XVIII Волков И.К., Зуев СМ., Цветкова Г.М. Случайные процессы (1081434), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Следовательно, Е.,Е,-'= ~Е.„Е Е„,Е ). М [а(и) ( ~3(ю) = У, .~(ы) = е,) = + (л рь~' е,е,')(л ~) = =т,„+ЕлЕ '(У вЂ” тл)+Е Е '(е — т )= = т + М[а(м) ) ~3(м) = У1+М[а(ы) )-у(~о) = е). Обратимся теперь к математической модели (10.20). Пусть < У'(-) ='(У(1,-), У(1., ),, (1„-)), Х(1+ 1$() Ь М[Х(1+ым) ) У(м)<. ( ) Для завершения доказательства достаточно воспользоваться теоремой 10.3 и замечанием 10.1. Действительно, 400 ю. оцкнинлник плрлмктров Из теоремы 10.3 следует, что У; ~ (ы) и У(~) Ь У(1,,м) — М[У(1;,~) / У; ~(м)) = = У(1;,м) — М[ЯХ(1;,и) + и;(м) (У, ~(со)] = У(1;,м)— — ЯХ(а/а — 1) = Я(Х(1;,м) — Х(111 — 1)) + 0;(м) (10.22) независимы. Величину У;(м) называют меелзмов оиемивамил. При этом У(~) = ЯХ;(м) + 0;(ы), Х;(ы) = Х(1;,м) — Х(1~1-1).
(10.23) В соответствии с исходными допущениями относительно математической модели (10.20) случайные векторы Х(1,~мы), У(1; ~,м), У(1;,ь~) имеют нормальные законы распределения. При этом, согласно (10.21), Х(1+1(1) = М[Х(1;~ ым) )У; ~(м), У(1,,м)]. А так как из (10.22) следует равенство У(1;,ь~) = У;(м)+ М[У(1;,м) (У;,(ы)], то с учетом определения и свойств условвоео математического ожидания имеем Х(1+1~1) = М[Х(1~ыь) (У, ы(м)] + +М[Х(1~ ыы) (У;,(й/)] + М[Х(1;.~ ыы)]. (1024) Согласно (10.20), (10.21), получаем М[Х(1,+во~) / У,,(м)] = М[ФХ(1;,ьз)+с;(м) (У, ~(и)] = = ФМ[Х(1;,м) (У; ~(сэ)] = ФХ(1/г — 1).
(10.25) 401 10.5. Фильтр Калмама Для определения условного математического ожидания вектора Х(1;+1,м) относительно т';(м) воспользуемся теоремой 10.3 и замечанием 10.1: М[Х(1,+„.))У)( )] =М[Х(1,+„.))+ +Е РЕ '(У(С;,м) — М(У(1;,м) !У- (м))) = = М(Х(1,„, )1+Ххр1: ~1;-(~) (10'2") где, согласно (10.20), (10.22), (10.23), для ковариационной матрицы Е т. имеем к~; а (х(1;„, );у;( )) = = М[(ФХ(1,,м) + е;(ы) — ФМ(х(1;,и)]) ЯХ;(со) + п,(м)) ] = = М[(Ф(Х(1)1 — 1) +Х (ы)) +с;( ) — ФМ(Х(Ему))) х х (ЯХ;(ы)+и;(ы)) Я = ФМ[Х,(м)Х;(м)ЯЯ, так как Х(1)1-1) и Хф) независимы. Аналогично с учетом независимости п,(м) и Х;(ь~) находим Еу сои[1 ~ (м); Ъ';(~ ~)) = М [(ЯХ;(с ) + 0,(~ ~)) х х (ЯХ;(ь~)+п(ы)) ) = ЯМ[Х;(м) Х; (са)~ Я +Ел.
Таким образом, если Р(г) = М [Х;(м) Х; (ь~)~, (10.27) К() =~„-~-,-'=Ф.(')а'(а~('Я'+~,) ', то, подставляя (10.25) — (10.27) в (10.24), приходим к рекуррент- ным соотношениям (10.28) А02 10. ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ с начальным условием Х(111 — 1) ~ = п|о. В (10.28) входит матрица К(1), которая, согласно (10.27), определена через ковариационную матрицу Р(1), Эту матрицу нам и нужно найти для завершения процедуры оценивання. Для достижения этой цели из первого уравнения (10.20) вычтем первое уравнение (10.28) и с учетом (10.23) получим Х;+1(в~) = ФХ;(ы) +с;(ы) — К(() У(ы). Но, согласно (10.23), имеем У;(ы) = ЯХ;(в~) + ц,(м). Поэтому и в соответствии с (10.27) для ковариационной матрицы Р(1) находим Р(1+ 1) = М(((Ф вЂ” К(1)Я) Х,(м) + е;(ы) — К(г) 0(м)) х х ((Ф вЂ” К(')О)Х( )+с,( ) — К(г)Ъ(ы)) 3 = =( -К(1)а) '(1)( -К(ж) + .— (1)1),К В где К(1) определено равенством (10.27) и Р(1) = Ев.
Таким образом, если У), 1= 1, Ж, — измеренные значения состояния р-мерного случайноео процесса с дискретным временем У(1,ш), 1 е Т<д1 — — (11фы то для оценки состояния Х(1+1 ) 1) Ь М [Х (1+д, ы) ) У(1д, сэ) = х -, 1' = 1, 1 ~ 403 10лк Фильтр Калмаиа окончательно получаем лля е = 1, % Х(1+1)1) = ФХ(г)1 — 1)+К(1)(т'; — 1~ХЯг — 1)), Х ( 1 ) О) — пее К()= И()О'(дР()д'+1:„) ', Р(1+1) = (Ф-К(г)О)Р(е)(Ф-К(а)Я) + +Е, — К(е)ЕоК (1), (10.29) Р(1) = Ео Пример 10.3. Пусть в задаче оценивания (10.20) Ф=, Е,= з, пьо=, Ео= Я = (1, О), Е„= 1, (У;1'У, — зкспериментальные данные.
Пола- гая 1= 1 в фильтре Кзлмана (10.29), вычисляем ." =(' ')("':;)(') х 1+(1 О) 1о = 1+а71е 'Смл Оеи1ием К.Ю. Совокупность рекуррентных соотношений (10.29) для оценки состояния объекта по данным наблюдений, содержащим случайные ошибки измерений, известны в литературе" как таеорема Калмана или 4иееьтпр Калмана. 404 10. ОЦЕНИВАНИЕ ПАРА МЕТРОВ и находим оценку Х(2~1) = + 1 + '„ У1 — (1 О) (Уо — нож)ооо тв1о+ пгго+ 1+ оо тго Полагая 1= 2 в фильтре Калмана (10.29), вычисляем Р(2) =,1 1 — '+ ~ (1 ) 01' — 1+ооо о 0 = 1+ой 1+о1а К (2) = Ф Р(2) Я (Я Р(2) оу + Е„) п1о+'т1(1+о'го) 1' 1 '1 ~багге+ (1+ ет(о) (1+ <тгг) 1 О! и находим оценку Х(ЗР) = ФХ(2Р)+К(2) (1' — С~Х(2!1)) = ... Ф Из проведенных рассуждений следует, что рекуррентные соотношения (10.29), определяющие фильтр Калмана, остаются справедливыми и в случае, когда матрицы Ф, Я, Е„Е„зависят от времени, т.е.
при Ф =Ф(1;), Я =Я(1,), Е, = Е,(11), Е„= Ео(1;), 1=1,%. В заключение отметим, что мы рассмотрели лишь основы теории фильтрации. Для более серьезного изучения этой теории необходимо обратиться к специальной литературе'. 'Смл Болокришнон А.В., также Ярлыков М.С., Миронов М.А. и Пугачев В.С., Синицын И.Н. !0.6. Оиеннввнне нврвметров прн наличии ошибок намерений 405 10.6. Оценивание параметров при наличии ошибок измерений Вернемся к математической модели (10.18), в которой неизвестные параметры представлены вектором о Е Р С К~, матрицей С Е Мьь(К) и ковариационной матрицей Е Е Мьь(К), где lс — число наблюдаемых переменных состояния Х(1,ьт), 1 Е Т1к1 = (1,)~, т,е.
размерность вектора Ъ'(й,эт), 1 Е Т1 1. Итак, рассмотрим математическую модель У(Г;,м) = СХо(1;) +С6Х(1;,ш) +т1(1ош), т = 1, Х, т (10.30) ЮХ(1пьт) = В(С;,1т 1)БХ(1, Мш)+И;(ш), т'=1, Х, где Хо(1) — и-мерная вектор-функция, удовлетворяющая исходной детерминированной модели состполния (10.1); С 6 Мь„(К)— известная матрица ранга к, причем 1 < к < и; В($,в) — резольвента линейной задачи Коши (10.5); (т1(1;,ьт))~ — независимые случайные векторы, распределенные по к-мерному нормальному закону с нулевым матпематпическим ожиданием и ковариационной матприцей Е„; И';(т) а В(1„в) о(Хо(в),о) Ядто(в,ты). Предполагаем, что п-мерные случайные векторы Ит;(ш), 1= = 1, Дт, независимы, имеют нулевые математические ожидания, а нх ковариационные матрицы определены непосредственно с использованием свойств винеровского процесса: и, где С=ЯД .
406 !о. оикнинлник ллрлмнтров Поскольку случайные векторы Я;(м), г = 1, Д!, определяемые равенствами (10.19), могут быть представлены в виде Я;(о~) = У(~;,м) — СХо(с;) — СБХ1;1, 1=ГУ, являются независимыми и распределены по нормальному закону, то Л1')~,С,Е„) =ПУн(Я1;!!ж,С,Е„), где ~н(Я(;!)о,С,Е„)— / 1 т -1 х ехр~ --~1~;! — СХа(с1) — СБХ1,!) (Е(Сб1; мС,о)) х , (У,, СХ,(,,) СБХ„,)).
Матрицы Е(8,,Ц ыС,о) и 6ХП! вычисляют с использованием фольклора Калиена (10.29), который в данном случае принимает вид БХИ+11 = В(й;+ы Сс) БХ!0+ К(1) (У) — СХ,(й;) — СБХН!), Ха(0) = Ха, БХ<о! = 9, к() =В(~;„,с;) Р(1)Ст(ся (1)с'+Е„) ', Р(1+1) = (В(с;+1,й;) — К(1)С) Р(1) В (1;+1,Ф;) + Е(1;+1,й;,Со), Р(0) = Еа, Е(1;+1,С;,С,о) =СР(1)С +Е„. В соответствии с летиодом .иаксинальноео правдоподобия оценки о, С, Е„неизвестных параметров, представленные вектором о и матрицами С, Ею находят из условия п1ах!пУ(У!о,С,Е„) = !пУ(У!о,С,Е„). а,о,е,~ рлб. Оненнвонне параметров лрн наличии ошибок измерений 407 Задача оцениванил параметров изучаемого случайного процесса имеет единственное решение, если выполнены условия, сформулированные в 10.2, 10.3.
В заключение сделаем следующие замечания. Замечание 10.2. Рассматривая решение задами оцениванил пара,ветров случайного процесса при наличии ошибок измерений, мы умышленно выбрали У в качестве данных наблюдений, чтобы прийти к фильтру Калмана. Если бы мы располагали данными наблюдений, представленными множеством У1у, то для решения основной задачи не было бы необходимости использовать фильтр Калмана, чтобы оценить ненаблюдаемые состояния. Это связано со спецификой данных наблюдений, представленных множеством Цч (см. 0.1). Действительно, в этом случае для любого 1= 2, Ж справедливо равенство М[у(1~ м) [1(1), ° ° ° хб — 1)) = М[у(анин Случайные векторы Я;(м), 1= 1, Х, определяемые по формулам (10.19), независимы и распределены по нормальному закону с нулевым математическим ожиданием и ковариационной матрицей Е(~[а,С)+Е„.
Это позволяет сразу записать нх совместную функцию плотности вероятностпей. Замечание 10.3. В случаях, когда наблюдения зависимы, можно также обойтись без оценки ненаблюдаеных перененных состояния. Действительно, независимые случайные векторы Я;(ы), 1= 1, Х, определяемые по формулам (10.19), используются лишь для того, чтобы записать нх совместную функцию плотности вероятностей в виде произведения функций плотности вероятностей нормального закона распределения, зависящих от неизвестных параметров. Но независимые случайные векторы для этой цели можно получить и другим способом'.
Смл УоИсоо!.К., Уоуоо Я.М. 1994, 1995 408 10, ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ Рассмотрим задачу оценивания (10.30) в предположении, что Ж = 2Ж,. Ее можно переформулировать так, что при этом функцию правдоподобия не изменится. Иэ модели (10.18) получаем Ъ'(Юг; ы ) — Схо(Сг; г) =СБХ(1г; и )+п(1г; ма~), (10.31) У(1г',а~) — СХа(1г1) = СН(ЫАм-г) бХ(Ы-г 'э) + + г1(1г,,м) + С И'г;(а~), (10.32) где 1= 1, Х..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
