XV Ванько В.И., Ермошина О.В., Кувыркин Г.Н. Вариационное исчисление и оптимальное управление (1081425), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Если неравенство (8.59) выполняется при любых, необязательно малых, начальных возмущениях, то говорят об оппгимальной стпобилизации в целом. Задача оптимальной стабилизации это задача опшимальибго управления для системы с законом движения (8.57), целевым функционалом (8.58), фиксированным временем процесса Т = оо, фиксированным левым концом х(11) = х1 и фиксированным правым концом х(оо) = О. Ее можно полностью решить в случае, когда управление скалярно (и = и Е Е), уравнения возмущенного движения являются линейными автономными, т.е.
имеют вид х = Ах + ВЬи (матрицы А, В постоянны), а интегринт целевого функционала Рб(1,х,ььи) есть квадратичная 308 8. МЕТОД ДИНАМИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ форма с постоянной симметрической матрицей Х и константой сс: г' ($,х,Ьи) = х гсх+у(Ьи) . Решение задачи в этом частном случае составляет основное содержание метода аналитического конструирования регулятора". Оно строится с помощью метода динамического программирования Беллмана.
Так как зта задача представляет собой автономную задачу оптимального управления с фиксированными концами, функция Беллмена зависит только от фазовых координаьи сл = 1с(х). Уравнение Беллмена в данном случае имеет вид пинах Хх+ дуста+ (8тас1р,. Ах+ Вяхи)~ = О. 18.60) Ьв Здесь оно используется как достаточное условие оптимально- сти**. Из уравнения (8.60) получаем управление Ьи*, доставля- ющее минимум левой части: 1 сан* = — — (8гас1 р, В) . 2сс (8.61) х Жх+(8гас1р, Ах) — — ц8гас1И, В))9 = 0 (862) 4д с краевым условием р(хсоо)) = р(0) = О. *Сьь: Дсспов А.М. *По поводу обоснования уравнения Беяямана как необходимого и достаточного условия оптимальности смл Болтянский Б.Г. О 9бв г.) Подставив найденное управление Ьи* в уравнение (8.60), получаем нелинейное уравнение в частных производных первого порядка относительно функции Беллмана 1с(х) ЗОО Вопросы и аадати Решение уравнения (8.62) следует искать в виде квадратичт ной формы р(х) = х Рх с неизвестной симметрической матрицей Р порядка п (неизвестных элементов п(п+ 1)/2).
Подставив это представление в уравнение, получим х (Х+ 2РА — — РВВ Р) х = О, откуда вытекает матричное уравнение* Х+ 2РА — — РВВ Р = О. о Решив это матричное уравнение, мы можем найти функцию Беллмана, а затем управление тли* как функцию фазовых координат: 1 Ьи = — — В Рх. Д Таким образом, метод аналитического конструирования позволяет решить задачу синтеза, при этом синьаезируюил я функция линейна. Приведенный пример использования уравнения Беллмана— один из немногих, так как решить его удается редко.
В этой связи упомянем линейные автономные системы с критерием обобщенной работы**. Вопросы и задачи 8.1. Используя метод динамического программирования, решите задачу оптимального быстродействия х = ах+и, х1в1) = х~., х(вз) = О, ~и~ < 1. Уравнение такого типа в литературе называют матричным уравнвнием Риккати. "*Слк: Лрасовскнн А.А. 310 8. МЕТОД ДИНАМИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ 8.2. Составьте уравнение Беллмана в следующих задачах оптимального управления: и (2 1 — их1 + х21 а) (о(1,х1.,х2) й1 -+ 1п1п, х1(0) = х'„ о ~х2=и х210) = х21; (х~ — и1х1 + х21 б) )~11, х1,х2) й — 1 ппп, х110) = х11, х2 и2~ о х210) = х21, (и1) < 1, )и2! < 1.
Учитывая вид области управления 17, запишите соответствующее уравнение в частных производных для функции Беллмана (х1~, х2, т заданы). 8.3. Составьте уравнение Беллмана для линейной задачи оптимального быстродействия с законом движения 17.30) и областью управления 17 вида 17.37). Учитывая вид 17, запишите соответствующее уравнение в частных производных для функции Беллмана. 9. ФОРМУЛИРОВКА ВАРИАЦИОННЫХ ЗАДА'Ч Первые две части книги посвящены изучени1о задач, связанных с поиском экстремума, функционалов определенного на некотором множестве функций.
Как мы видели, во многих случаях решение такой задачи сводится к решению системы обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) или уравнений в частных производных. Систему дифференциальных уравнений можно рассматривать как операторное уравнение. Таким образом, задача поиска экстремума функционала сводится (при определенных ограничениях) к решению некоторого операторного уравнения. Это аналогично тому, что задача поиска минимума функции многих переменных с помощью необходимого условия экстремума может быть сведена к задаче решения системы нелинейных уравнений. Однако есть и обратная связь, когда решение операторного уравнения (и аналогично системы нелинейных уравнений) можно заменить решением некоторой вариационной задачи (соответственно задачи поиска минимума функции многих переменных).
Можно также интерпретировать рассматриваемое операторное уравнение как уравнение на определение стационарных точек функционала, специальным образом подобранного. Построение математических моделей на основе вариационных задач в современной науке используется весьма широко. Это объясняется тем обстоятельством, что многие фундаментальные принципы в самых различных предметных областях наиболее естественно формулируются как вариационные принципы. Достаточно в этой связи упомянуть закон сохранения энергии, который естественно сформулировать как равенство нулю вариации функционала энергии системы. 314 9.
<г<ОРмУДНРОВИА ВАРНАЦНОнных 3АДАч Сведение вариационной задачи (т.е. задачи поиска либо точек экстремума функционала, либо его стационарных точек) к операторному уравнению — далеко не всегда хороший способ решения задачи. Это обстоятельство привело к разработке ряда методов, в которых решение вариационной задаги можно найти без использования систем дифференциальных уравнений. Такие методы решения вариационных задач называют прямыми методами. Эти методы, как правило, сводятся к построению последовательности приближений к точному решению задачи, а каждое приближение находится как решение системы функциональных уравнений, в которую не входят производнь<е неизв<'стных функций. Зачастую си<тема функциональных уравнений представляет собой систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), а решение СЛАУ найти существенно проще, чем решение операторного уравнения.
9.1.Операторное уравнение Любое отображение А: Р(А) — ~ Л(А) из некоторого множества Р(А) функций в некоторое множество Л(А) функций называют опера<пором. Во многих случаях в качестве матем<1пп«есной <яоделв исследуемого объекта, описываемого векторной функцией и, можно рассматривать уравнение вида А(и) = — у< и Е Р(А)< (9.1) содержащее оператор А с некоторой областью определения Р(А). Этот оператор отражает свойства объекта и действует на искомую функцию и (вообще говоря, векторную), и заданную функцию у (в общем случае тоже векторную), характеризующую внешнее воздействие на этот объект. Мы ограничимся случаем, когда область определения Р(А) оператора А является подмножеством некоторого линейного пространства.
Линейное пространство, как правило бесконечномерное, элементами которого являются функции, часто 315 9.1. Операторное уравнение Пример 9.1. Множество 12Я функций, суммируемых с квадратом на измеримом множестве Й с Кн, представляет собой гильбертово пространство со скалярным произведением 11'., д) = Дх)91х) дх.
(9.2) Элементами этого пространства являются функции у: Й вЂ” 1 11, для которых конечен интегерал Лебееа ((й'= (йх)(здх (9.3) 'Д. Гильберт 11862-1943) — великий немецкий математик, оказавший большое влияние на развитие современной математики. Внес значительный вклад в развитие как функционального анализа, так и вариационного исчисления. Положил начато развитию прямых методов в вариационном исчислении. называют функт1иональным простпранстпвом.
Функциональное пространство наделяют какой-либо структурой, позволяющей оперировать с понятием непрерывности. В частности, функциональное пространство может быть нормированным (определена норма) или евклидовым (задано скалярное произведение). Евклидово пространство можно рассматривать как частный случай нормированного пространства, поскольку скалярное произведение естественным образом индуцирует норму, называемую евклидовой нормой. В нормированных пространствах можно рассматривать сходящиеся последовательности (1Х). Критерий Коши верен не для всякого нормированного пространства, т.е. в нормированном пространстве могут существовать фундаментальные последовательносгаи, не имеющие предела.
Если в данном нормированном (евклидовом с евклидовой нормой) пространстве любая фундаментальная последовательность сходится, то такое пространство называют полным. Полное бесконечномерное евклидово пространство традиционно называют гильбертовым*. З1б д. оорм~лировкА влрилционных злдл ч (в скалярном произведении также предполагается интеграл Лебега). Интеграл (9.3) определяет евклидову норму ))1'(( = ((~!) в этом пространстве, сходимость по которой называют сходимостпью в среднем нвадратпичном. Пример 9.2. Рассмотрим множество Ь2(11,о) функций у": й — ~ К, определенных на измеримом множестве й б Ка, для которых конечен интеграл Лебега где о неотрицательная измеримая на П функция. Это множество представляет собой гильбертово пространство функций, интегрируемых с нвадратпом и весом о.
Скалярное произведение в этом пространстве имеет вид (9.4) У, д) = у(х)д(х)о(х) д Отметим, что в функциональных пространствах, в которых скалярное произведение вводится с помощью интеграла Лебега, считают равными любые функции у и д, для которых множество (х Е К: Г"(х) фу(х)1 есть множество (лебеговой) меры нуль. Это гарантирует выполнение аксиомы скалярного произведения (и соответственно нормы), согласно которой (1, у) = О только для нулевого элемента линейного пространства. Пример 9.3. Гильбертовым также является линейное ПРОСтРаНСтВО Ь2 ~ (й) ВЕКТОРНЫХ фУНКЦИй У': Й вЂ” > К~, Й С Кв, для которых конечен интеграл вув2 ~у~ ) у~ Здесь (х, у) обозначает стандартное скалярное произведение векторов х и у т;мерного евклидова арифметического пространство,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
