XV Ванько В.И., Ермошина О.В., Кувыркин Г.Н. Вариационное исчисление и оптимальное управление (1081425), страница 43
Текст из файла (страница 43)
ФОРМУЛИРОВКА ВАРИАЦИОННБ1Х ЗАДА Ч В данном случае вариационное уравнение голономное тогда и только тогда, когда левая часть этого уравнения представляет собой полный дифференциал некоторой функции >(и>,...,иж) многих переменных. Поэтому д д (~ ая и — Л,)= (~~> а пи — у" ), Й,.т=1,>>', >=1 или аь = а„„ь, Й, т = 1, >У. Итак, условие голономности вариационного уравнения (9.19) равносильно условию., что матрица оператора А в ортонормированном базисе симметрическая. Но последнее значит, что оператор А является самосопряженным.
Нетрудно показать, что в случае самосопряженного оператора А в качестве функционала,У можно взять,>'(и) = — (Аи, .и) — (и.,,1 ). 1 Перейдем к бесконечномерному случаю. Естественно предположить, что в гильбертовом пространстве голономность вариационного уравнения для линейного оператора также связана с условием симметричности этого оператора. Убедимся в этом. Предположим, что для заданного линейного оператора А в гильбертовом пространстве 'Н, имея>щего всюду плотнук> в 'Н область определения Х>(А), существует функционал 1~и), для которого >>,У~и, >>и) = (Аи — у., би).
Выбрав произвольные функции Ь, д Е 1>(А), рассмотрим функцию 9>(а,>3) = >'1и+оЬ+ дд), о, >> Е К. (9.21) Тогда ,3) 1. 9 ( + ~од3) -0>1 >3) аа — >О Ьа д)и + (о+ Ьо) Ь + >Зд) —,1 1и+аЬ+Дд) 1>п> аа — >О >ло = И~и+ оЬ+ дд, Ь) = (А(и+ оЬ+ дд) — у, Ь) = = (А(и+оЬ) — у, Ь)+ д(Ад, Ь). (9.22) 9.2.
Вариационное ураннение Мы видим, что функция д' (о, 11) дифференцируема по параме- тру 19 и ~р"д(о, ~3) = (Ад, Ь) . Аналогично можно показать, что существует вторая смешанная производная 4 (о,д) =(АЬ,д). Две смешанные производные 9а'~д и ~рз~ существуют и непрерывны (они попросту постоянны). Поэтому они равны, т.е. ~р'„'9 —— ,р~„. Следовательно, для любых функций Ь, д Е Р(А) выполняется равенство (Ад, Ь) = (АЬ,д) = (д., АЬ), т.е. оператор А, имеющий всюду плотную в 'Н область определения,,является симметрическим.
Нетрудно показать, что если оператор А симметрический, то левая часть вариационного уравнения (9.19) представляет собой первую вариацию функционала,У[и) = — (Аи, и) — (у, и). Действительно, 1 1 1[и+ 1би) — Я[и[ = — (А(и+ 1би), и+1би)— 1 — (у, и+ Яи) — — (Аи, и) + (у, и) = 2 = — [1(Аи, би) +1(Аби, и) +1~(Аби, би)) — 1(у, би) = = (Аи —,К, би) 1+ (Аби., би) —, откуда бд[и, би] = (Аи — у", би). Замечание 9.1. Мы рассмотрели случай операторного уравнения Аи = у с линейным оператором А. Однако вариационное уравнение (9.19) можно использовать и в нелинейном случае, но условия голономности вариационного уравнения в нелинейном случае более сложные, а восстановление функционала по голономному уравнению требует значительных усилий.
332 9. ФОРМУЛИРОВКА ВАРИЛ ЦИОННЫХ ЗАДА Ч 9.3. Примеры построения функционала по вариационному уравнению В 9.2 показано, что квадратичный функционал вида ,7,[и] = (Аи, и) — 2(у, и)., (9.23) соответствующий операпьорному уравнению Аи = у, где оператор А действует в гильбертовом пространстве 'Н, можно построить в случае, когда оператор А снмметрпческпй. Если этот оператор полоэттельный и уравнение Аи = у имеет решение ие Е Р(А), то это решение единственное (см. теорему 9.1). Если же оператор А и симметрический и положительный и уравнение Аи = у имеет решение ие, то, согласно теореме 9.2, функционал .7,.[и] (9.23) достигает на этом решении своего наименьшего значения 1,[ие] = — (Аиш ие).
Из примеров 9.10 и 9.11 видно, что симметричность и положительность оператора,. рассматриваемого на множестве функций, удовлетворяющих краевым условиям конкретной краевой задачи, существенным образом зависит от вида этих условий. В краевых задачах прикладного характера эти условия обычно неоднородны, и поэтому на таком множестве функций свойства симметричности и положительности оператора утрачиваются. Тем не менее и в такой ситуации в некоторых случаях можно построить функционал, соответствующий операторному уравнению краевой задачи, если использовать вариационное уравнение, равносильное этому операторному уравнению.
Поясним эту процедуру на конкретных примерах. Пример 9.12. Рассмотрим краевую задачу для обыкновенного дифференциального уравнения и' и(и) — +си(и) = ~(т), т Е [О, 1], (9.24) 9.3. Примеры построении функционала с краевыми условиями и'(0) — аи(0) = а, и'(1)+,Зи(1) = П, (9.25) где с, о, Й, р', р1' Е К: 1 (и) Е С[0, 1).
Как и в щ>имере 9.10, можно показать, что в случае однородных краевых условий (се = (3 = 0) линейный оператор ~е А = — — + Ме, действующий в гильбертовом пространстве д*' То[0,1), будет симметрическим, если в качестве его области определения взять всюду плотное в Ля[0,1] множество дважды непрерывно дифференцируемых функций, удовлетворяющих таким краевым условиям. Действительно, для произвольных функций и, о Е Со [О, 1), удовлетворяющих (9.25), последовательным интегрированием по частям получаем 1 = (и(со)о'(и) — и'(т)о(х)) + (и, Ао) = о = и(1) (,3 — 13о(1)) — о(1) (~3 — ри(1))— — и(0) (Б+ оо(0)) + о(0) (о+ ои(0)) + (и., Ао) = = 13(и(1) — о(1)) — се(и(0) — о(0)) + (и, Ао) .
Таким образом, при однородных краевых условиях (о = 11 = = 0) оператор А является симметрическим: (Аи, о) = (и, Ао). Но в общем случае этот оператор перестает быть симметрическим (он даже не является линейным). Построим в рассматриваемом случае вариационное уравнение (Аи — 1", би) = 0 вида (9.19). Учитывая выражение для оператора в (9.24), получаем 334 9.
ХОРМУЛИРОИКА ВАРО4ЦИОННЫХ ЗАДДЧ Интегрируем по частям и учитываем краевые условия (9.25)( | ( — на(х) + си(х) — ) (х)) би(х) (4х = 1 1 1 =-'(*( (( ~/'((ы((* )( ((-л((.('( = о о о 1 = — (ь-р (ц(~ (1(~(а~- (о((~ (щ~-~ '(*(ю '(*(ь~- е + ( (е ( ) — ((е((~"(с(~'- 5 17( о Учитывая общий вид первой вариации функционала интегрального вида (3.3), можем записать: б / Йх = / и''(х)би'(х)сХх, и Е С'[О., Ц, Г (н((х))' Г (9.28) 1 )'("'," -((*(а(.() '= и — ( ( ) — Д*((б (*(И*, ~ 7. (О 1(. (9.29( е ЬТ|и) = Т(и+ би) — Т|а) = = (и(а) + би(а)) — ни(а) = 2и(а)би(а) + (ба(а)), откуда бТ'(и, би1 = 2и(а)би(а).
(9.30) Для терминального функяианала Т(и~ = аи(а) (а фиксировано) непосредственным подсчетом находим 9.3. Примеры построения функционнлн (Аи — |, би) = о (ои(0) — 13и(1) + ) + сеиз(0) + Ди (1) ( (и (х)) + с(и(х)) ) б ~ | з ~ ~~ ~ ~ < ~ > и < х ~ > ~ х 2 о Видно, что это выражение является первой вариацией функци- онала ,7[и] = гхи(0) — е3и(1) + + | ( — |'и) с)х. оиз(0) + ~3из(1) Г (и')з + сиз о В качестве области определения Р(Л) функционала,У[и] можно взять Р(3) = С1[О,Ц. Из (9.26) следует, что каждое решение рассматриваемой краевой задачи является стационарной тонной этого функционала. Аналогично можно построить функционал о[и] — — + + + ор(а) и(и) ~Зр(б) и(б) стр(а) из (а) (1р(б) из (б) су1 А 2о1 2Щ (р(х) (и'(х)) + с(х) (и(х)) и х х 3 2 а с областью определения Р(3) = С'[о...б], стационарной точкой которого является решение краевой задачи для операторного уравнения — — (р(х) ) +с(х)и(х) = 1(х)..
х Е [сч б], се ди(х) с краевыми условиями о1и'(а) — ои(а) = ст, Яи'(б) + ри(б) = |1, (9.32) (9.33) Приведенные представления первых вариаций функционалов показывают, что правую часть (9.27) можно представить в виде 336 9. ФОРМУЛИРОВКА ВАРИАЦИОННЫХ ЗАДА Ч где с, ~ е С[аз Ь]; р е С' [аа Ь); р(а) р(Ь) ф О; о, ом о, А А, ь9 е В; о)А у- 'О. Убедимся в этом следующим образом.
Используя представления (9.28) — (9.30), находим вариацию функционала (9.31): б,У[и, би) — — + ор(а) би(а) Рр(Ь) би(Ь) о) А ор(а)и(а) би(а) )Зр(Ь)и(Ь) би(Ь) о( А Первый интеграл в правой части этого равенства преобразуем интегрированием по частям: Ь Ь ( Ь р(т) и) (х) би'(х) дх = р(х) и'(х) би(х) — / (р(х) и'(х)) би(т) дх а а а и после подстановки преобразованного интеграла в выражение для б1[иа би) получим оби(а) (3би(Ь) о1 А ои(а) би(а) ь9и(Ь) би(Ь) Ь Ь вЂ” (а(.). (*))'Б.(*) ~*,-) ( (.).(.) - П*)) ь(*)а* = а а ( )о+ои(а) — о1и'(а) би( ), (Ь))3 — д~(~) — Аи'(Ь) би(Ь)+ о( А ~)'(-(а(*) '(.))'~ (г).(*)-~(.)) ~ ( )~' а 337 д.о. Примеры построения функционала Если некоторая функция ив(х) Е С~[а, 5) является решением краевой задачи (9.32), (9.33),.
то зта функция обращает правую часть (9.34) в нуль, т.е. будет стационарной точкой функционала (9.31). Пример 9.13. Рассмотрим краевую задачу для уравнения Пуассона — Ьи(х) = ((х), х Е 1', (9.35) где т' Е 1к~ пространственная область, ограниченная кусочно гладкой повераностаью Я; 7'(х) Е С(1т) (см. примеры 9.8 и 9.11). Краевые условия задачи определим следующим образом. На участках Яв поверхности Я известны значения искомой функции и(х): (9.36) и(х) = д(х), х Е Яю а на остальных Участках Ял = Я 1 оо кРаевое Условие имеет вид Яи(х) п(х)+аи(х) = Ь(х), х Е Бю о Е К., (9.37) где 17 оператпор Гамильтона, .а ть(х) единичный вектор внешней нормали, к поверхности Я в точке х. Предполагаем, что д(х) Е С(Бо) и й(х) Е С(Яь). Рассмотрим линейный дифференциальный оператор А = — Ь, область определения Р(А) которого состоит из функций и(х) линейного многообразия Еи = Сг($') О С($' 0 Яд) О С ( т 0 Яв), удовлетворяющих краевым условиям (9.36) и (9.37).
Область определения оператора всюду плотна в гильбертовом пространстве Ла(1т), а если д и й тождественно равны нулю, является линейным многообразием в Лз(Г). В атом случае оператор А является симметрическим. Действительно, при д = О и й = О оператор А линейный. Кроме того, для произвольных функций и и и из области определения оператора, используя равен- 338 9. ФОРМУПИРОБКА НАРИАНИОННЫХ ЗАДАЧ ство (9.15), получаем Оь.п-[.д.)=|( в.—.в )а =|[ ~ —.~ ) гг= в д(~ус — Яи)пЙЯ+ 6(и — и) МЯ = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
