XV Ванько В.И., Ермошина О.В., Кувыркин Г.Н. Вариационное исчисление и оптимальное управление (1081425), страница 45
Текст из файла (страница 45)
~ Для выпуклой функции при любых х, у Е К и ст Е (О, 1) верно неравенство 1 [стх+ (1 — о)9) < сто(х) + (1 — ст)1(9). Рассматривая в качестве х и у значения функционала, получаем Я[пи1+ (1 — ст)из]) < т'(о,7[и~] + (1 — о)о [и2]) < < ст1 [,1[и1]) + (1 — о-) 1 [l[и2]), где им из Е Р(л); с Е (О, 1). Если,у[и] — — линейный функционал, то ],У[и]] — выпуклый функционал, так как ]У[с и1+ (1 — ст)из]] = ]сс1[и1]+ (1 — о)3[из]] < < ст],У[и1]]+ (1 — ст)]л [из]], где им из Е РЯ, ст Е (О, 1). Выбрав выпуклую неубывающую функцию 1(х), равную х~ при х > 0 и нулю при х < О, заключаем, что функционал,У [и] = ~[],)[и]]) является выпуклым.
~ 346 9. ФОРМУЛИРОВКА ВАРИАНИОННЫХ ЗАДАЧ Свойство 9.4. Непрерывный выпуклый (в частности, непрерывный строго выпуклый) функционал З [и] достигает наименьшего значения на любом замкнутом ограниченном множестве в гильбертовом пространстве 'Н. Если /[и] — >+ос при ]]и]] — + со, то выпуклый функционал,7[и] достигает наименьшего значения на любом замкнутом в 'Н множестве'. ф Свойство 9.5. Если строго выпуклый функционал /[и] достигает на выпуклом множестве М своего наименьшего значения,7,, то элемент и„, на котором достигается это значение, единственный. ~ Пусть,7[и>] =,7, =,1[ив]. Тогда, полагая о = 1/2 в (9.52), получаем 1 1 >Ч(и>, из) = — /[и>] + — /[из]— 2 2 —,У[ — и>+ — из1 =,1„—,1~ ~ ) О, т.е.,1[[и> + ия)>>2] ( З„, а это противоречит тому, что З, является наименьшим значением функционала на множестве >>а.
~ Свойство 9.6. Если строго выпуклый функционал,1[и], у которого вск>ду в области определения существует оифференииал Галио, имеет спшцвонарну>о точку, то эта точка единственная и в ней функционал достигает наименьшего значения. < Покажем, что стационарная точка строго выпуклого функционала является его точкой минимума. Тогда, согласно свойству 9.5, эта точка является единственной. Пусть ио Е Р(,1) -- стационарная точка функционала .7[и]. Выберем произвольнук> точку и е РЯ. Тогда, согласно свойству строгой выпуклости функционала,7[и], для любого числа о С (О, 1) оУ[н] + (1 — о).7[но] ),7[о и+ (1 — о)ио]. Сма Эклаад и., Тачам Р. 9.4. Исслсдование выпуклости функционала 347 Вычитая из обеих частей неравенства л [ио] и деля на о, полу- чаем ,У[и] —,7[ио] > л [ои+ (1 — о) ио] †.Т[ио] Я[ио+ обиД вЂ” о [ио] 0 где ди = и — ио.
Так как функционал /[и] имеет дифференциал Гато, то существует предел ,У[ио + о.би] — л [ио] 1ш1 = б,7[ио, би]. о — ~-~о сс Этот предел равен нулю, потому что ио стационарная точка. Но тогда 1[ио + пби] — У[ио] э[и] — 1[ио] > 11ш — ~то о т.е.,7[и] >,7[ио] и, в силу произвольного выбора и Е В(А), ио является точкой минимума функционала э'[и]. ~ Пример 9.17. Выясним, при каких условиях функционал э[и], определяемый соотношением (9.31), является выпуклым.
Область определения В(,У) = С' [а, 6] этого функционала является линейным многообразием, т.е. представляет собой выпуклое множество. Согласно замечанию 9.2, линейные слагаемые можно опустить, поскольку они не влияют на выпуклость функционала. Функционал будет выпуклым, если каждое из оставшихся слагаемых определяет выпуклый функционал на ст(,1). При этом., если одно из этих слагаемых определяет строго выпуклый функпионал, то и функционал,7[и] является строго выпуклым. Интеграл в случае с(т) > О, т Е [а, б], можно трактовать как скалярное произведение функций и(ж) и п(ж) в линейном пространстве 348 9. ФОРМУЛНРОВКА ВАРИАЦИОННЫХ ЗАДАЧ С' [а, Ь].
Поэтому слагаемое — / с(х)[и(х)) дх 1 ( 2 2,/ в (9.31) справа определяет строго выпуклый функционал как половина квадрата нормы (см. пример 9.15 и свойство 9.2). Слагаемое ь — / р(х) (и (х)) пх 2.( а при р(х) > О, х Е [а, Ь], определяет выпуклый функционал, поскольку для любых функций и(х), и(х) Е С~[а, Ь] и любого и Е (О, 1) и р =1 — о. имеем а а ь ь "и-""" и" "/" и" "и'" Отметим, что при построении функционала было использовано условие р(а)р(Ь) у'= О (см. пример 9.12), что вместе с условием неотрицательности функции р(х) дает р(а) > О и р(Ь) > О. Поэтому слагаемые ар(п)и (а) (3р(Ь)и~(Ь) 2о1 ' 2б1 определяют выпуклые функционалы,. если а/о1 > О и ф111 > О.
Это вытекает из свойств 9.2 и 9.3. Итак, если р(х) > О при х Е [си Ь], с(х) > О при х Е [а, Ь], р(а)р(Ь) ~ О, о/о1 > О, ф))1 > О, то функционал (9.31) строго выпуклый. 9.4. Исследование выпуклости функпионллл 349 Пример 9.18. При исследовании выпуклости функционала ,1[и] (9.42), область определения которого Р(,1) = С~ ('у') О С(Г) есть выпуклое множество, можно не рассматривать линейные слагаемые. Этот функционал является выпуклым, если слагае- мые — / Й(х)(~7и) Л; — / а(х)и с18 2,/ ел~(х) Пример 9.19.
Функционал (9.50) будет выпуклым, если выпуклы функционалы Ь и(х) и(о) с1х с1(() д~, л(() ссс., (9.53) а О поскольку первое и третье слагаемые в правой части (9.50) линейные и не влияют на выпуклость функционала 1[и), а второе слагаемое определяет выпуклый функционал. Обозначив через б~(х) и Я(схя) первообразные функций с1(х) и е(х), принимающие значение 0 в точке х = О, можем записать н(х) ь и(о) о и определяют выпуклые функционалы. Можно показать, что достаточным условием выпуклости первого из них является неотрицательность функции й(х) в И, т.е.
й(х) > О., х е И. Предполагая, что эта функция непрерывна, заключаем, что она неотрицательна и на границе области и, в частности, ~с(х) > О, х Е Ял. С учетом этого нетрудно показать, что выпуклость второго функционала, определяемого интегралом по Ял, будет следовать из соотношения о(х)/се~(х) > О, х Е Ял. Итак, рассматриваемый функционал выпуклый при н(х) > О, х Е 'у', и су(х)/о~(х) > О, х Е Яю Можно показать, что если й(х) > О, х б 'у, то функционал (9.42) является строго выпуклым. 350 9. ФОРМУЛИРОВКА ВАРИАЦИОННЫХ ЗАДАЧ Выпуклость функционала,7, [и] означает выполнение неравен- ства Я(аиь(6) + ссия(6)) < а$(ис(6)) + ЬсЯ(из(6)), где и1 (х), и2(х) Е С' [а,, 6]; сс Е (О, 1), р = 1 — о., а это равносильно выпуклости (вниз) функции Я(х).
Как известно [П], критерием выпуклости дифференцируемой функции является неубывание ее производной. Поэтому функционал .с,.[и] выпуклый, если функция э(х) не убывает на [а., 6]. Аналогично условием, достаточным для выпуклости функционала .Ци], является выпуклость функции Ы(х), или неубывание функции д(х). Действительно, в случае выпуклой функции Я(х) имеем .ьь, ~.и 3=/с( э);.~а( Н~ с ь ь -/('~ ~ "~" ~)"=./ ~ а я ь ~~/еЬс ~ Э ь=.ь~ ~~.:ь~"ь а где и с (х), иэ(х) Е С' [а, Ь]; а Е (О, 1); сь = 1 — сс.
Итак, функционал (9.50) является выпуклым при условии, что функции сс(и) и я(и) не убывают. Нетрудно убедиться, что этот функционал будет строго выпуклым, если функция д(х) является монотонно возрастающей. Отметим, что строгая монотонность ь(х) не обеспечивает строгой выпуклости функционала,1,[и], так как "8[с™1 + (1 4)и2] = а 1ь[и1] + (1 — О) Ус[ив] для любых функций и1(х) и ия(х), имеющих одинаковые значе- ния в точке 6. 351 Вопросы и задачи Вопросы и задачи 9.1. Убедитесь, что соотношения (9.2) и (9.3) удовлетворяют всем аксиомам скалярного произведения и нормы соответственно.
9.2. Постройте функционал, соответствующий краевой задаче для обыкновенного дифференциального уравнения (ОДУ) (9.32) с краевыми условиями хх|(о) — гхи(а) = сгг иЯ =?3, где о., о, Д Е Я. Исследуйте этот функционал на выпуклость н укажите для него множество допустимых функций. 9.3. Для ОДУ р(х)ип(х) +г?(х)и'(х) + с(х)и(х) = у(х)., х е ~а, 5), с краевыми условиями и(а) = и(5) = 0 укажите требования к функциям р(х), г?(х) и с(х), выполнение которых позволит построить соответствующий этой краевой задаче строго выпуклый функционал. На каком множестве функций допустимо рассматривать этот функционал? 9.4. Постройте функционал, соответствующий краевой задаче для дифференциального уравнения — гхи?х) + с?х)и(х) = ?'(х), х Е 1; где с(х), ?'(х) Е С(Г), с краевыми условиями (9.36), (9.44).
Укажите множество функций, на которых допустимо рассматривать этот функционал. 10. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ВАРИАЦИОННЫХ ЗАДА'4 10.1. Минимизирующие последовательности Рассмотрим некоторый функционал 1[и) в гильбертовом пространстве 'Н, ограниченный снизу, т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
