XVIII Волков И.К., Зуев СМ., Цветкова Г.М. Случайные процессы (1081434), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Заметим, что если наблюдают 392 01 ОцКНИВлНИК ПЛрлмКтрОВ все компоненты вектора состояния (Й = и), а число оцениваемых параметров равно размеру вектора состояния (Ь = и), то полученное условие принимает вид 1ч' > и. Отметим, что при выполнении условия (10.16) изучаемый случайный процесс Х(1, ы), 1Е Т = (О, со), однозначно определен на множестве Т(к1 — — (Гу)~5 ~ своей Ю-мерной функцией плотности вероятностей (10.8), (10.9) и для оценивания входящих в нее неизвестных параметров можно использовать методы, рассмотренные в предыдущей главе.
10.4. Специфика задачи оценивании при наличии ошибок измерений До сих пор мы предполагали, что измерения значений компонент вектора состояния осуществляют точно, т.е. отсутствует случайная ошибка измерений. Это было удобно для выяснения тех вопросов, которые были рассмотрены в 10.1— 10.3. Чтобы приблизить постановку задачи параметрической идентификации стохастической модели состояния к реальным условиям, откажемся от зтого предположения и будем считать, что данные наблюдений могут быть представлены в виде Ъ'(1,и) =СХ(г,и~)+ ц(1,м), й Е Т1и1 С Т, (10.17) где Т(к1= (г ф,; Х(1,м), 1 Е Т1~1, — ненаблюдаемое значение п-мерного вектора состояния; У(1,и~), 1 б Т1к1, — паблюдаемое значение указанной функции вектора состояния; С б Мя„(К)— известная матрица ранга Й, причем 1 < Й < и; ц(1ь,ы), З' = 1, 1ч" — независимые как по отношению друг к другу, так и по отношению к вектору состояния, случайные векторы, распределенные по к-мерному нормальному закону с нулевым математическим ожиданием и ковариационной матрицей Е„.
Как правило, Х(г,ы), 1 Е Т1к1, интерпретируют как сигнал, задачи Коши (10.1), (10.5) — как модель сигнала, гауссовский 40лс Специфика задачи оцеииааиие при ошибках измерений 393 белый шум з1(1,оз), 1 Е 7) др с дискретным временем, имитирующий ошибки измерений, — как комеху, а уравнение (10.17)— как модель какала связи. В этой терминологии наша задача формулируется как задача оценивания параметров сигнала,. Для ее решения мы располагаем моделью канала связи (10.17) и моделью сигнала (10.1), (10.5).
Отметим, что существуют два основных типа моделей канала связи, первый из которых соответствует крлмьем измеремилм значений наблюдаемых компонент вектора состояния, а второй — косвеикым излеерекиам. В первом случае данные наблюдений содержат сумму помехи и истинного значения соответствующей компоненты вектора состояния сигнала, а во втором — сумму помехи и линейной комбинации истинных значений компонент вектора состояния сигнала. В первом случае любая строка матрицы С, входящей в модель канала связи (10.17), состоит иэ одной единицы и нулей, а во втором случае эта матрица может иметь любую другую структуру, но при этом должна иметь максимальный ранг: ВбС = к.
Конкретный вид матрицы С определяется как специфическими особенностями изучаемого случайноео процесса, так и возможностями эксперимента. Рассмотрим первый случай, предполагая, что расположение единиц в матрице С обеспечивает выбор наблюдаемых нерезеенных состояния в соответствии с исследованием функции чувствительности, приведенным в 10.3. Поскольку измерения производят в дискретные моменты времени 1 Е У~~и~, то решение линейной по отношению к процессу случайных отклонений стохастичесной задачи Коши (10.5) может быть представлено в виде БХ(~;,ш) = й(г;,г,,) бХ(ц „ш)+ + В(Ц, в) о(Хо(в), а) Я Йо(в,ш), 394 го.
ОцениВАние пАРАметРОВ где В((,в) — резольвента. В данном случае резольвента является решением задачи Коши — =В(Хо((),о)К((,в), (;, «.(«,, г б дВ((, в) В(в,в) = 1„. Обозначим И'.(ьг) ~ Я(( в) о(Хе(в),о)Ядю(в ь~) и заметим, что и-мерные случайные векторы И~,(м), 1 = 1, и, являются независимыми и имеют нулевые математические ожидания (см. 7.3). С учетом введенных обозначений, включая и (10.4), модель, описывающая данные наблюдений, принимает вид Е У(С;,ы) = СХо((;) + СбХ((„ы) + Я;, ьг), 1 = 1, 1У, БХ((ьм) =В((б(, 1)бХ((, ыьг)+И';(о~), 1=1,1ч', где ц((;,и), 1= 1,У, — независимые как по отношению друг к другу, так и по отношению к И~;(ьг), 1= 1, 1ч', случайные векторы, распределенные по (с-мерному нормальному закону с нулевым математическим ожиданием и ковариационной матрицей Е„, а Хо(() — решение задачи Коши (10.1).
Чтобы решить задачу оценаванил неизвестных параметров изучаемого случайноео процесса, необходимо записать фуннцпю плотности вероятностей блочного случайного вектора (ъ"((„) т"((„) ... ъ'((~, )), которую обозначим через П1')о,С,Е„) = Лч(1(И 1(г1 ". 1(м)). ! ель Специфика эалачи оцениааниа при ошибках иэнереннй 395 При этом, согласно (10.18), для всех 1 = 1, 1х' п(11,оэ) = У(1,,~о) — СХо(1,) — СбХ(11,ы), И1(м) = оХ(11,о1) — В(1;,1, 1) оХ(1, ыеэ), где оХ(г,ы), 1 Е Т = (О, оо), — наблюдаемый процесс случайных отклонений. Поэтому, если воспользоваться независимостью случайных векторов п(1,,~о), 1= 1, Ж, и рУ(о1), 1 = 1, М, то с учетом (10,18) можно сделать вывод, что функция плотности вероятностей 1'(У]о,С,Е„) зависит от ненаблюдаемой переменной н не может быть использована для решения задачи оценнеанил парпаеетрое изучаемого случайного процесса.
Учитывал соображения, высказанные в 10.2, представим функцию плотности вероятностей 1'(У ~а,С,Е„) в виде (10.8): 1 ( (П 1»" У( )=1( ( )П~( 10~ П)" У-1) Я1(Ы) = У(11,м), Уг(оэ) = У (1г оэ) — М(У(1г о1) ] 1'(П] тз(м) =1 (1з,со) — МР(1з ~о) ~У111:У(г1] (10.19) независимы, имеют нулевые математические ожидания н ковз риационные матрицы К, й = 1, № Таким образом, для решения задачи оценивания неизвестных параметров изучаемого слу- чайного процесса необходимо определить величины М1У(11,оэ)]У111,...,У0 11], 1= 2, А1, и У„1= 1, № А поскольку каждый сомножитель в правой части этого равен- ства является функцией плотности вероятностей нормального закона распределения, то Й-мерные случайные векторы 396 1О.
ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ В соответствии с (10,18) найдем условное математическое ожидание Ы()'(1,,и)!У~,),...,ЪЦ,13 = М(СХо(1;)+СбХ(1;,о>)+ +п(сь ))у)ц,...,1'0 ц1 =сх,(1;)+сйх,0 где1=2,1У и бХ10 = М[оХ(1ьм) ) 1(,),..., Ъ'И,1] оценка сигнала для момента времени 1 = 11 по наблюдаемым значениям у01, 11з), ..., уЦ ц. Таким образом, при наличии ошибок измерений приходим к необходимости оценивания не- наблюдаемого состояния системы Х(16м) = Хо(1;) + бХ(1ьы) по данным наблюдений ур), у1з), ..., уб,), содержащим линейные комбинации компонент неизвестного вектора состояния и ошибки измерения.
Эта задача имеет самостоятельный интерес. Ей посвящен обширный раздел теории случайных процессов — епеорил фильпзрации и упрезесдеиил. В связи с этим отвлечемся от рассматриваемой задачи параметрической идентификации, к которой вернемся позже. 10.5. Фильтр Калмана Х(с;+1,ы) = ФХ(1ьы)+е,(~о), в'=1, Ю, У(1;,ог) =ЯХ(1;,ы)+п,(са), 1= 1, Х, (10.20) где Х(е,~о), 1 б Т1н) — — (уД; „— и-мерный вектор состояния изучаемого объекта; У(е,й), 1Е Т1н), — р-мерный вектор наблюдаемых переменных состояния; Ф Е М„(И) и Я Е Мр„(Ж)— Рассмотрим задачу оценивания вектора состояния объекта по данным наблюдений, содержащим случайные ошибки измерений, в ее простейшей стандартной постановке: 397 10.5. Фильтр Кллмлна известные матрицы; с;(м), 1 =1, Т, — независимые случайные векторы, распределенные по и-мерному нормальному закону с нулевым математическим ожиданием и ковариаиионной матриией Е,; ий(м), 1= 1, Х, — независимые случайные векторы, распределенные по р-мерному нормальному закону с нулевым математическим ожиданием и положительно определенной ковариационной матрицей Е„.
Предположим, что случайные векторы сь(г,м), й = 1, 1Ч, и нь(1,ь~), к = 1, Х, независимы, а начальное состояние изучаемого объекта представляет собой независимый по отношению к ним и-мерный случайный вектор, распределенный по нормальному закону с математическим ожиданием то и ковариационной матрицей Ео. Отметим, что в общем случае матрицы Ф, Я, Е„Е„могут зависеть от времени 1. Дальнейшее рассмотрение опирается на следующие теоремы, касающиеся свойств многомерного нормального распределения. Теорема 10,3. Пусть случайный вектор он(м), 1= 1,2, имеет размерность и(1), математическое ожидание т; и ковариационную матрицу Е,.
Если случайный вектор Яы) = т т т = (о, (ы) оз (ы)) распределен по и-мерному нормальному зако- нУ, и = н(1)+и(2), с математическим ожиданием т = (тт тз) и ковариационной матрицей то случайные векторы о1(ь~) — М[о1(ы) [оя(ы) = У~] и оя(м) являются независимыми. Доказательство этой теоремы фактически содержится в обосновании вывода 3 из теорем 7.2, 7.3.
Действительно, 1 ы 1 з1 (Е1 Е12~'з ~'21) (Е21 Е2~'1з ~'1) Е12~'з 398 10. ОЦЕНИВА НИЕ ПАРАМЕТРОВ А так как плотность распределения вероятностей случайного вектора Д(ы) может быть представлена в виде Л3%1У2) = УР(~1 ~У2) ХМ2 (~ з)1 где ЯУ~ [Уз) = ехр~ — -(У| — т1+У11 Ум(Уз — тз)) х (Уы] А 1 (2к) "П) х Уы (У1 — т1+ У,,~Уз1(Уз — тз))), то теорема доказана полностью. > Замечание 10.1. Если выполнены условия теоремы 10.3, то непосредственно из вида условной плотности распределения ~д(У1 ~ Уз) следует равенство [ХУ1] М[о1(м) ~оз(~о)] = т1+Еы' з (Уз — тз), так как Ъ'1 Уз — — — ЕыЕ Теорема 10,4.
Если закон распределения блочного случайного вектора (о (~о) ~У (ы) у (ы)) нормальный и,З(ы), у(и) независимы, то = М[о(м) [ ~3(м) = У] + М[о(м) ] 7(м) = У] + М[о(м)]. ~ Пусть случайные векторы о(м), Д(ы), ~(м) имеют математические ожидания т, тр, т. и ковариационные матрицы Е, Ел, Е соответственно. Рассмотрим случайный вект т т тор о(ы) = [8 (ы) т (м)) с математическим ожиданием тя = т т т =, (т, т ) . Так как по условию случайные векторы фм) и 399 10.5. Фильтр Калмана т(ь~) независимы, для ковариационной матрицы случайного век- тора о(ь~) имеем Введя обозначения Е Р а М [(а(м) — т ) Щм) — тл) ], Е,„Ь М [(а(м) — т ) (-~(м) — тт) ~, нетрудно убедиться, что Е л Ь М [(а(ы) — т ) (о(м) — тл) ! = =М (а(ы) — т ) — ~ =(Е л Е;).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
