XVIII Волков И.К., Зуев СМ., Цветкова Г.М. Случайные процессы (1081434), страница 23
Текст из файла (страница 23)
б.1): в определенную совокупность пунктов, называемую системой обслизхиванил, через некоторые промежутки времени поступают объекты (входкой потпоп), которые подвергаются там соответствующим операциям (обслуживанию) и затем покидают систему (выход«ой «о1«ои), освобождая место для следующих объектов. Промежутки времени, через которые поступают объекты, и время их обслуживания, как правило, имеют случайный характер.
Поэтому при массовом поступлении объектов в системе обслуживания могут возникнуть очереди. Рис. Е.1 Процессы, объединенные общей структурой, изображенной на рис. 6.1, называют процессами массового обслухсиваиил. Они типичны для связи (телефон, телеграф, почта), транспорта (воздушные, наземные и морские перевозки), культурно-бытовых предприятий (театры, магазины, поликлиники), производственных процессов (сборочные линии, ремонт и обслуживание оборудовании) и так далее. 192 6. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ Вне зависимости от конкретной природы и характера объектов, поступающих в систему обслуживания, их называют залв«ами, или твребова«олми.
Входной поток заявок рассматривают как последовательность случайных событий, следующих через какие-то промежутки времени (например, вызовы на станции скорой помощи, выход из строя станков и так далее). Закон распределения входного потока в значительной степени обуславливает и характер процесса массового обслуживания. Структура очередей и поступление из них заявок на обслуживание определяются как свойствами и возможностями систем обслуживания, так и установленными правилами прохождения заявок через эти системы (дисиивли«а очереди).
Заявки могут выполняться в порядке поступления (операции на конвейере), с приоритетом (внеочередное право получения билета), в случайном порядке (отбор образцов для статистического анализа), в порядке первого очередного поступления при освободившемся канале обслуживания (прием вызова телефонной станцией) и так далее. Очереди могут ограничиваться по длине, т.е. по числу находящихся в ней заявок, и ио времени ожидания обслуживания.
Эти ограничения обусловлены либо возможностями самой системы массового обслуживания (число мест в театре, объем оперативной памяти ЭВМ), либо поведением объектов обслуживания (отказ от обслуживания из-за неприемлемости длины очереди или времени ожидания в ней, регламентация порядка обслуживания, т.е. дисциплина очереди, и так далее). В конечном счете основной характеристикой очереди является время оэ«ида«ил обслуживания.
Система обслуживания состоит из определенного числа обслуживающих единиц, называемых «а«илами обслуз«ива«ил, и может иметь различную организацию: с последовательными, параллельными и комбинированными каналами, некоторые из которых могут быть специализированными. 11ри этом в зависимости от поступления заявок и образования очередей эта система может обладать 193 В 2 Простейший лоток способностями к изменению своей организации. В свою очередь, изменение организации системы обслуживания влияет на структуру очереди и на отношение к ней объектов обслуживания.
Так, при занятости всех каналов обслуживания поступающие заявки могут получить отказ (системы обслуживания с отказом) или становится в очередь (системы обслуживания с очередями, которые называют также системами обслуживани* с ожиданием). Изучение процессов массового обслуживания составляет предмет теории массового обслуживани*. Она является весьма развитой математической дисциплиной с обширными приложениями в различных областях знаний.
Математические модели теории массового обслуживания используют и в различных задачах принятия решений, связанных с рациональной организацией систем массового обслуживания или выбора оптимального варианта из некоторой их совокупности. 6.2. Простейший поток Определение 6,1. Входной поток называют нростейтиим, если: 1) вероятность появления того или иного числа заявок на временном интервале зависит лишь от его длительности и не зависит от его расположения на временной оси (стаационарность входного нотнома), причем заявки поступают поодиночке (ординарность входного нотона) и независимо друг от друга (отнсутставие носледействи* во входном моторе); 2) вероятность реализации отдельного случайного события (появление заявки) на временном интервале малой длительности Ы пропорциональна скс с точностью до бесконечно малой более высокого порядка малости по сравнению с Ь~, т.е.
равна ЛЬЕ+ о(Ьй), где Л > О. 194 6. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ 3) вероятность реализации двух и более случайных событий (появление двух или более заявок) на временном интервале малой длительности ЬГ есть величина о( э1). Отсутствие последействия в определении простейшего входного потока означает, что для любых непересекающихся временных интервалов число заявок, поступающих на одном из этих интервалов, не зависит от числа заявок, поступающих на других интервалах. Несмотря на то, что входкые и выходкые потони многих реальных систем обслулеивакия не удовлетворяют полностью определению простейшего потока, понятие простейшего потока широко используют в теории массового обслулеиванил .
Это обстоятельство связано не только с тем, что простейшие потоки достаточно часто встречаются на практике, но и с тем, что сумма неограниченного числа стационарных ординарных потоков с практически любым последействием является простейшим потоком. В связи с этим рассмотрим основные свойства простейшего потока. Теорема 6.1, Дискретная случайкал величина ц(оо), принимающая значения О, 1, 2, ... и характеризующая при простейшем входном потоке число заявок, поступаюших в систему обслуживания на временном интервале длительности 8, распределена по закону Пуассона с параметром ЛГ. ~ Рассмотрим скалярный случайкый процесс ((Г,ы), 1 Е Т = = [О, оо), с дискретными состояниями (Яь)ь „(т.е.
для любого Фиксированного момента времени г б Т его сечение Я1,ы) является дискретной случайной величиной с множеством возможных значений (Яь)). Пусть его пребывание в состоянии Яь означает наличие в системе обслуживания Й заявок. В соответствии с условиями теоремы и определением простейшего потока случайный процесс ~(1,м), Г Е Т, является марковским однородным процессом с дискретными состояниями, причем 'Смл Ивченко Г.И., Кошшоноо В.А., Коваленко И.Н. 195 В.2.
Простейший ноток для любых целых неотрицательных 1 и у плешиветь веролшносшей перехода системы обслуживания из состояния 5; в состояние Я в любой момент времени 1) 0 определяется равенством 1Л, У=1+1; 1[0, у ~1+1. Поэтому в данном случае система уравнений Колмогорова имеет следуюший вид: ре(с) = -Лро(с) рь+~(Й) = — Лрь+~(1) + ЛрЯ, Й > О, (6.1) й=о; рь(0) = 1пп рь(1) = о++о (О, й) О, (6.2) то приходим к задачам Коши относительно функции ре(1): < ре(1) = -Л1 е(1), р (о) = (6.3) и функций рь(1), Й Е 1Ч: < р',(1) = -Лр„(1)+ Лр,,(1), р„(о) = о.
(6.4) Последовательно решал задачи Коши (6.3), (6.4), в случае простейшего входного потока находим вероятность Р[0(ш) =п) того, что число заявок 0(ш) на временном интервале длительности 1 будет равно и, п = 1,2,...: (Л1)" Р[О(ш) = и)= р„(1) =, е (6.5) где ре(1) — вероятность того, что на временном интервале длительности 1 в изучаемую систему обслуживания поступит й заявок.
А так как из определения 6.1 простейшего потока заявок следует, что 196 о. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ Соотношения (6.5) означают, что случайная величина п(ы) распределена по закону Пуассона с параметром Лг. в Следствие 6.1. Если входной поток является простейшим, то среднее число заявок, поступающих в систему обслуживания на временном интервале длительности 1, равно ЛГ. < Чтобы определить среднее число заявок, нужно найти математическое ожидание случайной величины п(м). А так как, согласно (6.5), она распределена по закону Пуассона с параметром Лг, то [ХЪ'1) (6.6) Согласно доказанному следствию, параметр Л представляет собой среднее число заявок, поступающих в единицу времени. Позтому его называют инг«енсивнос«лью, или «лог«носг«ью «росс«ейтиеео «о«лома.
Следствие 6.2. Если входной поток заявок является простейшим, то дисперсия скалярной случайной величины п(м), характеризующая рассеивание числа заявок, поступающих в систему массового обслуживания на временном интервале длительности 1, относительно их среднего значения, равно Лг. < Если входной поток простейший,то, согласно (6.5), случайнал величина п(м) распределена по закону Пуассона с параметром Лг. Следовательно, 0(п(м)) = Лг.
Обратим внимание на то, что, согласно (6.6) и (6.7), у случайной величины, распределенной по закону Пуассона, ма тематическое ожидание и дисперсия совпадают. Пример 6.1. В бюро обслуживания в среднем поступает 12 заказов в час. Считая поток заказов простейшим, определим вероятность того, что: а) за 1 минуту не поступит ни одного заказа; б) за 10 минут поступит не более трех заказов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
