XV Ванько В.И., Ермошина О.В., Кувыркин Г.Н. Вариационное исчисление и оптимальное управление (1081425), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Это приводит к естественному сужению области определения функционала 1[о] до некоторого подмножества РЯ С К *Сма Экааид И., Таиам Р. для функционала Лагранжа с[и, о]. При этом, если Ф[и] ф О, то впрЦи,о) =+ос. Значит, решение минимаксной задачи (11.7) ае'К не может достигаться на элементе и„, для которого Ф[и,] ф О. Но если Ф[и] = О, то А[и,о) =,7[и) и решение минимаксной задачи [11.7) совпадает с решением вариационной задачи.
Функционал Лагранжа Ци, о] (11.5) по отношению к функционалу,7[и] иногда называют полным, а функционал /[и) по отношению к функционалу Лагранжа — частным. Если,7[и]-- выпуклый функционал, удовлетворяющий условию,У[и] — ~ +ос при ]]и)] — ~ сс, то в (11.7) можно изменить порядок точных верхней и нижней граней': 11.2.
Построение нльтернатинното функционала З89 Предположим, что функционал А[и,е] при любом е Е Р[1) достигает минимума в единственной точке ин Е Г = Р(3). Тогда., по существу., на множестве Р(1) определено отображение ф, которое элементу е ставит в соответствие элемент ит Е 71. С помощью этого отображения мы можем записать 1[о] = 1п1 о[и,е] = 1[Ф(е),е] = 1[Ф(е)] + (Ф(Ф(е)), е), т.е. при известном отображении ф альтернативный функционал 1[и] легко восстанавливается.
Однако отображение ф далеко не всегда удается получить в явном виде. '1аще всего оно определяется некоторым уравнением, да и условие единственности точки минимума при фиксированном е выполняется не всегда. Тем не менее связь е и цн можно учесть в выражении для функционала Лагранжа и тем самым упростить задачу построения альтернативного функционала 1[у]. Если функционал 1[и] является дифференцируемым, то уравнение для отображения ф можно искать с помощью метода множителей Лагранжа: 63[и,бц]+(дФ[ц,ди], и) = О, Ф(и) = О. 1ки(а) = О., а Е $; и(щ) = д(а)., щ Е Я, (11.10) где д(а) — — известная функция, заданная на поверхности Я, ограничивэлощей область Г.
Эта краевая задача является частным случаем задачи, рассмотренной в примере 9.13. В этом примере для краевой задачи построен функционал (9.41), который в данном случае сводится к функционалу Дирихле ,7[и] = —, (Tи) Л' 2! (11.11) с областью определения С'(Г) О С(Г). Пример 11.1. Рассмотрим краевую задачу для уравнения Лапласа 390 на ДВОЙстВенные ВАВНАЦНОнные 3АДА чи Краевое условие и — д = 0 на Я можно трактовать как условие Ф(н) = О, причем отображение Ф переводит функцию и Е С'(Ъ") й С(Г) в вектор-функцию 1н — д)п на поверхности Я (здесь и — вектор внешней нормали к поверхности). Таким образом, в качестве полного евклидова пространства У в данном случае можно взять гильбертово пространство вектор- функций на Я с интогрируемым скалярным квадратом.
С учетом этого полный функционал можно записать в виде Т[н,и1 =3[и)+(Ф(н),и) = — ("7и)~еД/+ (и — д)ипе1Я= = — 1[Яи) еЛ'+ ниие1Я вЂ” дипМЯ. (11.12) 2,/ Найдем вариацию функционала Л[н, и]: б1[н,и,бн,би1 = Х7иб~ие11'+ (и — д)бипе1Я+ ипбие1Я. Отсюда, используя первую формулу Грина и полагая, что брун = = ~7(бн), получаем бЛ[н,и,би,би) = — ЬнйиЛ'+ + (и — д)бипе1Я+ (и+он)пбие1Я. Из условия стационарности бЕ[н, би, и, би| = 0 полного функционала при произвольных вариациях би в Г и ди на Я следует, что Ли =0 в Р и и — д = 0 на Я, т.е. в стационарной точке полного функционала должны быть выполнены равенства (11.10).
Но помимо этого получаем дополнительное условие связи между и и и: и+ сун = 0 на Я., или с7н(х) = -и1:в), ж Е Я. (11.13) П.2. Построение альтернатинного функционала 391 Условие [11.13) позволяет построить непрерывное продолжение вектор-функции и[х), определенной на поверхности Я, в область 1г согласно формуле и[х) = — ~и[х)., х б 'у'. Учитывая это продолжение, находим по формуле Остроградского— Гаусса | пипер = Йу[ии)Л' = и~7иЛ'+ и"7иЛ". Я и г Используя это равенство, а также условие связи ~7н = — и в представлении полного функционала (11.12), получаем Ци,и] = — ['7и) Л'+ и т7нЛ'+ нЯигЛ' — дипе1Я = У Я = — / и Л' — / и Л'+ и'7иЛг — дипе1Я = 2,/ и Я = — — / и Л'+ н~иеЛ' — дипЙБ. (11.14) 1 2./ Ъ и В данном случае видно, что точная нижняя грань по и конечна лишь при выполнении условия ~7и[х) = Йуи[х) = О., х е 1г.
[11. 15) С учетом этого условия из [11.14) получаем представление альтернативного функционала 1[и]: т[и] = 1п1 1 [и,и] = — — / и Лг — дипЙВ. [11.16) 2 оен~П ' 2 392 11. ДВОЙСТВЕННЫЕ ВА1'ИАЦИОХНЫЕ ЗАДА ЧИ Его областьн1 определения 11(1) является множество непрерывно дифференцируемых в области Г функций, удовлетворяющих условию (11.15). Пример 11.2. Построим функционал, альтернативный функционалу 7[и] (9.50) из примера 9.14. Областью определения функционала,У[и] является линейное многообразие С1[а, Ь] в гильбертовом пространстве Аз[а, Ь]. Его минимум ищется при краевом условии и(а) = о (второе условие учтено в самом виде функционала). Таким образом, в данном случае Ф[и] = и(а) — о, причем оператор Ф переводит функцию и(х) в число и(а) — о, т.е. является функционалом.
Значит, в качестве евклидова пространства У следует взять одномерное арифметическое пространство й со скалярным произведением (х, д) = ху. Используя условие связи, можем записать К[и, и] = 3[и] + (Ф[и], и) = 2 = — /4и(б) + / г1х — 1(х) и(х) Йх+ Т (и'(х)) Ь (*1 в(~) о 0 Найдем первую вариацию функционала (П,17) при произвольных вариациях ди(х) и ди: дй[и,и,ди,ди] = — ~36и(Ь)+ и'(х)ди'(х)сКх— а + л(и(Ь)) да(Ь) + (и(а) — о)де+ иди(а). П.2. Построение альтернативного функционала 393 Отсюда, интегрируя по частям, находим Ь б1 (и,и,би, би) = — (Зби(Ь) + иь(х) би(г) — / иьь(х) би(х) ьЬх— е.
а Ь 6 — 1 ьаььцеь -ь1 д( о>ьь ~,.ьь,,ь.,ь,ььььь ььь;. + (и(а) — о)бе+ иби(а) = [и(Ь) + а(и(Ь)) —,3~би(Ь) + "/~- * + (и(а) — сь) бе+ (и — и'(а)) би(а). Из необходимого условия экстремума бо(и,и,бьь,бо] = О, которое должно выполняться при произвольных вариациях би(х) и би, следует, что в стационарной точке полного функционала верны все равенства (9.9), (9.10). Но помимо этого имеет место равенство и = и,'(а). Рассмотрим функцию и(х) = и'(х), которую можно интерпретировать как продолжение значения и = и(а) на отрезок [а, Ь). Согласно правилу интегрирования по частям, и(а)и(а) = и(Ь)и(Ь) — и (х)и(х)ььх — и(х)иь(х)ььх, н(х) и(х) ь( ) ь = ь ( ь*ьь ь*ь — 1 ь'ь ) ь, ьь(6) ,(6) .ь,.ьь =.ь,ььь.ь, [ь) — 1,'< )ь .
394 11. ДВОЙСТВЕННЫЕ ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДА НИ Используя эти тождества, а также равенство о(х) = и'(х), из (11.17) получаем 2 А[и,о) = — 1зи(б) + / ЬЬ: — 1(х) и(х) с(х+ Т [и'(х)) 2 а а Ь Ь и(х) /л ~ '-/"/""""~ "я а я и(ь) ь ь — ил'(и) с1и+ и(б) о(б) — и'(х) о(х) ~~х — и(х) о'(х) йх— е и и Ь ь -- =-'/" ""/1-'."~ ~- .ь'"' 2,1 ь и() 1'" ~"~-1"-/ /'."- л и я(ь) — ил (и) ььи — ао(а). (11.18) о Точная нижняя грань полного функционала (11.18) конечна, если выполняются условия — оь(х)+а(и(х)) — 1(х) = О, х Е [а, б), (11.19) о(б) + л (и(б)) — 1З = О. В этом случае функционал 1 [и, о) можно записать в виде Ь ь (х) 1[и,о~) = — — / о (х)Йх — / 0х / иа (и)ь(и— 2./ а а О о(ь) — ил'(и) ьи — йо(а), (11.20) о 11.3. Оценка погрешности приближенного решения 395 а альтернативный функционал 1[и] — в виде Ь ,У[и] = шГ~ — — ( и (ж)див 2 и[ 2/ а Ь ь(х) а(Ь) — д е ид (и) ди — ие (и) аи — аи(а) .
ф а 0 11.3. Оценка погрешности приближенного решения Пусть ~й1ч~ --. минимизирующая последовательность кеадраепичного функционала, (11.21) 1,[и] = ЦиЦ,~ — 2(1, и), соответствующего краевой задаче для операторноео уравнения Аи = у" с положительно определенным оператором А. Различие между приближенным решением йж и обобьценным решением и, операторного уравнения, на котором этот функционал достигает своего наименьшего значения 1,[и,] = — Ци,Ц~~ —— И (см. 10.1), можно оценить по разности значений функционала на этих решениях: Ы[йн] = .1я[йн] — За[и,] = Ю[йн] — сК. (11.22) Если обобщенное решение и„принадлежит области определения оператора А, т.е. является классическим решением, то мерой погрешности приближенного решения йж может служить норма ЦАйн — у Цл его неоязки.
Так как для классического решения Аи„= у, то, полагая и = йн — и„согласно теореме 10.3 396 ЕЕ ДВОЙСТВЕННЫЕ ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДА ЧИ и неравенству Кон~и — — Буняковского, можно написать (Аи, и) ((Аи)) ))и)! 1и, и) ))и))а ((А1йк — и,) (( ((Айк — у )! ()йк — и„(( ))йк — и„(! где Л вЂ” наименьшее собственное значение оператора А.
От- сюда !)йк — и„(! (, 111.24) Л т.е. норму разности между приближенным и обобщенным решениями на самом деле можно оценить с помощью нормы невязки. В гильбертовом пространстве Ьа(11) неравенство 111.24) принимает вид 1 (— Л 111.25) т.е. речь идет об оценке среднеквадратичной погрешности приближенного решения в области П. Отметим, что для гарантированной оценки сверху этой погрешности необходимо использовать оценку наименьшего собственного значения снизу 1см. 10.4). Отметим, что при построении минимизирующей последовательности для функционала,Т,~и] с помощью метода Ритца условие ~~Айк —,)'~~ — ~ 0 при Х вЂ” ~ оо выполняется лишь тогда, когда все функции и в представлении 110.15) являются собственными элементами оператора А.
В противном случае оценка 111.25) может оказаться слишком грубой. Применение методов наименыинх квадратов или Куранта для построения минимизируя>щей последовательности обеспечивает ~~Айк — Т)~~ — ~ 0 при Х вЂ” ~ со в случае произвольного счетного базиса в энергетическом пространстве 'КА., составленного из фУнкций ит С ТЛ1А), что Делает оценкУ 111.25) более точной. 11.3. Оценка погрешности приближенного решения 867 В более общем случае погрешность приближенного решения, построенного с использованием счетного базиса, включающего функции и не только из .0(А)., приходится оценивать по значению разности (11.22).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
