностью определенным и при решении различных задач, как теоретического, так и прикладного характера, исследователь вынужден ограничиваться использованием конечномерных законов распределений. Определение 1.2.
Случайные процессы С(1,м), 1 б Т, и т1(1,ц~), 1Е Т, определенные на одном и том же множестве Т, в одном и том же вероятностном пространстве (й,А,Р) и принимающие значения в одном и том же измеримом пространстве (тс",0), называют стпохастпически эквивалеитпиьтми, если Р[Д1,ы) ~ у(1,ы)1 = 0 для любого 16 Т. 1. ИСХОДНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ Таким образом, стохастически эквивалентные случайные процессы С(С,ат), С Е Т, и т)(С,ат), С Е Т, могут отличаться друг от друга лишь на подмножестве Йо множества Й, имеющем нулевую вероятность.
Если случайные процессы С(С,и), С Е Т, и О(С,ш), С Е Т, являются стохастически эквивалентными, то их конечномерные функции распределения совпадают, т.е. ттС (х 1 1),..., х С тя ) )Ст,..., С лт ) = )тс (х (1),... ) х С лт) / СС,..., С лт ) для любого Дт > 1 и для любых Сл Е Т, /с = 1, Дт. Реализации стохастически эквивалентных случайных процессов могут быть совершенно различными.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
