XVIII Волков И.К., Зуев СМ., Цветкова Г.М. Случайные процессы (1081434), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Иэ (10.31) имеем БХ(1г' — д,м) = С г(У(йг' — ым) — СХа(1г' г)) — С ~Ям-ъ,м) Подставляя это выражение в (10.32), для 1 = 1, Х. находим Ъ'(1г ', м) — СХо(1гя)— — СВ(1гп1гя — 1) С (1 (Й㻠— !у~") СХа(1гя-1)) ! (10.33) с;(ы) =0(1г;,м)+СИг,(м) — СВ(1гп1гя 1)С '0(~г; мм).
Случайные векторы е;(м), г = 1, Ю. независимы, распределены по нормальному закону с математическим ожиданием М[е;(а~)) = М[п(егьа~)) + СМ[И'г,(ы)) + +СЯ(~г;,йг; г)С 'М[ц(йг; мм)] = 9 и ковариационными матрицами ~.(г) =МНцйги< ) — С11(1г',1г1-1)С 9(~га — 1,~)+СИг1(м)) х х (0(1г',а') — СВ(1гь1г» 1)С г1(~г; ым) +СИгя(и)) ] = =Е„+СЕ(1ы,1~, ьа,о)С + +СИ(1гп1г' — г)С Е„(С ') Н (~г',1гг 1)С . 400 Вопросы и задачи Таким образом, можно записать совместную функцию плотности вероятностей случайных векторов е;(ы), г = 1, Х„и с учетом равенств (10.33) избежать оценивания ненаблюдаемого состояния при решении основной задачи. Тем не менее, мы отказались от такого подхода с тем, чтобы сделать уместным изложение фильтра Калмана. Мы закончвлв изучение методов статистики случайных процессов.
Отметим, что вычислительные аспекты решения рассмотренных задач остались за рамками книги. Однако изложенного материала вполне достаточно для того, чтобы читатель мог самостоятельно применять конкретные вычислительные методы, изучив их в обширной литературе по вычислительной математике. Вопросы и задачи 10.1. Чем вызвана необходимость введения малого параметра в стохастическую модель состояния? 10,2. Пусть бХ(~,м) = Х(~,м) — Хп(г), 1 Е Т, — процесс случайных отклонений для стохастической модели состояния (10.3). 1. Какой стохастической модели состояния удовлетворяет случайный процесс бХ(~,ы), 1 Е Т? 2.
Чему равно математическое ожидание процесса случайных отклонений бХ(~,м), 1 Е Т? 3. Какой математической модели удовлетворяет ковариационная матрица процесса случайных отклонений бХ(1,м), ~ Е Т? 4. Почему процесс случайных отклонений бХ(~,м), ~ Е Т, является гауссовским марковским процессом? 10 3. Пусть случайный процесс Х(~,и) = Хе(1) +бХ(8,~о), ~ Е Т, и вектор+ункция Хо(~), с Е Т, удовлетворяют задаче Коши (10.1), а случайный процесс бХ(~,м), ~ Е Т, — стохастической задаче Коши (10.5), В каких случаях его математическое 410 ш. ОЦ8НИВЛНИК ПЛРЛМКТРОВ ожидание определено на множестве Т(лО единственным образом и может ли он в этих случаях быть стационарным? 10.4.
Сформулируйте условия единственности решения задачи параметрической идентификации стохастической модели состояния, линейной по оцениваемым параметрам. Что можно сказать об условиях единственности решения задачи параметрической идентификации стохастической модели состояния, нелинейной по оцениваемым параметрам? 10.5, Изложите принципиальную схему выбора наблюдаемых переменных при решении задачи параметрической идентификации стохастической модели состояния по данным наблюдений. 10.0. Предположим, что решается задача параметрической идентификации стохастической модели состояния (10.1), (10.5) по данным измерений значений Й наблюдаемых компонент п-мерного вектора состояния в Ж дискретных моментов времени. Какое ограничение должно быть наложено на Ж, если вектор параметров о не выходит за пределы области В С 1ь~? 10.7.
Какие типы моделей канала связи Вы знаете? В чем их принципиальное отличие? 10.8. В чем заключается специфика задачи оценивания неизвестных параметров стохастической модели состояния при наличии случайных ошибок измерений? 10.9. Что называют фильтром Калмана? Опишите принципиальную схему реализации фильтра Калмана. 10.10.
Опишите принципиальную схему решения задачи параметрической идентификации стохастической модели состояния при наличии ошибок измерений. 10.11. Пусть у(и) — ненаблюдаемая случайная величина, которая зависит от наблюдаемого случайного вектора з(ь~). Обозначим через ~р(Х) оценку случайной величины у(м), полученную по данным наблюдений случайного вектора х(ь~), 411 Вопросы и задачи представленным матрицей Х. Докажите, что в смысле метода наименьших квадратов наилучшей оценкой является оценка ~о(Х) = М[у(оз) )Х1 10.12.
Случайный вектор х(ы) распределен по и-мерному нормальному закону с математическим ожиданием т и ковариационной матрицей Е . Пусть р — выборочное среднее наблюдаемого т-мерного случайного вектора у(ы) = Сх(оз) +с(м), где С б М „(К) — известная матрица, а ошибка измерения с(оз) не зависит от х(м), распределена по тп-мерному нормальному закону с нулевым математическим ожиданием и ковариационной матрицей Е,.
Докажите, что наилучшая в смысле метода наименьших квадратов оценка х для случайного вектора х(оз), полученная на основе измерений значений случайного вектора у(м), имеет вид х =ш +(СЕ ) (СЕ С +Е,) '(р — Ст ). 10.13. 11усть х(м) и у(ь) — случайные векторы, распределенные по и-мерному и пз-мерному нормальным законам соответственно. Докажите, что всегда можно найти матрицу С б М (И) и гп-мерный случайный вектор с(м), распределенный по нормальному закону с нулевым математическим ожиданием, такие, что у(ь) = Сх(м) +л(оз), где е(оз) не зависит от х(оз). (Этот результат позволяет свести ряд практических задач к задаче 10.12).
10.14. Для математической модели < Х(Г,+воз) = ФХ(йььэ)+Ги(1;)+а,(оз), з = 1, Ю, У(1,, ы) = ЯХ(ГЬ ~о) + гл(оз), 1 = 1, 1Ч, полагая, что функция и(1), 1 Е Т, известна, докажите, что х(г+,) = Фх(г,)+ ГиЯ+ к(1,)(ъ'(1,) — Ях(г;)), !а. оцкнивлние пл рА метров где У(~,) — реализация случайного вектора У(1;,ь~), а матрица К(С;) определена в 10.6. У к аз а н и е: обратите внимание на то, что каждое из матричных уравнений, входящих в рассматриваемую математическую модель, при стандартных предположениях относительно случайных векторов с компонентами е,(а ) и бя(ь~) практически идентично соответствующему матричному уравнению в задаче 10.12. 10.15. Пусть математическая модель в задаче 10.12 имеет следующий вид: < я;+1(м) = ох;(м)+е;(м), й= 1,2%, рл(м) = х;(м)+бч(м), 1= 1, 2Л, где скалярные случайные величины е;(ь~) и 0,(м) независимы как по отношению к скалярным случайным величинам я,(м), так и между собой, распределены по нормальным законам с нулевыми математическими ожиданиями и дисперсиями пз, п~з соответственно.
Полагая, что параметры о, пз и неизвестны, докажите, что их оценки по данным наблюдений Узщ = (у;)Я могут быть определены как координаты точки максимума функции А(о,<т~,а„~ Уз1ч) = М!п(аз+ (1+ о~)багз) + М ч яви 1 У к аз ан не: воспользуйтесь схемой рассуждений из замечания 10.3. Приложение 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Применение теории вероятностей базируется на понятии случаймово исвьивпмма, т.е.
такого эксперимента или опыта, результаты которого нельзя предсказать и~ходя иэ условий его проведения. Отказываясь от прогнозирования результатов конкретного испытания, теория вероятностей выявляет и исследует закономерности, возникающие при многократном проведении случайного испытания. Отметим, что во многих практических ситуациях оценка серий испытаний куда более важна, нежели оценка одиночного испытания.
Из сказанного следует, что при построении вероятностной модели исследователь всегда предполагает, что условия проведения одиночного испытания могут быть воспроизведены сколь угодно раз. Конкретные результаты проведенного случайного испытания называют его поводом. Эти результаты на практике могут, например, выражаться определенным сочетанием кз; чественных факторов или значением измеряемых параметров. Важнейший принцип теории вероятностей состоит в спзппзпс~апчесмой успзойчпвоспзп часпзопз возможных исходов испытаний.
Под этим понимают то, что при неограниченном возрастании количества случайных испытаний доля испытаний, приведших к заданному исходу, в ряду всех проведенных испытаний стабилизируется около некоторого предельного числа. При построении вероятностной модели выделяют такой набор исходов данного случайного испытания, который удовлетворяет двум условиям.
Во-первых, при проведении случайного испытания должен наступить один из исходов в выбранном наборе исходов. Во-вторых, все и~ходы в наборе являются взаим- 414 ИРилОжение ь ОснОВы теОРии ВеРОЯтнОстей но исключающими, т.е. случайное испытание не должно завершаться одновременно двумя исходами. Исходы в таком наборе называют элементпарными исходами или элементпарными событпиями, а всю их совокупность — простпранстпвом элементпарных исходов" (простпранстпвам элементпарных событпий).
Пространство элементарных событий принято обозначать через Й, а элементарные исходы — через ш (возможно, с дополнительными индексами). Часто об элементарных событиях говорят как о неделимых, подразумевая под этим следующее. Если в результате проведения случайного испытания могут наступить исход А и исход В, то в качестве исходов можно рассмотреть следующие: АВ (оба исхода наступили одновременно), АВ (наступил исход В, а исход А не наступил) и т.д. В результате множество возможных исходов дробится, делится.
Когда мы охватим все мыслимые варианты завершения случайного испытания и зти варианты не делятся в указанном выше смысле, то мы получим пространство элементарных исходов. Важнейшим в теории вероятностей является понятие события, которое отождествляют с некоторым подмножеством пространства элементарных событий.
Наступление события в результате проведения случайного испытания равнозначно тому, что зто испытание завершилось одним из элементарных исходов, входящим в указанное множество. Здесь событие— это совокупность возможных вариантов завершения случайного испытания, значимых с точки зрения исследователя. В некоторых случаях термину „событие" придают более содержательный смысл, связывая его с конкретными особенностями проводимых случайных испытаний. Тогда его отличают от соответствующего множества в пространстве элементарных исходов, которое в таком случае называют харантперистпичесним мнохсестпвом событпил.
'Иногда термином „исход" обозначают не вообще любой возможный вариант завершения испытания, а именно элементарный исход, т.е. один из взаимоисключающих вариантов. 415 Определение П1.1. Пусть П вЂ” некоторое множество.
Некоторое семейство А подмножеств из П называют о-о янеброб, если: а) оно содержит множество Й, т.е. Й Е А; б) если В Е А, то и его дополнение В принадлежит А; в) если Вь Е А, Й Е И, то 1.) Вд ЕА и а=1 ) )ВдЕА. я=1 *А.Н, Колмогоров (1903 — 1987) — выдающийся советский математик, имеющий фундаментальные результаты в теории функций, теории вероятностей и ряде других областей современной математики. Поскольку события — зто подмножества пространства элементарных событий, с ними можно выполнять операции теории множеств, однако в теории вероятностей эти операции называются по-другому. Пересечение множеств превращается в произведение событий, объединение множеств — в сумму событий, дополнение множества в пространстве элементарных событий — зто противоположное событие, пустое множество обозначает невозможное событие, а все пространство элементарных событий есть достоверное событие.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
