XVIII Волков И.К., Зуев СМ., Цветкова Г.М. Случайные процессы (1081434), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Во многих практических задачах весовые матрицы Е(1) при различных значениях 1 Е Т1л11 неизвестны. В этих случаях „веса" назначают исходя из каких-либо дополнительных соображений, а если таковые отсутствуют, то чаще всего просто полагают Е(1) = 7„, 1 с Т1л11 (9.52) Для пояснения сказанного обратимся еще раз к скалярному случайному процессу, рассмотренному в примере 9.31 ((1,1э) =хоехР( — Д11+~3зю(1,оэ)), 1Е Т=(О,оо), где в(1,о1), 1 Е Т, — скалярный вииеровский процесс с коэффициентом диффузии ~гз = 1, хо > 0 — известное детерминирот ванное значение начального состояния, а Д = (р1 11з) — вектор неизвестных параметров. Как мы уже знаем, т(1)Д) = М11ье(1,ы)) = хоехр(( — Я + ОДЗИ)1), 1 с Т. Предположим, что мы располагаем данными наблюдений, представленными множеством 17мь- и определяемыми согласно (9.4). Очевидно, что в этом случае функция т(1~ В) не разделяет точки В на множестве Т(ч1, поскольку она однозначно зависит лишь от параметра До = -Д1+ ОД32. % Ф(До ~ (7мл1) =,~' — ~~1, ф(1 1э(,1) — хоехр(Дог,)) .
1=1 ' 1Е!01 В соответствии с проведенными рассуждениями оценка параметРа До опРеделЯетсЯ как точка минимУма фУнкции Ф(До ~ (7мл1). Следовательно, методом наименьших квадратов можно оценить лишь параметр ро. Для этого составим сумму квадратов отклонений (9.50). Предполагая, что дисперсия случайного процесса нам неизвестна, введем „веса" в соответствии с (9.52) и в результате получим 371 Вопросы и задачи В заключение сделаем замечание, касающееся рассмотренных методов оценивания неизвестных параметров.
Замечание 9.1. Условие единственности решения задачи оценивания получены нами как условие единственности экстремума функции При решении конкретных задач, располагая случабиььии выборками ограниченного объема, мы заменяем математическое ожидание его оценкой. Получаемая при этом функция (функция правдоподобия или функция Ф в методе наименьших квадратов) на самом деле может иметь несколько экстремумов. Полученные условия гарантируют единственность экстремума лишь при неограниченном увеличении объема выборочных реализаций.
Вопросы и задачи 9.1. Что Вы знаете о данных наблюдений, представленных множествами Г и Умч? В чем заключается их принцяпиальное отличие? 9.2. Сформулируйте задачу оценивания параметров случайного процесса по данным наблюдений. 9.3. Что представляют собой случайные выборки, реализациям которых соответствуют данные наблюдений, представленные множествами К„и Гмн? 9.4. Какой вид и почему имеют функции плотности вероятностей случайных выборок, соответствующих данным наблюдений, представленным множествами Г и Кыы? 9.5.
Определите количество информации по Фишеру, содержащееся в случайных выборках, соответствующих данным наблюдений, представленным множествами У и Ум,ч. 372 и ЭЛЕМЕНТЫ СТАТИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ 9.6, При каких условиях Х-мерная функция плотности вероятностей Яу~~3) определяет исходный случайный процесс на множестве Т~р~ С Т единственным образом? 9.7, В каких случаях функции т(~)о) и Е(~~а) определены на множестве Т~ь ~ С Т единственным образом? 9.8. Сформулируйте теорему единственности решения задачи оценивания вектора неизвестных параметров случайного процесса в случае, когда вид функции плотности вероятностей для этого случайного процесса неизвестен.
9.9. В чем состоит основная идея метода максимального правдоподобия? 9.10. При выполнении каких условий оценка максимального правдоподобия является состоятельной, асимптотическн несмещенной, асимптотически эффективной и асимптотически нормальной? 9.11. Какую оценку вектора неизвестных параметров изучаемого случайного процесса называют квазиправдоподобной? В чем принципиальное отличие оценки максимального правдоподобия от квззиправдоподобной оценки? 9.12.
В чем состоит основная идея метода наименьших квадратов? 9.13. Связаны ли между собой оценка наименьших квадратов, оценка максимального правдоподобия и квазиправдоподобная оценка? Если между перечисленными оценками существует связь, то какова она? 9.14. Пусть выполнены условия единственности решения задачи оценивания неизвестных параметров случайного процесса по данным наблюдений. Допустим, что решение задачи оценнвання возможно одним из известных методов.
Возможна ли ситуация, когда применение различных численных методов приводит к различным результатам решения задачи оценивания? 374 9. ЭЛЕМЕНТЫ СТАТИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ 0.18, Покажите, что для оценки 11н в задаче 9.16 неравенство Рао — Крамера имеет вид пг > 9Ф ~,14!з. 9.19. Докажител что в примере 9.5 оценка юг является несмещенной, а оценка 11гг — смещенной.
Определите несмещенную оценку для параметра 11г. О т в е т: Я = 1Ч/(Ю вЂ” 1) . 9,20. Убедитесь в том, что в примере 9.5 функция правдоподобия имеет единственный экстремум, 0,21. Докажите, что в примере 9.6 математическое ожидание пгниг)~3) и дисперсия В11)13) при 1у > 3 разделяют точки области иэменения параметров В на множестве Т1н1. 9,22. Докажите, что в примере 9.5 случайные величины где В1 и Дг — неизвестные истинные значения параметров, имеют соответственно распределения Хг и Стьюдента с числом степени свободы Х вЂ” 1. 10. ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ СТОХАСТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ СОСТОЯНИЯ 10.1.
Еще раз о стохастической модели состояния В 7.1 стохастическаа модель состояния, представляющая собой задачу Коши для системы стохастических дифференциальных уравнений и описывающая изменения состояния изучаемого объекта во времени, была получена как результат возмущения исходной детерминированной модели. Разумеется, существуют и другие пути, приводящие к стохастическим моделям. Однако в рамках зтой книги мы не будем на них останавливаться и продолжим обсуждение, начатое в 7, поскольку именно зтот подход чаще всего используют в технических приложениях. Пусть спроектирован некий объект и для описания изменений его состояния во времени разработана иатеиатическая модель, представляющая собой задачу Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений < Х'(1) = Р(Х,о), Х(О) = Х, (10.1) В зтой главе продолжим изучение методов статистики случайных процессов, но от общих теоретических положений и иллюстративных примеров, приведенных в предыдущей главе, перейдем к задаче оаралветрической идентификации стохастических моделей соспзолкил.
Другими словами, будем рассматривать задачу оценивания неизвестных параметров, входящих в стохастическую модель состояния, по дискретным значениям его выборочных реализаций. 376 10. ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ где Х(1) — и-мерный вектор состояния объекта в момент времени 1, Хе — его начальное состояние, а а Е К~ — вектор параметров объекта. В процессе эксплуатации объекта эти параметры „шумят", т.е.
по тем или иным непрогнозируемым причинам отклоняются от своих номинальных значений. Так, например, для электронного устройства компонентами вектора параметров а могут являться значения емкостей, индуктивностей, сопротивлений и других характеристик его элементов, которые, например, могут зависеть от температуры, влажности и других внешних воздействий. Поэтому, повторив рассуждения, приведенные в 7.1, приходим к выводу, что реально наблюдаемые изменения состояния рассматриваемого объекта должны удовлетворять стохастической модели состояния = й'(Х, а+ П~(~, м) ), < ЫХ(1,ы) Х(0,а~) = Хе, (10.2) Пример 10.1.
Рассмотрим простейшую детерминированную модель состояния х~(С) = — ах(й), х(0) = 1, где с(~,ы), ~ Е Т = (О, оо), — т-мерный белый шин с единичной матрииеб спектральных интенсивностей, а П Е Мь (К) — в общем случае неизвестнал матрица. Далее будем говорить, что детерминированнал модель состолнил (10.1) устойчива к возмущениям П((~,~э), ~ Е Т = = (О, со), вектора параметров а, если для любого с > 0 существует такое й„Е Т, что 6Х(й,м) — Х(С)6,„( е при й > й„где случайный процесс Х(8,и), 8 б Т, задан стохастической моделью состояния (10.2).
Следует отметить, что введение в детерминированную модель состояния изучаемого объекта случайных возмущений в виде белого шума может привести к нарушению ее устойчивости. Поясним сказанное на следующем примере. уц Ь Бпе раа о стотастичссиой модели состоянии 377 в которой са > О.
В этой модели состояние изучаемого объекта х(1) = е ', 1 > О, стремится к нулю прн 1-++ос. Предположим, что случайным возмущениям подвержен параметр сл. Тогда стохастнческая модель состояния, соответствующая исходной детерминированной модели, имеет внд = — стх(1,м) + ух(1,м)((1,м), < Их(1,ы) а1 х(О,м) = 1, где уз — известная постоянная величина, называемая саектральноб интпенсивностпью процесса случайных возмуилениб, а((1,оэ),1с Т=(О,оо),— белый шум с ин1пенсивностпью с = 1. Воспользовавшись реэультатамн, изложенными в 7.3, запишем стохастическую модель состояния в форме Ито: < Нх(1,ы) = — (сл — 0,5'у~) х(1,м) д1+ ух(1,м) дто(т,оэ), х(0,и) = 1, где ю(1,м), 1 Е Т, — скалярный винеровскиб процесс с коэффициентом диффузии аз = 1. В примере 7.5 мы покаэалн, что ма|пематическое ожидание состояния х(1,ы), 1 > О, в рассматрнваемом случае равно т(1) = ехр( — (ст — 0,57~)1), 1 > О, а его дисперсия равна О(1) = 7~1ехр( — 2(о — у~)1), 1 > О.
Таким образом, если а < уз, то математическое ожидание т(1) нэучаемого случайного процесса х(1,м), $ Е Т, неограннченно возрастает прн 1-++со. То же самое происходит и с его дисперсией. А так как прн а < уз динамика состояния детермнннрованной модели принципиально отлична от динамики математического ожидания т(1) состояния ее стохастнческого аналога, то в этом случае нсходнал детермнннрованная модель состояния не обладает устойчивостью к возмущениям входящнх в нее параметров. 378 нк ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ Заканчивая анализ, заметим, что рассмотренная стохастическая модель состояния сохраняет устойчивость при ~~ ( а, т.е. при малых случайных возмущениях.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
