XVIII Волков И.К., Зуев СМ., Цветкова Г.М. Случайные процессы (1081434), страница 52
Текст из файла (страница 52)
С„(ь)) называют также совмесспной функцией раснределени* и совместпной нлосаноспзьсо раснределенил случайных величин ~~(ь~), ..., („(ы). Если задана функция распределения или плотность распределения случайного вектора Ям), то говорят, что для этого случайного вектора задан занан раснределенил случайного венснора (случайной величины при и = 1). Закон распределения случайного вектора Ям) = ф(м) ... С„(ь~)) называют также совместным эаноном раснределени* случайных величин ~~(м), ..., С„(ь). Определение П1.11.
Случайные векторы ~ь(м), /с = 1, М, заданные на одном и том же вероятностном пространстве (Й,А,Р), называют независимыми в совонунноспзи, если функция распределения Р~(хм..., х„) блочного случайного вектора((м) = (~~(м) ... С„(ь) ) имеет вид ~с(хс~ .~хи) — П~(~,(хь)~ где Р~„(хь), /с = 1, Ю, — функции распределения случайных векторов Сь(ь~). Если Сь(м), х = 1, М, — случайные величины, то говорят о неэависимых случайных величинах. 422 пРилОжение ь ОснОВы теОРии ВеРОятнОстей Определение П1.12. Пусть п(ы) — в-мерный, с(ы)— т-мерный, С(ы) = (Н (ы) е (ы)) — (н+т)-мерный случайные векторы с плотностями распределения (возможно, обобщенными) Д(х), Яу), Д(х,у)..Условной плотностью расиределенил (условным законом раснределенил) случайного вектора п(ы) при условии, что случайный вектор е(ы) принял некоторое фиксированное значение у е К", называют функцию ~~(х, у) Л(у) Пусть на вероятностном пространстве (О,А,Р) задан и-мерный случайный вектор, множество возможных значений которого включается в множество о С К".
Если р: 5-+ К вЂ” измеримая (относительно борелевской алгебры % в К") векторная функция, то определена композиция функций я(м) = <р(С(м)), которая является измеримой функцией на измеримом пространстве (11,А) и, следовательно, представляет собой т-мерный случайный вектор. Этот случайный вектор называют векторной (скаллрной при т = 1) функцией случайного вектора (случайной величины при и = 1) с(ы).
Отметим, что в качестве измеримой функции ~р(х) можно взять любую непрерывную или кусочно непрерывную векторную функцию. Измеримыми также являются интегрируемые функции. Определение П1.13. Математическим ожиданием п-мерного случайного вектора С(о~) = ф(ы) ... С„(ы)) с функцией плотности вероятностей Ях) = Яхм...,х„) называют п-мерный вектор М[Ды)] Ь х~~(х) дх, компонентами которого являются числа 423 Числа М[Сь(ьт)], о которых говорится в определении, представляют собой математические ожидания координатных случайных функций Яьт).
Отметим, что все или часть математических ожиданий М[сь(м)] будут не определены, если представляющий их несобственный интеграл расходится. Тогда и математическое ожидание случайного вектора не определено. Так как математическое ожидание случайного вектора составляется из математических ожиданий координатных случайных функций, свойства математического ожидания достаточно описать лишь в одномерном случае. Пусть Дьт), тт(ьт) — случайные величины, имеющие математические ожидания, а о,,б Е И вЂ” произвольные постоянные. Тогда: а) если С(ьт) > О (т.е. принимает только неотрицательные значения), то М[С(ьт)] > О; б) М[ос(ьт) +,Зп(м)] = оМ[с(ьт)]+,ОМ[п(м)]; в) )М[с(ы)]) < М[[Дьт)[]; г) если С(а), О(~т) — независимые случайные величины, то М[(~(ьт)ц(а')] ™альт)]М[т~(ьт)]; д) (М[с(ьт)т~(ьт)]) ( М[~~(ы)]М[О~(м)]. Понятие математического ожидания является одним из основополагающих в теории вероятностей.
Рассматривая математическое ожидание части компонент случайного вектора с использованием их условной плотности распределения вероятностей относительно других компонент, приходим к понятию условного маиземаизичесного ожидания. Например, пусть т~(ьт) — п-мерный, е(ь ) — тп-мерный случайные векторы и т'(х~у) — условная плотность распределения п(м) при условии, что е(ьт) принял значение у.
Тогда значением М[ц(ьт) ~ у] условного маизематничесним ожидания случайного вектора О(ьт) при условии е(м) = у называют т-мерный вектор М[п(и) [у] = х т'(х [у) Их. 424 ПРИЛОЖЕНИЕ к ОСНОВЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Значение условного математического ожиданияМ[я(м) ~ у] является некоторой функцией (Р(у) переменного у, меняющегося в области значений случайного вектора с(м). Функцию у(с(м)) = = М[Н(м) ~ с(м)) от случайного вектора с(ь() называют рсловиым маиземоизичесиим оз(сидаиием случайного вектора ц(ь() при условии с(и). Определение П1.14.
Дисперсией Щ(м)) скалярной случайной величины С(а) называют математическое ожидание случайной величины фь() — М[с(ь()]), т.е. число 2 Щ(м)] Ь М[(с(м) — М[с(м)])~]. Для случайной величины С(ы) с плотностью распределения Д(л) (возможно, обобщенной) дисперсия может быть вычислена интегрированием: Непосредственно из определения и свойств математического ожидания получаем свойства дисперсии: а) О[с(и)) ) О; б) лл[ас(ю)] = а~Щ(ы)), а Е К; в) Пфь() +а] = Пфь~)), а Е И; г) если случайные величины С(~а) и о(м) независимые, то В[4(м) + я((ли = ХЭ[4(ы)]+ П[72(с4]; д) лл[а) = О, т.е. дисперсия случайной величины, имеющей постоянное значение (детерминированной величины), равна нулю; е) Р[с(м)] = М[с~(м)) — (М[с(м)))~; Определение П1.15.
Ковариацией двух случайных величин С(ы) и я(ы) называют число со~г[((и), т)(~а)) 4 М [(с (ь~) — М[с (м)]) (я(ь~) — М[о(ь()))) . 425 Если для случайных величин С(ьт) и т1(ьт) задана совместная плотность РаспРеДелениЯ Д~ч(х,1т), то коваРиациЯ этих слУчайных величин может быть вычислена интегрированием: сочт[с(ьт), т1(ьт)] = (х — М[с (ьт)]) (у - М[т1(~т)]) ф,(х, у) ИхЫу.
Ковариация имеет следующие свойства: а) сочт[с(ьт),т1(ьт)] = сочт[т1(ьт),Дьт)); б) сочтЯ(ьт),Дьт)] = О[С(ьт)); в) если случайные величины С(ьт) и т1(ю) независимые, то сочтЯьт), т1(ьт)] = О; г) сочт[Дьт), т1(ьт)] = М[с (ьт) т1(ьт)] — М[с (ьт)) М[т1(м)]; д) 2соът[Дьт), тт(ьт)) = Щ(ьт) + т1(ю)) — Щ(ьт)] — В[т1(ьт)]. Определение П1.16. Хоэффициентттом корреляции скалярных случайных величин С(ьт) и т1(ьт) называют число сочт[С (ьт), т1(ьт)] тпГтИ~~)~ Две случайные величины С(ьт) и т1(ь) называют неноррелированными, если р[С(ьт),т1(ьт)] = О, или, что то же самое, соът[с(ьт), т1(ю)] = О.
Коэффициент корреляции двух скалярных случайных величин обладает двумя основными свойствами: а) [р[С(ьт),т1(ьт)]] < 1; б) ~р[С(ьт),т1(ю))) = 1 тогда и 'только тогда, когда т1(ьт) = = альт)+13, где о,13 б й, причем о > О при р[4(~т),т1(ьт)] = 1 и о ( О при р[4(ьт), т1(ьт)] = — 1. Определение П1.17. Ковариационноб маозрицеб сл1тчабново вентттора с(ьт) = (ст(ьт) ... С„(ьт)) называют матрицу сочт[с(ьт)] = (сочт1тс;(ьт),с (ьт)]). 426 пРИЛОЖеНиЕ к ОСНОВЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕИ Итак, ковариационная матрица и-мерного случайного вектора представляет собой квадратную матрицу порядка и из ковариаций пар координатных случайных функций.
Из свойств ковариации двух случайных функций вытекают свойства ковариационной матрицы: а) соифм)) — симметрическая неотрицательно определенная квадратная матрица порядка и; б) если т~(ы) = АС(~о) +Ь, где А Е М „(И) — фиксированная матрица, Ь Е И вЂ” фиксированный вектор, то сои[у(м)] = = Асоъ~фм)А . Определение П1.18. Хоракпзерисгпической функцией и-мерного случайного вектора С называют функцию у~(Л) Ь М[ехр(4Л с(ь~))5, где Л Е й", а г — мнимая единица. Для случайного вектора С(м) с плотностью распределения ~~(х) (возможно, обобщенной) характеристическая функция может быть представлена интегралом: т.е. характеристическая функция является изображением знспоненцнального интегрального преобразования Фурье.
Значит, в классе функций, интегрируемых с квадратом, существует взаимно однозначное соответствие между характеристическими функциями и плотностями распределения. Отметим некоторые свойства характеристической функции: а) ~ рс(Л) [ < 1; б) р,(О) =1; в) аь( — Л) = Р*(Л), т.е. при изменении знака аргумента значение характеристической функции меняется на комплексно сопряженное; 427 д) если п(м) = Ас(ю) + Ь, где матрица А Е М „(К) и вектор Ь б К фиксированы, то у„(р) = екр(ць Ь)~д~(А р); е) если случайные величины ~е(и), Й = 1, М, независимы в М совокупности, т1(са) = 6(~)+ ...+(;,(м), то у„(Л) = П ~р~,(Л), е=1 где Л = (Лд ...
Л„) . Приложение 2. МАТРИ'4НАЯ ЭКСПОНЕНТА Рассмотрнм линейное пространство М„(К) квадратных матрнц порядка и, в котором выбрана некоторая кольцевая норма )! ~(, т.е. такая норма, что для любых матриц А, В Е М„(К) выполняется неравенство )(АВ(~ < 'йАй'йВ(). В качестве такой нормы можно взять ееклидову норму, определяемую для матрнцы А = (а! ) равенством (П2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
