XVIII Волков И.К., Зуев СМ., Цветкова Г.М. Случайные процессы (1081434), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Ц Введение нормы позволяет в линейном пространстве М„1К) ввести сходнмость последовательностей н рядов. Последовательность матриц 1А„) С М„(К) сходится по норме )! )! к матрнце А Е М„(К), если числовая последовательность йА„— А)~ является бесконечно малой, т.е. 1пп ()А„— А!) = О. Аналогично ь-+ сю вводится понятие сходнмостн матричного ряда 1определення н основные свойства последовательностей н рядов в нормированных пространствах изложены в [1Х)). Отметим, что сходнмость последовательностей н рядов в конечномерном нормированном пространстве на самом деле не зависит от выбора конкретной нормы.
Прн любом выборе нормы последовательность (А„) матриц А„= (а;" ) сходится к матрице А= (и; ) тогда н толь(ь) ко тогда, когда прн любых фиксированных г, ! = 1, п числовая последовательность (а, ) сходятся к а; прн п-+ оо. Удачный (и) выбор нормы позволяет упростить анализ последовательностей н рядов — н только. В частности, именно зтнм объясняется требование, чтобы норма была кольцевой.
429 Для любой матрицы А б М„(К) можно рассмотреть ряд (П2.2) который сходится по норме при любом выборе А, причем абсолютно [1Х], так как Определение П2.1. Ыанзринноб энснонентноб матрицы А называют матрицу е", равную сумме матричного ряда (П2.2). (2 11 Пример П2.1. Пусть А = ~ ). Непосредственной проверкой можно убедить~я в том, что А"= 9 2ь, йс И. Поэтому Матричная экспонента позволяет определить матричную функцию еА', которая действительному числу 1 б К сопоставляет матричную экспоненту матрицы А1=1А. Отметим, что часто именно эту матричную функцию и определяют как мэ; тричную экспоненту, так как с ней связаны наиболее важные приложения матричной экспоненты. Рассмотрим свойства матричной экспоненты.
Свойство П2.1. Если матрицы А, В Е М„(К) являются коммутирующими, то А+В А В 430 ПРИЛОЖЕНИЕ 2. МАТРИЧНАЯ ЭКСПОНЕНТА Ч Используя определение матричной экспоненты, можем запи- сать: Изменим порядок суммирования с помощью замены р 4 й+»в, «Ь к.
Из этих соотношений получаем й = «и»п =р — «, откуда с учетом неравенств й > О, тп > 0 получаем «> О, р — «> О. Значит, двойное суммирование должно идти по таким парам (р, «), для которых верны указанные два неравенства, т.е. мы можем записать ""=ЕЕ, =ЕЕ, „, = ОО я —,А»В" ». (П2.3) , Й,, 4(р — «)1 Так как матрицы А и В коммутирующие, то и их любые степени Ае и В» являются коммутирующими.
Поэтому У (А+В)" =~~~ ~,,А»В' '. , , «'( - «)1 (П2.4) Сопоставляя (П2.3) с (П2.4), заключаем, что еле =~~~ —,(А+В)е= ел+ . й А н 1 я ор. ~ Матрицы А и -А являются коммутирующими. Поэтому, согласно свойству П2.1, А -А А+1-А) А-А н Свойство П2.2. Для любой матрицы А Е М„(И) ее матричная экспонента е" является невырожденной, причем обратная матрица равна е А, т.е. (е") 1 = е А.
431 где 9 — нулевая матрица. Легко проверить непосредственно по определению матричнов экспоненты, что ен =1 — единичная матрица. Поэтому еле А = !. Но точно так же е Аел = !. Значит, согласно определению обратной матрицы, ел и е А являются обратными друг к другу. В заключение отметим, что матрица, имеющая обратную, невырождена. ~ Свойство П2.3. Для любой матрицы А Е М„(Ж) Ас А Ай А|д й ° Согласно определению матричной экспоненты, имеем А" !" а=о д „, д Ааеа Дае" ' (А~)" ' — еА' = — ~~~ — = ~ = А ~ — = Аел'. й й „й1 (/с — 1)! „(/с — 1)! Аналогично получаем равенство — е = е А.
В А8 АФ й Свойство П2.4. Для любой матрицы А Е М„(Ж) решение однородной задачи Коши Х (!) = АХ (!), Х(0) =Х (П2.5) имеет вид Х(е)=е~ Хе, !)О, (П2.6) т.е. матрица еА' является резояьвеиозоб, или нормированной фунда,ментальной матриией этой задачи Коши. В силу равномерной (по е) сходимости этого ряда на любом отрезке числовой оси имеем 422 ПрИЛОжКНИК г, Млтки ЧНлЯ ЭКсПОНКНтл 4 Ясно, что Х(О) =с~Хе= УХе = Хе. Согласно свойству П2.3, (е ссХо) = — елс Хо = А(елсХо) (П2.7) и ~а Т аким образом, ел'Хе является решением задачи (П2.5), что и требовалось доказать. > Свойство П2.5. Для любой матрицы А Е М„(К) и п-мерной непрерывной на (О, оо) вектор-функции В(с) решение неоднородной задачи Коши Х(~) = АХ(~) + В(~), Х(О) = Х может быть представлено в виде Х(8) = ел'Хе+ ели сВ(т) Ит, ~ > О.
(П2.9) < Представление (П2.9) вытекает из метода варианте востиолкных для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Поэтому доказательство сформулированного свойства можно было бы провести с помощью этого метода. Однако в данном случае проще проверить, что правая часть в (П2.9) удовлетворяет задаче Коши. Действительно, начальное условие выполнено и — Х(~) = — елсХе+ — сс елсс '~В(т) с~т = сЮ сй см ./ о с Ас -Ат Ас с" -Ат АеАсХе+ ( сАс) е-АтВ(т) Ат+еАс е-АтВ(т) сст = Аел'Хе+ А ели >сВ(т) вт+е~'е ~'ВЯ = АХ(й) +В(с). 6ь о 433 Свойство П2.8.
Пусть Х(~) является решением задачи Коши (П2.5) с матрицей А = (а, ) Е М„(К) и вектором начальных условий Хе с неотрицательными компонентами. Тогда для того чтобы все компоненты функции Х(1) были неотрицательными при любом 1 > О, необходимо и достаточно, чтобы все недиагональные элементы а; матрицы А были неотрицательными, т.е. (П2.10) М Обозначим В(й) = (Вб(1)) Ь е~', ХЯ = (х1(1) ... х„(1)), т Хе = (хге ... х„е) и воспользуемся представлением решения задачи Коши (П2.5) в виде (П2.6). Тогда хь(1) = ~~~,В (г)х е, й=1, тю1 А так как х е, т = 1, о, — произвольные неотрицательные числа, то очевидно, что функции хь(1), Й = 1,п, являются неотрицательными при ~ > 0 тогда и только тогда, когда при 1 > 0 являются неотрицательными функции Вь„,(г), й, пг = 1, в.
Выберем произвольное е Е (О, 1) и столь малое положительное число гы что (П2.11) Тогда для любых неотрицательных г < гг с учетом определения евклидовой нормы матриц имеем оценку БАЦ = )Ф~(~Ай < е и с точностью о(е) получаем 1+ агг1 а1г1 ... а1„г аггг 1+аггг .. аг г е 1„+А1= п„11 а„г1 ... 1+ а„„8 424 ПРИЛОжнНик г. Мдтриуидя ЭКСПоНННтд имеет лишь неотрицательные элементы, так как является про- изведением конечного числа матриц с неотрицательными эле- ментами. ~ Отметим, что матричная экспонента, как резольвента соответствующей задачи Коши, может быть найдена с помощью любых методов решения задач Коши, в том числе с помощью операционного исчисления [ХЦ.
Переходим к рассмотрению линейных нестационарных моделей состояния. Пусть Х(г) и В(г) — н-мерные вектор-функции, а А(1) — матричная функция порядка и скалярного аргумента 1. При анализе задачи Коши Х(1) = А(1)Х(г)+ В(1), (П2.12) Х(0) = Х по аналогии со скалярным случаем возникает естественное предположение относительно ее резольвенты: В(1,л) = ехр А(г) Нт (П2.13) так как в скалярном случае фундаментальная матрица может быть записана в виде Х(1) = ехр А(г) йт о Следовательно, при малых неотрицательных значениях 1 условие (П2.10) является необходимым и достаточным условием неотрицательности компонент матричной экспоненты ел'.
Если ~ не является малым, то выбираем целое положительное число М столь большим, что 11 — — 1/Ж будет удовлетворять условию (П2.11). По тогда при выполнении условия (П2.10) матричная экспонента е"Ни имеет лишь неотрицательные элементы. Следовательно, и матричная экспонента А~ ( Анм)м 435 а резольвента есть нормированная фундаментальнал матрица, т.е. В(1,л) = Х '(л)Х(1). При этом верны равенства В(0,0) =ехр(6„) = 1„, В(1,0) = АЯВ($,0). Заметим, что В(й,О) = 1пп— 1 ь-+о Ь с+я с ехр А(г) йт+ А(г) Нг — ехр А(т) Иг о о При 6 0 можно считать, что е+Л Кроме того, если при ~ > О имеет место равенство с А(~) А(г) йт = А(г) юХг АЯ, (П2.14) о о то, воспользовавшись свойством П2.1, получаем 1 = 1пп— л-+о 6 ехр А(г) йт — ехр А(т) Иг о а 436 ПРИЛОЖЕНИЕ 2. МАТРИЧНАЯ ЭКСПОНЕНТА Таким образом, если выполняется условие (П2.14), то резольвента задачи Коши (П2.12) определена равенством (П2.13), а ее решение может быть представлено в виде Х(1) = В(1,0)Хе+ В(1,т)В(т)Ит.
о (П2.15) Па практике условия (П2.14), как правило, выполнены, но их проверкой не стоит пренебрегать. Пример П2.2. Рассмотрим задачу Коши (П2.12) при о = 2, /1 211 В(1) = 0 и А(1) = ~ !. В этом случае с В(1) Й А(г) Иг = о При этом и Р(1) А(Ц = А(1) Р(1) = е' ап1 — Фе " Введя матрицу с(1) Й ~ ) = — В(1), ~/1 1'1 (,0 -1,) и равенство (П2.14) не выполняется. Действительно, непосредственной проверкой легко убедит ься в том, что в данном случае 437 получим ~и ' !2ь+1 ехр(П(Ф)) = р —, = ~~~ —,12+ ~), с(8) = й! „(2й)! (2й+ 1)! =; "",' ~л(!,о). у Здесь приведены лишь минимально необходимые сведения о матричной экспоненте и ее приложениях. Более подробную информацию можно найти в специальной литературе'.
'Сме Беллмен Р., а также Директор С., Рорер Р. СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТ,У РЫ Учебники и учебные пособия Вентиель А.Д. Курс теории случайных процессов; Учеб. пособие для вузов. Мс Наука, 1975. 320 с. Вентиель ЕС. Теория вероятностей; Учеб. для втузов. М.: Наука, 1969. 576 с. Гнхман И.И., Скороход А .В. Введение в теорию случайных процессов: Учеб. пособие для вузов. М.: Наука, 1977. 568 с. Ивченко Г.И., Канинанов В.А., Коваленко И.Н. Теория массового обслуживания: Учеб, пособие для вузов. Мс Высш.школа, 1982.
256 с. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики: Учеб. пособие для вузов. Мс Наука, 1989. 608 с. Пугачев В.С. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособие для втузов. Мс Наука, 1979. 496 с. Пугачев В.С., Снннимн И.Н. Стохасгические дифференциальные системы." Учеб, пособие для втузов. М.: Наука, 1985. 560 с.
Случайные функции: Учеб. пособие / Тескнн О.И., Цветкова 1'.М., Козлов Н.Е.„Пашовннн Е.М. Мс Изд-во МГТУ, 1994. 80 с. Задачники Емельянов Г.В., Скшновоч В.П. Задачник по теории вероятностей и математической статистике. Лл Изд-во ЛГУ, 1967. 330 с. Прохоров А.В., Ушаков В.Г., Ушакоо Н.Г. Задачи по теории вероятностей. Мс Наука, 1986.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
