XVIII Волков И.К., Зуев СМ., Цветкова Г.М. Случайные процессы (1081434), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Уместен вопрос, всякое ли подмножество пространства элементарных событий можно рассматривать как событие. Это можно принять, если пространство элементарных событий конечно (т.е. содержит конечное число элементов). Однако в общем случае такой подход оказывается слишком общим и не приводит к содержательной теории. Значит, нужны понятия и условия, описывающие те подмножества, которые могут рассматриваться как события. Современная теория вероятностей строится, как и многие другие математические дисциплины, на системе аксиом. Впервые аксиоматическое построение теории вероятностей предложил А.Н.
Колмогоров". Изложим кратко суть современного подхода в изложении теории вероятностей. 416 ПРИЛОЖЕНИЕ Е ОСНОВЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Кратко можно сказать, что о-алгебра — зто некоторое множество А подмножеств Й, замкнутое относительно теоретико- множественных операций, в том числе относительно счетного объединения и счетного пересечения.
Определение П1.2. Пару (й, А) из множества й и о-алгебры А подмножеств из й называют измеримым «рос«зранст«вом. Определение П1,3, Верол«зност«ью (веролт«носнзноб мерой) на измеримом пространстве (Й,А) называют скалярную функцию Р: А -+ В, определенную на о-алгебре А, которая удовлетворяет трем условиям: а) Р[А] > О, А Е А; б) Р[й]= 1; в) для любых попарно не пересекающихся множеств Вь 6 А, й е гч', имеет место равенство Р~Ц Вь| — ~~ Р[Вь Эти определения вводят основные понятия теории вероятностей. Множество й, на котором задана с-алгебра А, — это пространство элементарных исходов, элементы о-алгебры А— это события, а вероятностная мера Р— зто функция, задающая вероятности всевозможных событий.
Определение П1.4. Тройку (Й,А,Р) из непустого множества Й, заданной на Й о-алгебры А и определенной на о-алгебре А вероятностной меры Р называют верол«зное«зным «рос«зранст«в ом. Определение П1.5. Пусть [й, А, Р) — — вероятностное пространство и Аь Аз Е А — события, причем Р[Аз] > О.
Под условной верол«зное«зью события Аз относительно события Аз понимают число Р[А [А,] ж Р[Аз П Аз] Р[Аз] 417 Определение П1.6. Пусть (й, А,Р) — вероятностное пространство. События А, В Е А, для которых Р[А] > О и Р[В] > О, называют независимыми, если выполнены равенства Р[л]В] = Р[л] и Р[В]л] = Р[В]. В противном случае события А и В называют зависммыма. Определение П1.7. Отображение с: й — э Х измеримого пространства [Й,А) в измеримое пространство [Х,В) называют азмеримоб фуммциеб, если для любого В Е В прообраз множества В, т.е. множество с '[В) = 1м Е Й: с(ь~) Е В], принадлежит А. В теории вероятностей измеримое пространство (Й,А) входит в состав вероятностного пространства (Й,А,Р) (т.е.
дополнительно задана вероятностная мера). В этом случае измеримая функция ~[и), м Е Й, преобразует вероятностную меру Р на (Й,А) в вероятностную меру Р~, определяемую равенством Р4[В] = Р[~ 1(в)] и тем самым превращает измеримое пространство (Х,В) в вероятностное пространство (Х,В,Р~). Таким способом можно заменить вероятностное пространство „данное от природы", на более удобное и простое. Особую роль играет случай, когда Х = И, а  — борелевсмая в-алввбра, т.е. минимальная в-алгебра, содержащая все промежутки (открытые, замкнутые, полуоткрытые) на числовой оси. В этом случае измеримую функцию можно определить как функцию Дь~), ы Е Й, для которой прообраз любого множества В вида В = 1х Е К". х ( а) принадлежит с-алгебре А, или, иначе, является событием. Такую измеримую функцию в теории вероятностей называют случайной величавой.
На множестве И" можно задать с-алгебру, отталкиваясь от множеств вида Т1 х Тэ х ... х Т„= 1 (хм ..., х„) Е В": х, Е Т,, г' = 1, и], где Т, — промежутки числовой оси (такие множества можно было бы условно назвать п-мерными параллелепипедами). 418 ПРИЛОЖЕНИЕ К ОСНОВЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕИ Борелевская о-алгебра З в К" — зто наименьшая о-алгебра, содержащая указанные множества.
Измеримая функция, отображающая Й в К", представляет собой, по-существу, совокупность п случайных величин — ее координатных функций. Такую функцию называют и-мерным случайны.н венпзоролл. Случайный вектор можно рассматривать как многомерное обобщение понятия случайной величины. Поэтому далее мы будем иногда трактовать случайную величину как и-мерный случайный вектор с и = 1. Случайный вектор можно определить как и-мерную векторную функцию С(ь), ы Е й, для которой при любом х Е К" множество А = (ь Е Й: 4(и) < х) принадлежит А (является событием). В данном случае с1М) х1 с( )=' 4() хп и неравенство с(ы) < х означает, что ~л(ы) < хю х = 1, и.
Изучение случайной величины С(м), м б й, сводится к анализу вероятностной меры Р1, которая порождается этой функцией на борелевской о-алгебре. При этом исходное вероятностное пространство (й,А,Р) перестает играть роль. Отметим, что в силу свойств вероятности вероятностная мера Р~ полностью определяется по своим значениями на промежутках вида ( — оо, а), так как, комбинируя такие промежутки и используя свойства аддитивности и счетной аддитивности вероятности, можно найти значение вероятности на любом множестве боре- левской о-алгебры.
Определение П1.8. Пусть С(м), ы б й, — случайная величина (случайный вектор). Скалярную функцию Р~(х) а Р~(А ], где х Е К (хЕК") и А =(ь б й: с(м) < х), называют Фрннпией распределена* (веролтпностпеб) случайной величины (случайноео векпзора) С(м), ы Е Й. 419 Случайные величины с,(ь~), ь~ Е Й, 1= 1, и, можно рассматривать как координаты п-мерного случайного вектора и ввести для этого вектора функцию распределения. Это объясняет, почему иногда функцию распределения случайного вектора называют совместимой функцией распределенил. Для функции распределения и-мерного случайного вектора часто используют сокращенные формы записи, например: .р~(х) = Р~ф(~.~) с х~, р~(х1,...,х„) = Р[~ь(ь~) < хь, Й = 1, п|. Определение П1.9.
Случайную величину (случайный вектор), принимающую не более чем счетное множество значений, называют дискретпной случайной величиной (дискрептным случайным вектпором). Для дискретного случайного векторами(а ), ы Е й, множество значений можно записать в виде конечной или бесконечной последовательности (х~р,~)~~ С К", где Х ( оо, а функция распределения имеет вид т(цех Определение П1,10. Непрерывным случайным векк1ором называют и-мерный случайный вектор С(а), функцию распределения которого можно представить в виде Ь т д т где х = (х1 ... х~), у= (у1 ..
у„), или, чтото же самое, ж1 е„ й4(хм...,х„) = ... Я~(у1,...,у„) ду1...Иу„. 420 ИРилОжение к ОснОВИ теОРии ВеРОЯтнОстей Функцию Ях) = Л(хы...,х„) называют нлотностью рас- нределеннл (ееролтностей). В частном случае при п = 1 непрерывный случайный вектор ~(м) называют ненрерыеной случайной еелнчнной. Плотность распределения 14(х) и-мерного непрерывного случайного вектора 4(с~) имеет следующие свойства: а) ~~(х) > О, х е К"; б) вероятность Р [((ь ) ЕС~ попадания в произвольную и-мерную область С может быть представлена и-мерным интегралом: Р [С(м) б С) = 1'Л(х) ах; в частности, )' Т4(х) ах = 1; верос н" ятность попадания значения случайного вектора в множество нулевой плошади в К" (в том числе, в фиксированную точку) всегда равна нулю; в) при соответствующей гладкости функции распределения р~(х) плотность распределения д~(х) в своих точках непрерывности совпадает с н-й смешанной производной Р~(х): д"р~(хю...,х„) 1е (х) У~(у~ я) Ф~ А(у) = Л(у ) й т т гдеубК,гЕК",х=(у х ) ЕК".
Для дискретного случайного вектора Ды) с множеством возможных значений (х1ь1Д С К", М < со, можно ввести г) если Ям) Ь (В (ь) е (ю)), гдето(ы) — п-мерный, гу(м)— т-мерный (О < т < и), а е(м) — (п — т)-мерный непрерывные случайные векторы с плотностями распределения Д4(х), ~„(у), 1,(г), то 421 обобщеннусо нлопзносснь раснределенил (веролнзноссней)" ,ч« 1с(х) = ~~> Р(с(ы) = х1ь1~Б(х — хр1), где Б(х): — Ю(х~) б(хз)...6(х„) — е-функция Дирана. Это позволяет упростить изложение, в котором дискретные и непрерывные случайные векторы обсуждаются с единых позиций. Функцию распределения и плотность распределения случайного вектора С(ь~) = ф(ь) ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
