XVIII Волков И.К., Зуев СМ., Цветкова Г.М. Случайные процессы (1081434), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Заметим, что детерминированная модель состояния, рассмотренная в примере 10.1, будет обладать устойчивостью к возмущениям входящих в иее параметров, если процесс случайных возлун1енпй ввести аддитивно: = — ах(1,ы) + "Д(1,ы), < Их(1,м) х(О,м) = 1. Но в этом случае интерпретация этих возмущений будет уже иной и может быть связана не с зависимостью значения параметра а от случайных внешних воздействий, а с их непосредственным влиянием на скорость изменения состояния. В общем случае мы должны учитывать возможность как аддитивных, так и мультипликативных возмущений.
Применительно к условиям примера 10.1 это означает необходимость рассмотрения следующей стохастической модели состояния: Их(1,м) = — (а+ 71С1(С,м))х(1,м) + Тз~з(1,м), С > О, х(О,м) = хе(ь), где ~1(1,о~), 1 б Т, — мультипликативное, а (з(1,и), 1 Е Т,— аддитивное возмущения, Детерминированные модели состояния, которые не обладают устойчивостью к возмущениям входящих в нее параметров, требуют специального рассмотрения, выходящего за рамки книги. Для упрощения дальнейших рассуждений ограничимся детерминированной моделью состояния (10.1), обладающей устойчивостью к малым возмущениям вектора параметров а.
Термин „малые возмущения" указывает на необходимость введения малого параметра 1ХП1) в стохастическую модель состояния, а точнее — в „механизм" случайных возмущений !а!. Еи!е раа о стохастической модели состолииа 379 исходной детерминированной модели состояния (10.1). В соот- ветствии с этим приходим к следующей стохастической модели состояния: = г(Х,се+еПс(1,о!)), е1Х(1,о!) Й х(0)о!) хо) < ) = г'(Х,се)+яет(Х,ет) Г Х(0,.) =Х„ (10.3) где то(1,о!), ! Е Т, — т-мерный винеровский процесс с коэффициентом диффузии стз = 1, е — малый положительный параметр, Г Е М, (Гч) — неизвестная матрица. Теорема 10.1.
Пусть Р'(Х,ее) = (г!(Х,се) ... г„(Х,ет)) и ег(Х,се) = (а, (Х,ет)) Е М„„(И). Если для любых ! = 1, и и ! = 1, г скалярные функции г,'(Х,ет) и ет„(Х,се) в некоторой окрестности точки (Х, ет) б К"+ имеют ограниченные частные производные до второго порядка включительно по всем т компонентам вектора Х = (х! ... х„), то решение стохастической задачи Коши (10.3) может быть представлено в виде Х(1,о!) = Хо(1)+еХ!(1,о!)+ В(1,о!), 1 > О, -ечмэй(~, )!1<с ' (<<с< ), где ест где Д(1,м), ! Е Т = (О, оо), — т-мерный белый шум с единичной матрипей спектральных интенсивностей, П Е М!. (К) неизвестная матрица, а с — малый положительный параметр. Естественно, что в каждом конкретном случае возмущения могут быть введены в исходную детерминированной модель состояния (10.1) различными способами. С этим мы уже столкнулись при обсуждении примера 10.1. Поэтому остановимся на рассмотрении достаточно общего случая, когда детерминированной модели состояния (10.1) соответствует стохастическая модель состояния вида 380 1й ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ вектор-функция Хо(г) определена исходнои детерминированной моделью состояния (10.1): Хо(г) = г(Хо о)> х,(о) = х„ а п-мерный случайный процесс Х1(л,м), 1 > О, является решени- ем стохастической задачи Коши их,(~, ) Й = В(Хо(1),а) Х1(1,м) + о(Хо(й),а)Г йи(1,м) ос Х1(О,ы) = О, где В(Х,а) 4 (дг)(Х,о)/дх ).
Доказательство этой теоремы приведено в книге А.Д. Вентцеля и М.И. Фрейндлина, которую мы рекомендуем для изучения не только в связи с рассматриваемой задачей. Заметим лишь, что с точностью до величин порядка ез решение стохастической задачи Коши (10.3) можно аппроксимировать зауссооским нронессом Хо(1) +еХ1(1,ы), 1 Е Т = (О, со). Если Х(1,ы), 1 Е Т, — решение стохастической задачи Коши (10.3), а Хо(1) удовлетворяет исходной детерминированной модели состояния (10.1), то в соответствии с теоремой 10.1 нронесс случайных отпнлоненин бХ(1,м) Уй Х(1,ы) — Хо(~) ~ Е Т (10.4) с точностью до величин порядка ез должен удовлетворять стохастической модели состояния АХ(1,~о) = В(ХоЯ,о) бХ(1, )й+ + с~(Хо(Е), о)ЮЙо(1,о~), 1 > О, (10.5) бХ(О,ю) = О, где Я = еГ.
10.1, Еще раз о стокастичвсмой модели свстаниня 381 В этой модели М(бх(1,о~)) = О, (10.6) ( „(' )~=В(Х.(1), )М(5Х(1, )), М(бх(О,м)1 = О. Таким образом, иэ (10.4) и (10.6) следует, что с точностью до величин порядка ез имеет место равенство М(х(1,ю)] = Хо(Е), 1 Е Т. Заметим, что задача Коши для определения математического ожидания случайного процесса, удовлетворяющего стохастической модели состояния (10.5), была получена в 7,2. Там же доказано, что ковариационная матрица Е(1 ~ а,С) этого процесса является решением следующей задачи Коши с.
С 4 ЯЯ~: ИЕ(1) а, С) = В(ХО(Е),а) Е(1!а,С) + +Е(1!а,С)В (Хо(1),а)+ + а(Хо(1), а)Со (Хо(1), а), 1 > О, (10.7) Е(0 ) а, С) = 9. Таким образом, процесс случайных отклонений бх(1,м), 1 Е Т, с точностью ез полностью определен, поскольку в соответствии с результатами исследований стохастической модели состояния (10.5), приведенными в 7.2, он является гауссовским марковским процессом. Процесс случайных отклонений зависит от Л-мерного векторапараметров а и матрицы САЯТ =еЯГГ', которыебудем считать неизвестными и предполагать, что для их оценивания мы располагаем данными наблюдений, отражающими изменения состояния изучаемого объекта.
так как, согласно формулировке (10.5), свойствам винеровского процесса и математического ожидания, имеем 382 (О. ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ 10.2. Единственность решения задачи параметрической идентификации стохастической модели состояния Стохастическал модель состояния (10.5) определяет и-мерный процесс случайных отклонений 6Х((,ы), ( Е Т = '(О,оо).
А так как он является гауссовским и марковским процессом, то его Аг-мерная функция плотности вероятностей имеет вид ,гггг(Х(1)гх(2) ° . Х(ггг) ~ггг(2 ° ° ° Ь а С) = Л (Х(,) ) (г, а, С) П,г (Х(г) ! Х(; П, а, С), (10.8) где условнал функция плотности вероятностей равна Д(Х(;) ~ Х(, г), а, С)— 1 т х ехр(- — (Х(;) — т((; ) (( 1, а) + Хе((г' г)) х 2 х Е '((,)(; „а,С) (Х(;) — т((,)(г г,а)+Хо((, г))). (10.9) При этом, согласно (10.4) — (10.7) и в соответствии с выводами из теорем 7.2 и 7.3 (см.
7.2), условное математическое ожидание т((,~(; „а) 4М[6Х((;,ы) ) 6Х((; „ы) = Х(;,)-Хо((;,)1 является решением задачи Коши =В(Хо((),а)т(($(, д,а), (; г <(<((, < г(т(()(; „а) Й т((г-г)(г-ггг.") Х(г) Хо((г-1)г а условная коварггационнал матрица Е(С,)(; г,а,С) Асои~6Х((ь г) (6Х((г г,~) =Х(; г)-Хо(((,,))] со.з. единственность решения эадачи идентификации 383 является решением задачи Коши дЕ(С!С, ыо,С) = В(Хо (С), ет) Е(С / С, ы о, С) + дС +Е(С/С, ыо,С) В (Хо(С),ет)+ +о.(хо(С),о)Со (Хв(С),се), С,, <С < С„ (10.10) Е(С; 1/С, ыо,С) = 9. Для этой матрицы в дальнейшем будем использовать обозначения Е(С,~С; ыо,С) =Ес(а,С). (1о.п) М1сХ(С;, ) — т(С;Р;,о)~ = Х (С,), '= 1, Л'.
Теперь установим условия, при выполнении которых Ст'-мерная функция плотности вероятностей (10.8), (10.9) разделяет точки области изменения параметров изучаемого случайного процесса на множестве Т1~1ее(С;),", ст. Начнем с матпематичесного ожидания Хо(С) изучаемого случайного процесса Х(С,м) = Хо(С) + ах(С,ьэ), С Е Т = (О, оо), который удовлетворяет исходной детерминированной модели состояния (10.1): Поскольку ковариационные матрицы 1Е(с;(с, ыст,С)) не за; висят от (Х(111, то представление М-мерной функции плотности вероятностей в виде (10.8), (10.9) означает, что и-мерные случайные векторы (Х(С;,ш) — т(С,~С; ыст)1 являются независимыми и 384 10.
ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ г" (Хо(1), а) = Ф(Хо(й)) а, (10,12) где Ф(Хо(1)) — матричная функциц принимающая значения в М ь(яь). Таким образом, согласно (10.1) и (10.12) будем исполь- зовать следующую детерминированную модель состояния: ЫХо,( ) = Ф(Х,(~)), Х,(0) =Х..
(10.13) Согласно определению 9.2, функция Хо(1) = Хо(1,а), 1 б Т, разделяет точки множество Р = яьь возможных значений вектора параметров на множестве Т(к) С Т, если для любых аф,8 из О существует значение 1=1 в Е Т1НН такое, что Хо(1 Л,а) ф Хо(1„О,Д). В соответствии с этим определением вначале установим необходимые условия существования 1 Л.
Теорема 10.2. Пусть для любых а Е Р и 1б Т= (О, оо) "Хо(е) = Ф(Хо(~))а ф О и существует хотя бы один момент времени в Е Т, в который матрица В(хо(в),а) а является невырожденной для любых а Е ля~ ~ (О). Тогда равен- ство Хо(~, а) = Хо(1„9) выполнено для всех 1 Е Т только в том случае, когда а= В. ~ Пусть выполнены условия теоремы и У(~) = Хо(1,а) = Хо(1,13), 1 б Т, и зависит от вектора параметров а. Рассмотрим случай, когда эта модель является линейной по параметрам, т.е. 10.2.
Единственность решешш еадачи идентификации 385 при некоторых о, д е Р, о ф Д. Тогда имеем ~(Ха(1, о) ~Хо(1, д) й й Таким образом, для любых 1 б Т 0 = = В(У(а), о — )1) —. ИФ(У(1)) (о — 11) НУ(1) А так как о ф Д и о — Д Е Кь'1 (01, то при 1 = а верно равенство е(У(1) ~ й которое противоречит первому условию данной теоремы. > Заметим, что теорема 10.2 может быть доказана и при менее жестких ограничениях на матрицу Ф(Х). Из теоремы 10.2 и непрерывности функции Хо(1) следует, что при о ф Д всегда существует окрестность Я С Т, такая, что для любых т Е 5 имеет место неравенство Хо(т,о) ф Хо(т,)3).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
