XV Ванько В.И., Ермошина О.В., Кувыркин Г.Н. Вариационное исчисление и оптимальное управление (1081425), страница 46
Текст из файла (страница 46)
1в1,1[и) = о ) — оо. ваап(.к> Бесконечную последовательность элементов ин Е Р(,1), п е И, для которой 11п1,1[и„) = о, и — ~со называют минимизирующей последовательностью функционала,1[и1. Построение минимизирующей последовательности позволяет найти наименьшее значение рассматриваемого функционала. При некоторых дополнительных свойствах функционала можно утверждать, что минимизируя>щая последовательность является фундаментальной в заданном функциональном пространстве. В случае полноео функционального пространстпва это означает, что минимизирующая последовательность (и„) сходится по норме пространства к некоторому элементу ив, который будет точкой минимума функционала, если функционал непрерывен.
КвадРатичный фУнкцнонал да[и) = (Аи, и) — 2(1, и), соответствующий операгаорному уравнению Аи = 1" с самметпричвскцм оператором А, .определен лишь в обласлпн определения Р(А) этого оператора. Всюду в Р(А) этот функционал имеет первую вариацикв б1[и) = 2(Аи, би) — 2® би). Если А 354 пь метОДы РешениЯ ВАРНАЦНОнных ЗАДАЧ является линейным подпространством гильбертова пространства 'Н (т.е.
замкнутым линейным многообразием). Если же Р(А) относительно энергетического скалярного произведения не является полным, то его можно пополнить, т.е. расширить до полного евклидова пространства 'Нл, причем такое пополнение можно провести в рамках гильбертова пространства 'Н. Полное евклидово пространство Нл называют энереегпичесним просгпранстпвом. Нетрудно видеть, что функционал энергии 1,, [и] естественным образом продолжается на все линейное пространство 'НА с помощью той же формулы (10.4). Теорема 10.1.
Если А положительно определенный оператор в 'Н и иа -. решение операторного уравнения Аи = у, то любая минимизирующая последовательность функционала энергии сходится к иа. ~ Пусть Аиа = у и и Е Р(А). Тогда, используя свойства ска- лярного умножения и учитывая симметричность и положитель- ность оператора А, получаем ,1, [и] = (и, и) „— 2 (Аио и) + (иа, ио)А — (ио, ио) А = = (и — ио, и — ио)А — (ио, ио)А = = [[и-ио[[', — [[ио[[,'1 ~ — ][ио[]',,. (10.6) Из этих преобразований видно, что элемент ио является точкой минимума функционала Т,[и] и значение,У,[ио] = — [[ио[[ с для функционала наименьшее. При этом ]]и — ив[["~ —— ,Т,,[и]+ [[ио[[сл —— ,У,,[и] —,1,[иа].
Если последовательность 1и„) функционала Т,[и], то,У,.[ил]— и [[и„— ио]] л — + 0 при п — ~ оо, вательность сходится к ио по последовательность сходится к пространства 'Н.~ь является минимизирующей для Я,,[ио] — ~ 0 при и — ~ оо. Значит, т.е. минимизирующая последоэнергии. Согласно (10.5), эта ио также по норме гильбертова 10.1. Минимизирующие ноеледоннтельноети Напомним, что в случае положительного (в частности, положительно определенного) симметрического оператора А любое решение операторного уравнения Аи = у является точкой минимума функционала энергии и наоборот (см.
теорему 9.2), а согласно теореме 9.1, такая точка единственная. Но вопрос, существует ли такая точка и при каких условиях, пока открыт. Теорема 10.2. Функционал энергии имеет в энергетическом пространстве точку минимума, и притом единственную.
~ Согласно представлению (10.4), функционал энергии,Уз [и) является строго выпуклым, так как в этом представлении слагаемое 2(у, и) является линейным функционалом и его можно не учитывать (см. замечание 9.2), а другое слагаемое - квадрат нормы является строго выпуклым функционалом (см. пример 9.15).
При этом, согласно неравенствам Коши — — Буняковского и (10.3), Лз[и)= ))и(),1 — 2(У,и) > ))и))д — 2((У))()и)! > ))и)! 4 — —, ((У)(л))и((4 —— 2 = ((и((, (((и((4 — —, ))~)), ) «+со, ((и)) — +ос. Нетрудно убедиться, что относительно энергетической нормы функционал энергии непрерывный, функционал. Действительно, с учетом неравенства (10.5) имеем (1,[и+ би) —,1,[и) ! = ((и+ ди)! ~ — 2(у, и+ би) — ))и!) 4+ 2(у, .и) < < ))и+Би))4 — ))и))4 +2((1,5тл)! < 2)(и, бтл)д~+ !)ди(( 4+ + 29у9 ()6и9 < 2))и))4 )(ди((4+ ))би((~«1+ — ((У))л ((ди)!л -«О 7 при [~ди~~д — «О. Л это и означает, что функционал,У,[и) непрерывен в произвольно взятой точке и Е Р(Я,). 356 10. |ИЕТОДЪ| ВЕШЕНИЯ ВАРИАЦИОННЫХ ЗАДА*1 Итак, функционал энергии непрерывен. Поэтому в силу свойства 9.4 он достигает наименьшего вил|ения в энергетическом пространстве.
Согласно свойству 9.5, точка минимума у строго выпуклого функционала единственная. Ь Как утверждается в доказанной теореме, функционал энергии достигает наименьшего вин|ения на некотором элементе и„причем наименьшее значение функционала равно — ~~и, ~~ А. 2 Если и, Е Б(А), то этот элемент, согласно теореме 9.2, является решением операторного уравнения Аи = у. Но это выполняется не всегда, и если и, ~ В(А), то операторное уравнение не имеет решений, так как любое решение ие операторного уравнения есть точка минимума функционала |е(и].
Нетрудно показать, что тогда ие есть точка минимума функционала энергии и в 'НА, т.с. должна совпадать с и„. Если операторное уравнение Аи = у имеет решение, то его наэывалот классическим решением. В случае симметрического положительно определенного оператора А, если операторное уравнение не имеет решений, интерес представляет точка минимума и„функционала энергии, ее называют обобп1енным решением уравнения Аи = у. Напомним. что 'Н = Лв(й) есть сепарвбельнос еильбсрт»- во просгпранстео. Можно показать*, что и соответствующее энергетическое пространство ЯА С Я, будучи линейным подпространством гильбертова пространства 'Н, также является сепарабельным. В таком линейном пространстве существует счетвьп1 бизис (и~).
При этом, так как, по предположению, Л(А) всюду плотно в 'Н, счетный базис можно построить только из элементов этого множества (1Х]. При заданном счетном базисе обобщенное решение можно представить в виде и,= ~~ атино амбал, (10.7) ее= ! Син Треноеин В.А. 10. Ь Минимизирующие последовательности 357 где сходимость ряда рассматривается относительно энергетической нормы.
Если последовательность (и ) является ортонормнроеинной сншпемой функций гильбертова пространства 'Йя, то ряд 110.7) будет рядом Фурье по этой системе и его коэффициенты аю можно найти по формулам Эйлера — Фурье: а = Си„и )л = Ц,и,„), га Е И. 110.8) Последовательность функций Х йл = ~ атию Л" Е 1ц, 110. 9) 1пп ))Айьх — ~(( =О, 110.10) т.е. стремится к нулевому элементу невязка в уравнении Аи = = у" при подстановке в него приближенного решения йлс. Соотношение 110.10) имеет смысл лишь в том случае, когда и е ОСА), т = 1, ДС. представляющая собой последовательность частичных сумм ряда 110.7), сходится по энергетической норме к обобщенному 1или классическому) решению и„.
В силу непрерывности функционала энергии эта последовательность является минимизирующей для функционала де[и). Элемент йл при фиксированном дс называют приближенным решением операторноео уравнения Аи = у. Если счетный базис является ортонормированным, то для частичных сумм ряда 110.7), являющегося в этом случае рядом Фурье, верно соотношение ((им ьс — и„))л < ))ил — и.((,, Х = 1, 2, ..., т.е. последовательность (((ик — и,)) л) монотонно убывает. Значит, с ростом числа Дс функций и „используемых в приближенном решении 110.9), точность приближенного решения св смысле энергетической нормы) уравнения Аи = у возрастает. Однако сходимость минимизирующей последовательности еще не означает, что 358 Ш. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ВАРИЛ ЦИОННЫХ ЗЛДЛ Ч Отметим, что установленные для случая положительно определенного оператора результаты имеют, главным образом, теоретическое значение, поскояьку на практике этот случай встречается достаточно редко.
Однако возможность построить минимизирующую последовательность в некотором сепарабельном гильбертовом пространстве лежит в основе методов приближенного решения широкого круга прикладных вариационных задач. При этом важно предварительно убедиться, что это пространство совпадает с множеством донусгаимых функций для функционала, входящего в вариационную формулировку конкретной краевой зада ~и. В качестве такого пространства обычно можно выбрать множество функций, интегрируемых с квадратом и с весом вместе со своими производными определенного порядка.
Пример 10.1. Рассмотрим функционал .1[и], определяемый соотношением (9.31), .в котором р(х) > О, с(х) > 0 на отрезке [а, Ь] и о/о1 > О, ф)31 > О. Областью определения этого функционала является линейное многообразие С' [а, Ь] в гильбертовом пространстве Ля[а, Ь]. Введем в С'[аз Ь] скалярное произведение по формуле (и, и)— ор(а)и(а)и(а) рр(Ь)и(Ь)и(Ь) + + сп ))1 Ь Можно показать, что выполняя>тся все аксиомы скалярного умножения. Пополненное относительно этого скалярного умножения линейное многообразие С'[а, Ь] становится сепарабельным гильбертовым пространством, в котором функционал 1[и] можно записать в виде 1 г ор(а) и(а),Зр(Ь) и(Ь) Уи] = — (!и)( — / Т(х)и(х) Нх+ 2 / о1 4 о 10.1. Л1инимиэирунниио нослодонлтольиооти 359 а сходимость минимизирующей последовательности этого функционала рассматривать по норме, индуцированной скалярным произведением (10.11) .
Пример 10.2. Функционал,7~и) (9 42) определен на линейном многообразии Р(,7) = С'(1л) О С(Г) в гильбертовом пространстве Лз(Р ). Он является выпуклым при 1(х) > О, а Е 'т', и О(ж)/а1(а) > О, ж Е Яь (см. пример 9.18). В Р(У) можно ввести скалярное произведение Г йо (и, е) = 1с'~и~7иМЪ'+ / — иеАЯ. (10.13) О1 После пополнения относительно введенного скалярного умножения получаем сепарабельное гильбертово пространство, в котором функционал можно записать в виде ,1~и) = — //и// — ! ГпЛ' — / — ЬисБ. (10.14) 2 / (м1 Сходимость минимизирующей последовательности этого функционала удобно рассматривать относительно нормы, индуцированной введенным скалярным произведением.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
