XVIII Волков И.К., Зуев СМ., Цветкова Г.М. Случайные процессы (1081434), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Следовательно, в условиях теоремы 10.2 всегда можно выбрать множество Т1м) — — (е;)(и С Т так, что математическое ожидание Хе(1) изучаемого случайного процесса, являющееся решением задачи Коши (10,13), будет разделять точки множества Р возможных значений вектора параметров на множестве Т(м1. В частности, можно показать, что для этого достаточно выбрать Ж > Ь. Заметим также, что исследуемый случайный процесс не должен быть стационарным.
Это следует непосредственно из первого условия теоремы 10.2 и согласуется с результатами примера 9.4 и его обсуждением. 'Смд Зуев С.М. 386 10. ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ Теперь с учетом тождества (10.12) перейдем к рассмотрению ковараациоккыя матрац Е;(о,С), 1= 1, 11', для чего выберем два набора неизвестных параметров: (о1,С1) и (о2,С2). Предположим, что о 4 о1 — — о2 и С1 ф С2.
Пусть С учетом (10.10) и (10.11) приходим к выводу, что матричная функция 1~Е(')о С1,С2) = Е(')2'-1,о>С1) — Е(')'-1,о С2) является решением задачи Коши ('(„'~"~') = В(Х.(1), ) ЛК(1),С„С,)+ + 122'(Ф~С1,С2) 11 (ХОЯ~о) + +а(Хе(1),о) (С,— С2) а'(Хе(2),о), 1; 1(1(1б (10.14) О задаче (10.14) известно (см. 7.2), что она имеет нулевое решение тогда и только тогда, когда является однородной— в рассматриваемом случае при С1 — -С2.
Таким образом, при о1 — — оз и С1 ф С2 случайные векторы Х(1;,а1) — т(1;)1; 1,о) имеют одинаковые математические ожидания, но различные ковариационные матрицы, а при о1 ф оз всегда найдутся два случайных вектора из указанной совокупности с различными математическими ожиданиями. Поэтому две Ю-мерные функции плотности вероятностей (10.8), (10.9) равны тогда и только тогда, когда о1 = ог и С1 — — Сг Отметим, что фактически мы получили условия единственности решения задачи параметрической идентификации нелинейной стохастической модели состояния (10.3), если рассмотренная линейная модель (10.5) содержит все неизвестные параметры исходной нелинейной модели (10.3). Поэтому при 10.3. Выбор наблюдаемых переменных выполнении условий единственности решения задачи параметрической идентификации линейной модели мы можем оценить все параметры исходной нелинейной стохзстистической модели состояния.
Но при этом следует помнить, что сделанный вывод касается только условий единственности решения задачи параметрической идентификации, но не качества получаемых оценок. По вполне понятным причинам они будут смещенными, причем смещение будет стремиться к нулю при увеличении числа наблюдений, если е + О. 10,3. Выбор наблюдаемых переменных Рассмотрим еще одну особенность задачи оцениаания параметрое случайного процесса Х(1,ы) ЬХо(1)+бХ(1,о~), 1б Т= [О,оо), по данным наблюдений, определяемого детерминированной моделью состояния (10.1): дХ.(1) „(, (,) .) Хо(0) = Хо и стохастической моделью состояния (10.5): ~УХ(1 ь)) = В(Хо(1),а) йХ(1,о~) д1+ о.(Хо(1),о) Ядхп(1,ь~), оХ (О, м)— : О.
Эта особенность заключается в том, что в практических исследованиях нередкой является ситуация, когда в процессе наблюдений за изменениями состояния изучаемого объекта могут быть измерены значения не всех компонент его вектора состояния. Если в результате наблюдений за изменениями состояния изучаемого объекта могут быть измерены значения фиксированной компоненты его вектора состояния, то эту компоненту 388 1П ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ называют наблюдаемым переменным соспзолнил. В противном случае компоненту вектора состояния называют ненаблюдаемым неременнын состояния. Изучение указанной особенности задачи параметрической идентификации стохастической модели состояния (10.5) начнем с рассмотрения примера.
Пример 10.2. Пусть двумерный случайный процесс Х(1,~о), 1 й Т = [О, оо), задан стохастической моделью состояния (10.3), которой соответствует детерминированная модель состояния (10.1) следующего вида: ах~ — = о!х1х2 — оххы д1 дхз — = — озх2~ а'1 (10.15) х,(0) = См хз(О) = Сз, где С~ и Сз — известные положительные константы, характеризующие начальное состояние изучаемого объекта, а ом оз, оз — неизвестные положительные параметры.
Выше было показано (см. 10.1), что решение задачи Коши (10.15) Хе(1) =, 1> О, 1 хо~(1) ~1 '1 хоз(1) / х~(1) = С~ехр( — оз1 — о~оз ~Сз(е ~" — 1)), хз(1) = Сзе в линейном приближении представляет собой математическое озкидание случайного процесса Х(1, м), 1 Е Т = [О, со). Предположим, что Ж = 3, т.е. Точ1 = (1ы 1з, 1з) и выполнены условия теоремы 10.1, а измерения проведены лишь для второй компоненты вектора состояния, причем так, что известны математические ожидания М[хз(1~,ы)), ( = 1, 3. Решая задачу Коши (10.15), получаем 389 !0.3.
Выбор иабыодаеыык иереыеииыя В результате для определения оценки аоэ параметра аз мы располагаем системой уравнений М[хг(гг,м)) = Сгехр( — аоэг ) г = 1 3 У нас нет никаких данных для нахождения оценок аш и аог параметров аг и а1. Таким образом, в рассматриваемом случае задача оценивания вектора неизвестных параметров а имеет бесчисленное множество решений. Наоборот, если известны М[х1(1г,м)), г = 1, 3, то для опрет деления оценки ао = (ао1 аог аоэ) вектора неизвестных параметров а мы располагаем системой уравнений М[х1(гг,м)) = Сгехр[ — аогг, +аша ~Сг(1 — е ое'~)), у = 1, 3. Если эта система совместна, то она позволяет найти оценки всех неизвестных параметров. Таким образом, для решения задачи параметрической идентификации детерминированной модели состояния (10.15) в качестве наблюдаемого переменного состояния следует выбрать х1(с) и провести измерения ее значений, как минимум, в три момента времени.
~(6 В общем случае решение вопроса о выборе наблюдаемых переменных состояния связано с анализом функций чувстнвиенельностни, которые представляют собой частные производные компонент вектора состояния Х(1) = Х(1,а) = (х1(1,а) ... х„(с,а)) исходной детерминированной модели (10.1) по параметрам аы аг, ..., аь, которые являются компонентами вектора а Е Е О С К . При этом, если ввести леатнричную функг4ню ь чув стнвнтнельносггги Я(1) =' ' Е М„ь(К) а дХ(г,а) 390 Лп.
ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ детерминированной модели состояния (10.1), то эта матрица при выполнении некоторых условий является решением задачи Коши при записи которой использованы матрицы Якоби [Ч] дг'(Х, а) дХ дг (Х,сл) а~ 1о)— дсл Можно показать, что если существует строка матрицы В(1) с номером Й, элементы которой не обращаются в нуль ни при каких значениях 1 > 0 и вектора параметров о Е О, то для решения задачи параметрической идентификации детерминированной модели состояния (10.1) достаточно иметь данные измерений значений компоненты яь(С) вектора состояния Х(1) в дискретные моменты времени 1;, 1 = 1, Ю, где Ю > Ь. Если же такой строки нет, то из строк матрицы 5(1) следует сформировать такую матрицу 5,(1), каждый столбец которой содержит хотя бы один элемент, отличный от нуля для всех 1 > 0 и а Е В.
Номера строк матрицы 5(1), составляющих матрицу 5.(1), и являются номерами тех компонент вектора состояния, значения которых следует измерять в дискретные моменты времени, чтобы обеспечить выполнение необходимого условия единственности решения рассматриваемой задачи. Если матрица 5,(1) совпадает со всей матрицей 5(1), то следует измерять все компоненты вектора состояния. Если из матрицы Я(1) можно выделить несколько матриц 5,(1), то мы имеем несколько вариантов для набора наблюдаемых переменных и можно испольэовать любой из них. Конкретный выбор диктуется возможностью измерения входящих в нее переменных. 391 10ЛЬ Выбор наблюдаемых переменных Пусть мы располагаем данными измерений значений й (1 ( ( и < о) наблюдаемых компонент о-мерного вектора состояния исходной детерминированной модели (10.1) в дискретные моменты времени 1, / = 1, М.
Тогда при Х > 1 можно найти единственную оценку вектора параметров се. Однако при переходе к стохастической модели состояния (10.3) с ее последующим преобразованием к стохастической модели состояния (10.5) необходимо оценить еще и элементы матрицы С б М,(И). При этом, согласно (10.7) и (10.5), матрица С ~ЯД =бзГГ является симметрической, т.е. неизвестными параметрами являются г(г+ 1)/2 ее элементов.
Пусть Е(1) — ноеариационнал матрица и-мерного вектора состояния Х(1,м), 1 > О, стохастической модели (10.3). Так как наблюдают й компонент вектора состояния, естественно считать известными (й+1)й/2 элементов матрицы Е(1). Приравнивая соответствующие элементы матрицы Е(е) о,С), определяемой согласно (10.11), элементам матрицы Е(1) в каждый момент времени 1„1' = 1, Ж, получим й(к+ 1)/2 уравнений, содержащих г(г+1)/2 неизвестных. А так как число оцениваемых параметров не должно быть больше числа уравнений связи, то должно быть выполнено неравенство Мй(й + 1) г(г + 1) При этом мы должны учесть ограничение Х > 1,, полученное при исследовании задачи оценивания вектора параметров о. Таким образом, число Ю моментов времени для измерения значений наблюдаемых компонент вектора состояния следует выбирать так, чтобы выполнялось условие (10.16) где й — число наблюдаемых компонент и-мерного вектора состояния, г — порядок симметрической матрицы С, а Т, — размерность вектора параметров о.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
