XV Ванько В.И., Ермошина О.В., Кувыркин Г.Н. Вариационное исчисление и оптимальное управление (1081425), страница 44
Текст из файла (страница 44)
вг нв В общем случае для вариационного уравнения, соответствующего заданной краевой задаче, имеем (9.38) (Аи — |, ди) = ( — Ьи — |') дисЛ = О. Используя первую формулу Грина и краевые условия и учитывая представления г 2 д Лг = хУи дхгиМЪ; д / еИ = егида еБ, (9.39) 2 12 У яв ьв аналогичные (9.28), (9.29), находим | ( — Ьи — |)диЛ" = — Г1итьдийЯ+ ЧигУ(ди)Л'— Ъ в — |диЛ'= — (и — ои)диМЯ+ хУиР(ди)е11г — д |иЛ'= Яв Ъ Ъ ( " -ь„)м~ь|(' "~ -гк)г =а а.а) ва 2 Обратим внимание на то., что поверхностный интеграл на участках о поверх Я ерхности Я исчезает, поскольку на Яв заданы значения искомой функции и, следоват , : ' о.
ельно ди = О на Кроме того, мы использовали и краево. у о словис (9.37). 339 9.Х Примеры построения Функционала сеня "=К "-.)""Ь -")" Г яя В качестве области определения этого функционала можно взять линейное многообразие С'(у) У1 С(у'Ы Я)., всюду плотное в Рэ(Г). Согласно проведенным выкладкам, первая вариация этого функционэланамножестве Л(А) совпадает с (Аи — 7', ди).
Аналогично можно построить функционал с областью определения Л(,У) = С1(у') Г~ С(1'0 Я), соответству- ющий операторному уравнению (9.43) — 17(к(х)~7и(х)) = )'(х), х Е 'у', с краевыми условиями с и(х) = д(х), х Е Яя, (9 44) о1(х)Чп(х)п(х)+а(х)и(х) = Ь(х), х Е Яа, где ~ Е С( у ); к. Е С ( у') у1 С(Ял); и ~'= О на ол,' сто о, 6 Е С(оа); сх1 у- О на Ял.
Убедимся в том, что вариация функционала,7[и) в области определения Р(А) оператора А, состоящей из функций линейного многообразия Ен, удовлетворяющих краевым условиям (9.44), совпадает с выражением (Аи — )', ди). Для этого вычислим вариацию функционала, учитывая представления (9.39): 1' й 5Я[н,би1 = Имн4~7иИЪ' — 7оисЛ1+ / — (оп — 6)5иссЯ. Як Предпоследняя часть равенства (9.40) является вариацией функционала 340 9. ФОРА1У,ЛИРОВКА ВАРИАЦИОННЫХ ЗАДАН Первый интеграл в правой части этого равенства преобразуем с помощью формулы Остроерадскоео — Гаусса: )сЧибЧидУ = сЧиЧ(би)Л' = к и ИЧипбисБ — Ч()сЧи) бидУ.
Подставляя преобразованный интеграл в выражение для б,7~и, би) и учитывая, что би = 0 на Яю находим бд[и, би) = )сЧипбидЯ вЂ” Ч(кЧи)би<й'— — |ую«.л ~| — [ -ь)~ ня=-|с7(к,)~.пьл + Г к о~ ля и Г 1с + / — (соЧип+пи — 6)бисИ. (9.45) ./ сп Пример 9.14. Попытаемся для краевой задачи (9.9), (9.10) построить по вариационному уравнению (9.19) функционал, соответствующий операторному уравнению этой задачи. Вариационное уравнение (9.19) в данном случае имеет вид Г ( — ио(х) + д(и) — |(х)) би(х) дх = О.
а (9.46) Проведенные выкладки показывают, что первая вариация этого функционала на множестве 1З(А) совпадает с (Аи — Г,. би). Если некоторая функция ио является решением краевой задачи (9.43), (9.44), то правая часть (9.45) обращается в нуль, т.е. эта функция будет стационарной точкой функционала (9.42). 241 9.3. Примеры построения функционала Левую часть (9.46) представим суммой двух интегралов: (9.49) Ь Ь вЂ” ( н( (+Л*Н~ ( (~*~-|~( ° (~ (к(~ =0 Ол7( а а Для первого интеграла в (9.47), так же как в примере 9.12, принимая во внимание то, что би(а) =, у = О, и читывал второе краевое условие (9.10), находим Ь Ь вЂ” (ип(х) + |(х)) би(х) евах( = — и'(х)бн(х) + н ( а Ь Ь ((*( о (,()'~ — /у ( ( ю (*(~* = - (а - .
( о( ф о( ~ а а и(Ь) Ь .'(*ц '(*(ы-|~Сй*( (*((а*=-1(е.о(-| (.(~ ) ~- О а а + б / ~ — |(х) н(х) (1х. (9.48) ь /(„'(х)) 2 2 а Второй интеграл в (9.47) представим в виде Ь Ь а(х) (1(и) би(х) ейх = б дх д(и) сКи. а О В итоге из (9.47) — (9.49) получаем и(Ь) — б ри(Ь) — я(и) еьи + О Ь и(х) |('"'" -х(.((и» ('.
1.(.(.= 2 а 342 9. ФО1'АсУЛИРОВКА ВАРИАЦИОННЫХ ЗАДАЧ Левая часть этого равенства есть первая вариация функционаяа О, г О ,1[и) = — /Зи(6) + / ах — 1(х)и(х) ссх+ р (и'(х)) 2 х а О и(х) ч(Ь) + с1х с?(сс) с1сс+ з(и) с1и, (9.50) а О в качестве области определения Р(д) которого возьмем линейное многообразие С'[а, 6).
На множестве функций и(х) из РЯ., удовлетворяющих краевому усгловию и(а) = сх., вариация функционала совпадает с левой частьк> (Аи — 1,. би) вариационного уравнения. 9.4. Исследование выпуклости функционала Для каждого из построенных в примерах 9.12 9.14 функционалоо пока удалось лишь установить, что если соответствующая ему краевая задачи имеет решение, то это решение является стационарной точкой этого функционала. Естественно, возникают вопросы: будет ли у такого функционала эта точка единственной и будет ли в этой точке функционал достигать наименыпего или наибольшего значения? Ответы на эти вопросы можно получить путем проверки свойства выпуклости функционала.
Подмножество М линейного пространства ь называют выпуклым мнозкестпвом., если для любых элементов и, и Е М и любого числа о Е [О, Ц элемент ои+ (1 — о)и также принадлежит М. Простейшим примером выпуклого множества является само линейное пространство ь, а также любое его линейное. многообразие. Функционал д[и1,. определенный на выпуклом множестве М = Р(д), называют еыпуклылс функционалом, если для любых им иэ е М и о.
ч [О, 1] д[сси~ + (1 — о)иг1 ( о д[ис) + (1 — сг)1[из). (9 51) 9.4. Исследование выпуклости функционала 343 Ксли при любых ит ф иг и о Е (О, 1) в (9.51) выполнено строгое неравенство, т.е. Е(имия) =а',)[и~]+(1 — о),1[ив] —.Т[ои1+(1 — ст)ия] >О, (9.52) то функционал т'[и] назывв1от строго выпуклым фуннционалоле. Отметим, что в линейном пространстве ее~ понятие функционала сводится к понятию действительной функции одного действительного переменного. В этом случае понятие выпуклого (строго выпуклого) функционала равнозначно понятию выпуклой вниз (строго выпуклой вниз) функции [Н].
Пример 9.15. Выпуклым функционалом является линейный функционал. В нормированном пространстве Л выпуклым функционалом является норма ~~и~~, так как из неравенства треугольника следует, что ((ои+ (1 — о)и)! < ((ои((+ (((1 — о)и)) = = о ))и)! + (1 — ст) ((е((, и, и Е ЛГ. Взяв неубывающую строго выпуклую вниз функцию 1(и) действительного т (например, 1(ье) = г, ), получим строго выпуклый функционал т'[и] = ~())и)!). Действительно, ~Дои+(1 — о)е//) <1(о//и//+(1 — о) !!и!/) < < о~Ци(!)+ (1 — о)~(((е)!), и., тт ЕЛ.
В частности, !)и!) строго выпуклый функционал в нормиро- 2 ванном пространстве. Замечание 9.2. Непосредственно из определений вытекает, что сумма выпуклых функционалов является выпуклым функционалом, а сумма выпуклого и строго выпуклого функционалов является строго выпуклым функционалом. В частности, если г'[и] — — линейный функционал и функционалы е [и] и Ут [и] связаны соотношением /[и] = т1[и] + У[и], то они выпуклые 344 у, рорыулировкл влрилционных злдлч (строго выпуклые) одновременно.
Это означает, что при исследовании функционала а[и] на выпуклость в его представлении можно опускать линейные относительно элемента и слагаемые. Например, квадратичный функционал,1[и] = (Аи, и) — 2(у, и) будет выпуклым (строго выпуклым) тогда и только тогда, когда выпуклым (строго выпуклым) является функционал,72 [и] = = (Аи, и). Пример 9.16. Выясним, при каких условиях функционал ,72 [и] = (Аи, и), построенный по линейному оператору А, будет строго выпуклым. Для этого необходимо проверить неравенство (9.52). Для произвольных элементов и, о Е Р(А) имеем Шиыиз) = сг[Аиы ис) + (1 — о) (Аия, иа)— — (А(оис + (1 — о)ия), оис + (1 — а)и2) = =ст(1 — о)((Аимис)+(Аиг,иа) — (Аиыиа) — (Аиа,ис)) = = о.(1 — о) (А(ис — и2)., ис — иа) .
Так как ст(1 — о) ) О при ст е (О, 1), заключаем, что функционал За[и] = (Аи, и) будет строго выпуклым, если А нолозсецтельный оператор. Выпуклые функционалы имеют несколько важных свойств. Свойство 9.1. Ограничение выпуклого (строго выпуклого) функционала на выпуклое множество является выпуклым (строго выпуклым) функционалом. ~ Пусть о'[и] --- выпуклый функционал и М С Р(д) --.- выпуклое множество. Тогда функционал,Ум[и]с определенный на множестве М и совпадающий на этом множестве с функционалом 3[и] (т.е.,7сс[и] есть ограничение,У[и] на М), будет выпуклым функционалом.
Действительно, для любых элементов и, е Е М и любого о. Е (Ос 1) элемент ои+ (1 — о)и принадлежит М и при этом, в силу выпуклости функционала,У[и], верно неравенство (9.51). А это и значит, что функционал Ум[и] выпуклый. 9.4. Исслвдованио выпуклости функционала 345 Рассуждения в случае строго выпуклого функционана анало- гичны. в Свойство 9.2. Если функционал л [и] выпуклый (строго выпуклый), то при с > 0 (с > О) функционал с.7[и] тоже выпуклый (строго выпуклый). ~ Свойство выпуклости функционала,У[и] означает выполнение неравенства (9.51). Умножив зто неравенство на с, получим утверждение о выпуклости функционала сУ[и].
В случае строго выпуклого функционала рассуждения аналогичны. ~ Свойство 9.3. Если 1[и] выпуклый функционал, а у(х) -. выпуклая (вниз) неубыва1ощая функция действительного переменного х, определенная на всей числовой оси, то композиция 1[о [и]) выпуклый функционал. В частности, если,7[и] -. линейныйфункционал,то/ [и] -. выпуклыйфункционал.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
