XV Ванько В.И., Ермошина О.В., Кувыркин Г.Н. Вариационное исчисление и оптимальное управление (1081425), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Это означает, что любой элемент у Е 'Н можно представить в виде ряда сшеш, сш Е 11ч. 110.25) т.= 1 Рассмотрим функционал р'[и) = ((А[и) — ~((, [10.26) который достигает наименьшего 1нулевого) значения на элементе и* Е Р'1А) 1если он существует), удовлетворяющем операторному уравнению, т.е. Аи* = у. Приближение к этому элементу будем искать в виде и*„= ,'1 Ь ип, Ь Е К, Д1 Е И. [10.27) и~=1 Подставив [10.27) в [10.26), получим неотрицательную функ- цию Ж переменных Ь1, Ья, ...., Ьж 1р[Ь1,...,Ьн) = Е[иЦ = ))А[и,'ч) — Дз = Ю 2 А(~ Ь„,ичя) — 2 . [10.28) Значения переменных в точке минимума можно найти одним из методов конечномерной оптимизации [Х1Ъ') исходя из условия 1р[Ь1,....,61ч) = ~~А[ид) — ~~~~ — 1 1пГ.
[10.29) При этом в общем случае выполнение условия 110.29) не гарантирует существование единственного элемента и,* . Если оператор А линейный, то функция ~р[Ь1,..., Ь1е) будет многочленом второй степени от переменных д1, ..., Ьч и, следовательно, дифференцируемой в К~ . Значения переменных, 368 |О. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ВАРИАЦИОННЪ|Х ЗАДАЧ обеспечивающих минимум этой функции, должны удовлетво- рять необходимым условиям минимума д~р =О, т=1,Д|. дЬ„, Отсюда получаем СЛАУ ~(е, е„) Ь„= (у, е ), т = 1, Х, (1030) имеющую единственное решение, поскольку ее матрица является матрицей Грама относительно скалярного произведения в 'Н для системы линейно независимых элементов е,„б 'Н, т = 1, Д|.
В случае положительно определенного оператора А можно доказать*, что последовательность элементов и~, (10.27), для которых коэффициенты Ь„, являются решением СЛАУ (10.30), сходится в 'КА по энергетической норме, а значит, и по норме гильбертова пространства, к обобщенному решению и„уравнения Аи = у. При этом., согласно (10.29)., Аи*, — | у при Л| -+ оо. Описанная процедура приближенного решения операторного уравнения характерна для метода наименьших квадратов.
Несложно убедиться, что при использовании метода наименьших квадратов для нахождения коэффициентов ав (и Е И) в приближенном решении (10.22) краевой задачи, рассмотренной в примере 10.3, придем к тому же выражению (10.24). Если известно, что обобщенное решение и„операторного уравнения Аи = у с положительно определенным оператором А совпадает с клвееннескнм решением этого уравнения., т.е. и„Е Й(А) и Аи, = у, то функционал Ф[и1 = (Аи, и) — 2(~, и) + ~~Аи — у ~~ ., и 6 11(А), Смз Рек~иприе К.
1аЗ. Собственные оначения симметрического сшератора 369 достигнет своего наименьшего значения именно на элементе чс„ (см. 10.1). Применение метода Ритца для построения минимизиРУющей послеДовательности 1йо) фУнкционала Ф|и) из элементов вида (10.15) при произвольном счетном базисе в 'Н приводит к метподу Курантпа'. Для метода Куранта сохраняет силу соотношение (10.10) без использования ортогонального базиса из собственных элементов оператора А.
Применение этого метода для вычисления коэффициентов а„(п б И) в приближенном решении вида (10.22) краевой задачи из примера 10.3 снова приведет к (10.24). Отметим, что метод Ритца позволяет использовать счетный базис, элементами которого могут быть функции., принимающие ненулевые значения лишь в отдельных подмножествах области определения оператора. Такая возможность реализована, например, в методе.
конечных элементов. 10.3. Собственные значения симметрического оператора Одной из распространенных прикладных задач является так называемая проблема собственных значений линейного оператора, входящего в формулировку краевой задачи. Эта задача состоит в нахождении ненулевых решений однородного опера,- торноео уравнения с однородными граничными условиями. Ее решение может быть получено вариационными методами. Напомним, что ненулевой вектор ж произвольного линейного пространства с. называют собственным вектором линейного оператора (иногда собственным элементом оператора) А, действующего в Е, если для некоторого числа Л верно равенство Ах = Лх.
При этом число Л называют собственным значением (или собственным числом) линейного оператора А. В случае конечномерного линейного пространства Е собственные значения Л - это все такие числа, для которых *Р. Курант 11888 .1972) - математик, родившийел в Польше и работавший до 1933 г. в Германии, а затем в США. 370 ИЛ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ВАГИАНИОННЫХ ЗАДАЧ оператор А — Л1 (1 толсдестпеенньтй оператор) не имеет обратного (т.с. необратим). В случае бссконсчномсрного пространства оператор А — Л1 может не иметь ограниченного обратного оператора* хотя бы по одной из двух причин: а) оператор А — Л1 не является инъективным (взаимно однозначным). Это равносильно тому, что уравнение (А — Л1)х = 0 имеет ненулевое решение, или, другими словами, число Л является собственным значением оператора; б) образ оператора А — Л1 не совпадает со всем пространством Е.
Совокупность всех тех Л, при которых оператор А — Л1 нс имеет ограниченного обратного, называют спектром линейного оператпора А. Спектр естественно разделяется на две части в соответствии с двумя причинами нарушения обратимости. Множество собственных значений (причина на") составляет дискретпный спектпр линейного оператпора, а осталь- наЯ часть спектРа (пРичина ебк) непРеРывный спектпР.
В ряде случаев линейный оператор не имеет непрерывного спектра, а дискретный спектр можно представить как некоторую последовательность значений Лн,. и Е И. Отметим, что собственные векторы действующего в евклидовом пространстве Е симметрического оператора, А, отвечающие различным собственным значениям, ортогональны. В конечномерном случае (тогда А является самосопрлженным оператором) это доказано в ~1Ъ'], но доказательство на самом деле не связано с размерностью линейного пространства и проходит в произвольном свклидовом пространстве.
Естественно, возникает вопрос, можно ли из собственных векторов линейного оператора составить базис линейного пространства. В бесконечномерном сспарабельном гильбертовом пространстве под базисом понимают *Линейный оператор А в нормированном пространстве Е называют ограниченным оператнором, если длл некоторого числа К > 0 верно неравенство ]]Ах]] (~ К]]х]], х е Е. Наиктеньшес из таких чисел называют нормой оператнора. 10.3, Собственные значения симметрического оператора 371 любую полную (или замкнутую., что одно и то же) линейно независимую систему [1Х].
Задача определения собственных значений линейного оператора возникает во многих прикладных задачах. 1л [Х1] рассмотрена задача поиска собственных значений и собственных функций оператора Штурма — Лиувилля, играющая большую роль в решении многих уравнений математической физики [Х11]. К аналогичной задаче приводит изучение собственных (свободных) колебаний механических систем. С проблемой собственных значений сталкиваются и при изучении вопросов устойчивости механических систем. Проблему собственных значений можно свести к решении~ некоторой вариационной задачи.
Если симметрический оператор А, действующий в евклидовом пространстве с, удовлетворяет неравенству (Аи, и) > й]]и]]в (й Е К) для любого вектора и Е б', то его называют оператпором, оераниченным снизу. Ясно, что при й > 0 этот оператор является положительно определенным., а при й = 0 — положительным. Число (Аи, и) о=шГ ' >й иле (и, и) тесно связано с собственными значениями симметрического оператора. Для любого собственного зна шния Л имеем Л > оо так как , (Аи, и) (Аил., ил) (Лил, ил) Л (ил, ил) се= ш1 ( и~о (и,и) (ил,ил) (ил,ил) (ил,ил) где ил — собственный вектор, отвечающий собственному значению Л. Теорема 10.3. Если симметрический оператор А ограничен снизу и для некоторого вектора ио (Аиа, ио), (Аи, и) =и= шГ ', иб11(А), (ио,ио) и~О (и,и) ' 372 НЛ МЕТОДЫ РЕЗПЕНИЯ ВАРИАНИОННЫХ ЗАДАЧ ~ Рассмотрим оператор В = А — о1.
Тогда (Ви, и) = ((А — а1)и, и) = (Аи, и) — о [и, и) > О, т.е.  —. неотприцатпельный оператпор. При этом (Вио, ио) = (Аио, ио) — о (ио, ио) = О. Пусть е произвольный вектор. Используя свойство симметричности оператора В, вытекающее из симметричности А, получаем в силу неотрицательности В,что (В(ио + 1е), ио + М) = (Вио, ио) + +21(Вио, е)+1г ~~в~~~, 1з ~)в))А+21(Вио, в) > О Но такое неравенство будет верным при любых 8 только в случае, когда (Вио, е) = О.
Итак, (Вио, е) = О для любого вектора е. Взяв., в частности, е = Вио, получим ))Вио)! = О, откуда Вио = О. Переходя к оператору А, приходим к выводу, что (А — о1)ио = О или Аио = аио, т.е. вектор ио является собственным для А и отвечает собственному значению о. Как уже показано, все собственные числа Л удовлетворяют неравенству Л > о. Значит, о наименьшее собственное значение. ~ Доказанная теорема позволяет переформулировать задачу определения наименьшего собственного значения ограниченного снизу симметрического оператора как задачу поиска наименьшего значения функционала; э [и) = ' -+ 1п1. (Аи, и) (и, и) (10.31) то ст есть наименьшее собственное значение оператора А, а указанный вектор ио — собственный вектор А., отвечающий собственному значению сс 10.3.
Собственные значения симметрического оператора 373 Этой задаче можно придать другую формулировку. Очевидно, что (Аи, и), (Аи, и) ш1 ( шГ нФО (и, и) ~а~~=1 (и, и) По (Аи, и) (Аи., и) А тв и (А ) где вектор иб = и/~~и~~ удовлетворяет соотношени1о ~~ив~~ = 1. Поэтому на самом деле шГ ' = шГ (Аи,и). (Аи, и) иапо (и, и) ~(н( =с Таким образом, наименьшее собственное значение симметрического оператора А можно найти, решая вариационную задачу для функционала 7(х] = (Ах, х): (Ах, х) — + шЕ, ))х(( = 1.
(10.32) Пусть спектр симметрического ограниченного снизу оператора А состоит из последовательности Лн ..., Л, ... собственных значений, причем все они простые, т.е. соответствующее собственное пбдпрострглнсшво оператора одномерно. Предположим, что наименьшее собственное значение Л1 и отвечэлощий ему собственный вектор х| найдены, например, как решение задачи (10.32).
Тогда ортогональное дополнение Н~ к собственному подпространству Н = арап(х1) оператора А является инаариантным по0пространстаом этого оператора. Значит, можно рассмотреть ограничение оператора А на подпространство Н и поставить задачу вида (10.32), но с дополнительным ограничением: (Ах, х) — ~ шГ, ~~х~~ = 1, (х, х1) = О. (10.33) У ограничения оператора А на Н' спектр будет состоять из повжедовательности собственных значений Лю Лз, ... Поэтому если задача (10.33) имеет решение, то это решение даст 374 Ш. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НАРИАЦИОННЫХ ЗАДАН собственное значение Лэ и соответствующий ему собственный вектор хь. Так как поиск наименьшего зна ~ения в (10.33) происходит на подмножестве множества, определяемого в (10.32) равенством ((х(! = 1, то Лз > ЛО Описанный процесс можно продолжить.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
