XV Ванько В.И., Ермошина О.В., Кувыркин Г.Н. Вариационное исчисление и оптимальное управление (1081425), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Характерной особенностью записи функционалов в виде (10.12) и (10.14) является то, что в них как слагаемое входит квадрат нормы. Именно это слагаемое определяет строгую выпуклость функционала и тем самым единственность его стационарной точки. Такая запись оказалась возможной благодаря введению соответствующего скалярного произведения. Однако в случае функционала (9.50), соответствук1щего нелинейной краевой задаче, пе удается ввести подобное скалярное произведение.
Поэтому сходимость минимизирующей последовательности этого функционала приходится рассматривать относительно нормы, индуцированной исходным скалярным произведением в гильбертовом пространстве А2(й). 360 Ш. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ВАРИАЦИОННЫХ ЗАДА Н 10.2. Методы приближенного решении вариационных задач Пусть линейный оььератор А, действующий в сепоробельном гильбертовом простраььстве 'Н, является положительно определенным с областью определения Тэ(А), всюду плотной в Я.
Тогда П(А) можно пополнить до энергетического пространства КА. Последовательность приближенных решений йьь операторного уравнения Аи = Т" будем искать в виде последовательности частичных сумм ряда (10.7): ьч йн = ~ь аоьипн ьььь' = 1, 2,..., (10.15) т=-1 где 1и,„) счетный базис в 'йл. В 10.1 показано, что (йи) является минимизирующей последовательностью функционала, сходшцейся к обобщенному решению по энергетической норме.
В силу введенной в 'КА энергепгичесной нормьь для элемента й,ч вычислим ~яйм ~~~А — — ,'ь а„,'~ а„,(ить ио)А. (10.16) ьь= 1 Если счетный базис ь'и ) является ортонормарованной системой функций в 'йл, то (10.16) можно упростить: (10.17) В этом случае коэффициенты ат можно найти по формулам Эйлера - - Фурье (10.8). Однако построение ортонормированной системы (напримерь с помощью процесса ортогонализации Грима Шмидта из некоторого исходного счетного базиса) достаточно трудоемкий процесс. Способ нахождения коэффи- цИЕНтОВ ат дЛя ПРОИЗВОЛЬНОГО СЧЕТНОГО баЗИСа В ЯА НаЗЫВаЮт методом Ритца.
Суть метода состоит в следующем. 10.2. Мвтвды приняижвииопо рвшвния нзринционных задач 361 Если подставить (10.15) вместо и в квадратичный функцпонал 1,[и) = 'уи~~~~ — 2(2'., и), достигающий на обобщенном решении и„Е 'Нд своего наименьшего значения, то, учитывая (10.16), получим многочлен 2У переменных второй степени 1Жъ) =1~ к~~д — 2(У к) = = ~~) ан ~) а„Дит, ии)д — 2 2 а,н(Х, ит) т=1 н=л т=л относительно коэффициентов ат, т = 1, Х, определяющий дифференцируемую функцию в К~. Поскольку квадратичный функционал ограничен снизу, то эта функция также ограничена снизу и достигает минимума при некотором наборе значений коэффициентов а .
Для нахождения этих значений можно использовать необходимые условия минимума функции многих переменных: д,1в ~йк) =О, т=1,Х. с)пт В результате получим систему линейных алгебраических урав- нений (СЛАУ) (10.18) и=1 Матрицей СЛАУ (10.18) является матраца Громи для системы функций ит, ~п = 1, Х, относительно энергетического скалярного произведения. Эта матрица не вырождена, поскольку элементы ит, т = 1, 2У, линейно независимы ~1Ъ']. Поэтому СЛАУ (10.18) имеет единственное решение а„ж, и = 1, 2У. Второй индекс в обозначении коэффициентов а„к показывает, что они, вообще говоря, зависят от Х.
Пример 10.3. Из курса сопротивления материалов известно, что зависимость от продольной координаты х прогиба 362 10. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ВАРИАПИОННЫХ ЗАДА Ч ш(х) упругой балки, нагруженной распределенной по ее дли- не поперечной нагрузкой 9(х), удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению (ОДУ) — [ЕЗ, ) =9(х), хЕ [0,1), (10.19) где Е модуль упругости материала балки;,1 момент инерции поперечного сечения балки; 1 — длина балки. Произведение Е/ характеризует жесткость балки на изгиб. Примем, что Е,7 = сопз1, д(х) = д = сопз1, а концы балки имеют шарниро, з ные опоры (рис. 10.1), т.е.
в ю(х) точках х = 0 и х = 1 равны нулю прогиб и кривизна изогнуРис. 10.1 той продольной оси балки: ш(0) = ш(1) = ь а(0) = а а(1) = О. (10.20) — х +С1х+Сг Сг=О С1= —— я г 01 2 2' ю(х) = — х — — х' +Сзх+Сз, Д з 91 24 12 ш"'(х) = ух+ См и" (х) = и (х) = — х — — х +Сз, 9зЧ1г 6 4 -13 Сз = О, Сз =— 24 В итоге получаем уравнение изогнутой продольной оси балки; ш(х) = — (х~ — 2хз+х), х = — Е [О, Ц.
(10.21) 24 ' 1 Для принятых предположений дифференциальное уравнение (10.19) является операторным уравнением Аш(х) = д, опредеф ляемым линейным дифференциальным оператором А = — и дх4 граничными условиями (10.20). Функцию ю(х) можно найти, последовательно интегрируя уравнение и'" = д, где 9 = у((ЕЛ), и учитывая граничные условия: 10.2. Методы приближенного решения нариапионныл зада е 363 Из симметрии условий закрепления и нагружения балки следует, что максимальный пРогиб 1ошая балки бУДет в ее сеРеДине, т.е, при х = 1/2. В этом можно убедиться и формальным путем, если исследовать на экстремум функцию ш(х).
Из (10.21) при х = 1/2 следует хорошо известный из курса сопротивления материалов результат о1 =, д1 = = 0,013021д1 . Располагая точным решением краевой задачи для уравнения и1" (х) = д с граничными условиями (10.20), применим для ее решения метод Ритца.. Для этого предварительно выясним 14 область определения оператора А = — и его свойства. дт~ В качестве области определения оператора А примем множество СО4(0, 1) четырежды непрерывно дифференцируемых функций, удовлетворяющих однородным граничным условиям (10.20).
Это множество является линейным всюду плотным многообразием в гильбертовом пространстве 12[0., 1). Убедимся, что оператор А с заданной областью определения является симметрическим. В самом деле, для произвольных функций и1., о Е Р(А),последовательно интегрируя по частям,получаем 1 (АО1, О) = О(Х)юш(Х) 11Х = О(Х)юп'(Х) а О 1 и и и н — о (х)ш (х)11х = — о (х)и~ (х) + / о (х)ш (х)пх = О О О =о х)ш (х)' — / о (х)ш (х)11х = — о (х)ш(х) + О „1 а 0 + О"(Х)О1(Х) 11Х = Она(Х)Ш(Х) 11Х = (АО, Ю) . 364 10. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ВАРИАЦИОННЫХ ЗАДАН Также последовательным интегрированием по частям для произвольной функции ю Е Р(А) находим (Аю, ю) = ю(х) ю™(х) дх = О =ю(х)и~ (х)~ — / и~ (х)цр (х)дх = — ю (х)ю (х) + о,/ о о ! ./ ~ вь) *=/~ ьз' '-а и юк = ~~ а„в1пнлх, х = — Е [О, Ц, (10.22) и=-1 и отметим, что Юк удовлетворяет всем граничным условиям (10.20).
Подставляя (10.22) в функционал,У, [и~) и учитывая вид Сиэ Ретиорие К. Из равенства (Аиц ю) = 0 следует, что и~"(х) = — О, т.е. и~(х) = = С1х+Сэ. По из граничных условий (10.20) получаем С~ = = С2 = О. Поэтому ю(х) = 0 и оператор А является положительным. Можно доказать*, что оператор А с заданной областью определения является и положительно определенным, т.е, для некоторого числа у ) 0 верно неравенство (Аю,ю) > уз[[ю[[ ., ю е Р(А).
Поскольку операторное уравнение с симметрическим и положительным оператором А имеет в Р(А) решение (10.21)., то квадратичный функционал дв[ю] = (Аиц ю) — 2Я, ю) на этом решении, согласно теореме 9.2 о квадратичном функционале, достигает своего наименьшего значения.
Приближенное решение этого операторного уравнения представим в виде оиг 10.2, методы приближенного решения варианионных задач 36 1 скалярного произведения в гильбертовом пространстве Ь2!О, 1], получаем функцию Аг переменных Ля [йо2ч) = (Ай1„, 1!!и ) — 2 Я, 1о1ч) = и о! Х ~[ ~ Г'я ян-~у, „)'д ~ ям= п=.1 ш=! о 1 гих' ап~ — ) ~ аш / ЗШтПХ В1ПГ!ПХСГХ— — 2, ~1) 2 / п1 п=1 й — 2 — ~! а (10.23) го=! относительно коэффициентов а, т = 1, Л, являющуюся многочленом второй степени. Система функций (з1п11пх) на отрезке ~0, 1) ортогонаяьная (но не ортонормированная); 1 1 г е з1птпх и!пг!пхе1х = ~0, о т =и; т л- .и. Поэтому в данном случае необходимое условие минимума функции !10.23) приводит к СЛАУ с диагональной матрицей, что позволяет записать явное выражение для каждого коэффици- ента; 1 1)п а„=2, 5", иЕ14. (10.24) (ия)' Отметим, что коэффициенты а„не зависят от количества Аг рассматриваемых функций счетного базиса, что является следствием ортогональности счетного базиса.
Это означает, что формулы (10.24) дают точные., а не приближенные значения коэффициентов. 366 Ш. МЕТОДЫ РЕШЕНИИ ВЛРИЛЦИОННЫХ ЗАДА Ч Если в (10.22) ограничиться лишь одним первым слагаемым, то получим 4 з, г71 ~, ггях юг — — а1япях = — д1 япзх 0,013071 яп Е,У Это приближенное решение для максимального прогиба балки при х = 1/2 дает значение юи,„= 0,013071г71~/(Е.7), которое отличается от значения гоги,~, полученного из точного решения (10.21), менее чем на 0,5%.
Характерно, что при и = 2 имеем аз = О, т.е. функция яп2ях, будучи нечетной при переносе начала координат на рис. 10.1 в точку х = 1/2,,пе участвует" в формировании приближенного решения задачи, симметричной относительно этой точки. Из (10.24) видно., что такая же „участь" постигнет в (10.21) все слагаемые с четными номерами. Для и, = 3 имеем аз = 4у1з/(З.г)з 0,000054г714/(Е7) и 4 з 4 гоз =агвшях+азяшЗях = — „г71 вшях+ Ж" япЗях = „з гЗя)5 4о1", ях 1, Зях ~ вш — + — вш язЕ,! 1 243 1 ) =..( ) В точке х =1/2 получаем значение гоз — 0,013017, с пятью верными знаками после запятой совпадающее со значением щиг .
вычисленным по точному решению. Метод Ритца можно использовать для нахождения приближенного решения не только в случае квадратичного функционала. Процедура этого метода применима и тогда, когда не удается построить строго ввгпунлый функционал по вариационному уравнению, соответствующему заданному операторному уравнению А(и) = Т'.
Пусть в этом случае область определения Р(А) оператора А(.) (не обязательно линейного) является всюду плотной в сепарабельном гильбертовом пространстве 'Н и известна такая система (ив,) функций и„„Е Р(А)., ьч Е г1, образующая счетный базис в 'Н, что система (пгв) функций 10.2. 7егетоды приближенного решения вариапионных задач 367 е„, = А[и„,) также образует счетный базис в 'Н.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
