XV Ванько В.И., Ермошина О.В., Кувыркин Г.Н. Вариационное исчисление и оптимальное управление (1081425), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Так как в энергетическом пространстве ЯА для положительно определенного оператора (Аи, лл) = ]]и]] ~, то вместо (11.23) с учетом (10.6) при и = й,и — и„запишем о<л< ][и]]Л ]]йк — и„]]~~,У,[йб] — 1,[и,] ]М]з ]]йм — ия]Р ]]йб — и*]]з Отсюда получаем 1,[йл'] —,1,[и„] 1е[й,ч] — д Л Л 1,[йк] — Иш Л (11.27) Как и в случае (11.25), из (11.27) следует, что для количественной оценки погрешности необходимо располагать оценкой снизу значения Л. Строить последовательность (д,н) можно различными способами.
Один из способов состоит в построении функционала 1[и], двойсгпвенноео функционалу,7я[и] и достигаклщего на некотором элементе е, своего наибольшего значения 1[с,] = с1. Тогда можно построить последовательность ~Я ) приближенных решений д вариационной задачи для функционала 1[с], которая сходится к д снизу, не убывая. Пример 11.3. В примере 11.1 построен функционал 1[с] = — — ! е с11' — дппс18, з 2/ (11.28) Ъ Это верно, в частности, и для пространства 'Н = Ьз(11). Точно определить минимальное значение и'квадратичного функционала удается редко.
Однако если построена неубывающая последовательность 1,с~ш), сходящаяся к д, то 1л [йю] — с1 < ~<,7я[йу] — Нш и вместо (11.26) можно использовать более грубую оценку 398 11. ДВОЙСТВЕННЫЕ ВАРИАНИОННЫЕ ЗАДА ЧИ двойственный фуннииона,лу Дирих,ле .7[и] = — /[Чи) Л'.
2,/ [11.29) У [йл ] —,У[и,] = — [[Чйн) — [Чил)~] Л' = 21 = — / [Чй1л — Чи,) ЧйЛ'+ — / [Чйн — Чи,) Чи„Л' = 1 Г 2,/ 2,/ Е = — / Чйл7йЛ'+ — / ЧйЧи, Л' = — / йЧйпе18— 1 Г 1 2 „/ 2,/ 2,/ у — — / й1лйЛ'+ / йЧи„пе)Я вЂ” йЬи, Л' = — — и Ьйе)К, 1 2/ ./ 2 Ъ Я поскольку й = 0 на Я и Ьи„= 0 в 1'. Пусть оператор А есть оператор — Ь, рассматриваемый на множестве функций и[х) Е Сз[17) Г1 С[Г), удовлетворяющих краевому условию и = 0 на Я. Тогда этот оператор будет симметрическим и — — ~йЬйеЛ' = — (Ай, й), й Е Р[А). В силу теоремы 10.3 имеем Ь и) уийн] —,у[и„] О,—,,(= [й, й) ]]й~ — и .]Р ' Оператор А = — Ь в краевой зада ле [11.10) не является симметрическим [см.
пример 9.13). Тем не менее в этом случае для оценки погрешности приближенного решения краевой задачи [11.10) можно применить оценку, аналогичную [11.2б). Действительно, используя первую формулу Грина и полагая й = = йля — и„ преобразуем разность: лл.З. Оценка погрешности приближенного решения 399 где Лл — наименьшее собственное значение симметрического оператора А. Отсюда получаем .~(йл~) — д ф~йли — лл„)) = 2 л, Коли (ллш) строить как минимизирующую последовательность функционала — 1[лл], обратного по знаку функционалу (11.28), то для гарантированной оценки погрешности приближенного решения краевой задачи (11.10) можно использовать оценку ~)йли — лл.)) = 2 .Т(йх~ ~ — лй л, которая аналогична оценке (11.27).
Пример 11.4. При некоторых дополнительных предположениях оценку погрешности приближенного решения йк, аналогичную (11.27), можно использовать и в нелинейных задачах. В примере 9.14 построен функционал (9.50) а л я а ,7(и) = — Ди(Ь) + / слх — «(х)лл(х) ллх+ Г (и'(х)) 2 а а б илхл и(6) + ллх д(и)лли + я(и)лли, а а соответствующий нелинейной краевой задаче (9.9), (9.10). Условием выпуклости этого функционала является неубывание функций д(и) и е(и) (см. пример 9.19). Пусть этот функционал достигает своего наименьшего значения 1(и„) на элементе и„(х) Е Р(А), удовлетворяющем (9.9), (9.10), т.е.
(11.30) 400 РЕ ДВОЙСТВЕННЫЕ ВАРИАНИОННЫЕ ЗАДАЧИ Обозначив й(х) = йь (х) — и„(х), запишем разность функционалов: Т (й,~(х)) — (и',(х)) ®, г ь ая(х) йяЬЬ) ь 'л" -"'л" /"'/ "'" / -"= а а я.(х) и. (Ь) ь ь =-ьяе+-,''/я~к 1' '. /-~'.) З"— 2,/ ь а ь ь ням нь ьь) — /(х)й(х) ь1х+ ь1х о(и) ив+ л(а) с~и. .(я) и,(ь) Заменим в двух последних интеграл' д( ) ( ) ах (и) и л(и) соответственно на д(и„(х)) и л(и,(б)). Для неубывающих функций д(и) и л(и) это не приведет к возрастанию правой л и это, . ой части последнего соотношения. Тогда, интегрируя и у" о частям и читывая соотношения (11.30) и равенство й(а) = О, находим ь ь -'/~-.
у"' я ь ь ь ° я ~ з -/и:м': /ч~«.'л- и ь.~ьв.-ю= и н х ~ ~ ~ ~ ~ ~ х х а л а ь ь 1 ( ) /( "(* с з» *0 «4 2 ~ (изе ~«.я — ь)хе = -',/яьл' 401 Вопросы и задачи Выпуклый функционал достигает некоторого наименьшего значения Л' на замкнутом ограниченном множестве Г функций и(ж) Е С (а, Ь], удовлетворяющих краевому условию и(а) = О и условию»»и»»ь, — — 1., так как этот функционал непрерывен по норме»» ))с. Этот минимум » является решением задачи на условный минимум функционала и [и] при условии»»и((ь, = 1.
Решая эту вариационную задачу методом множителей Лагранжа (см. теорему 4.3), заключаем, что функция ие(т), являющаяся точкой условного минимума, удовлетворяет дифференциальному уравнению ие~ —— Л»ю (уравнение Эйлера для лагранжиана задачи) и краевым условиям и(а) = О, и'(Ь) = О (условис трансвсрсальности). Другими словами, Л' есть собственное значение симметрического положительного оператора А»и] = — и", определенного на множестве функпий и(ж) Е С (а,Ь], удовлетворяющих краевым условиям и(а) = и'(Ь) = О.
Ясно, что Л' — это наименьшее собственное значение оператора А, которое нетрудно определить: Л' = п~/4 (Х1]. Таким образом, »»и'»»»»й'»» э'"»йн] — э"»и,] Л'= шш г»и]=шш « 2 — я~о»»и»»э»»й)(э ))йи — и,»» где минимумы ищутся на множестве функций и(ж) Е С (а,Ь],. для которых и(а) = О. В итоге получаем Цй»» — и,Ц = 2 Вопросы и задачи 11.1.
Построить функционал, двойственный функционалу (9.31), переходом к полному функционалу. 402 ТЕ ДВОЙСТВЕННЫЕ ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДА ЧИ 11.2. Сформулировать задачу на собственные значения для нахождения числа Л в (11.27) при использовании вместо,У,~и1 функционала (9.31). 11.3. Построить функционал, двойственный функционалу (9.42), переходом к полному функционалу. 11.4.
Сформулировать задачу на собственные значения для нахождения числа Л в (11.27) при использовании вместо 71[и) функционала (9.42). ЧАСТЫУ Приложения вариационных методов С тех пор, как существует научная физика, высшей целью, мерцав1аей тшред нею, было разреисение задачи — как обобщить вес явления природен наблюдавшиеся в прошлом и лезущие быть наблюдаемыми в будуисем, в одном простом принципе,. Эта цель и ссеодня не достизнута; она не будет достизнута полностью и в будущем, что лежит в природе вещей, но все более и более приближаться к ней -- вполне возможно.
М. Плаак Л. ПРИНЦИП ГАМИЛЬТОНА Механической системой называют множество материальных точек, в которых положение каждой точки зависит от положения и движения остальных точек этого множества. Условия, ограничивающие движение точек системы, называют связями. Связи могут записываться в виде уравнений или неравенств, которым подчиняются координаты положения и скорости точек системы. Рассмотрим механическую систему из ц материальных точек с массами тм газ, ..., т,„и координатами положения г, = (ж„у;, я,), г = 1, ц, заданными в некоторой декартовой прямоугольной системе координат. Предполагаем, что связи в рассматриваемой механической системе имеют вид ~ (гы...,г„,гы,..,т„) =О, 1'=1, й.
(12.1) Если функции Д на самом деле от скоростей г; материальных точек не зависят, то соответствующие связи называют голономными. Кинетической энергией механической системы из и точек называют величину 1 Т = - ~ тпгп;, т=ч (12.2) где и, = т, = (й,, уь й,) вектор скорости г-й материальной точки. Движение механической системы вызывается совокупностью сил. Пусть на г-ю материальную точку системы из ц точек действует сила Хь Если существует такая функция П(г) = Г(т,у,я), что сила Х'; может быть представлена в виде Х', = дгабГ(г,), то эту функцию называют потенциалом сил, а противоположную ей функцию Ъ'(т) = — Г(г) потенциальной 406 12. ПРИНЦИП ГАМИЛЬТОНА энергией механической системы.
Сумма кинетической и потенциальной энергий механической системы представляет собой полную энергию этой системы. Если в процессе движения механической системы ее полная энергия не изменяется, т.е. Т + Ъ = Т вЂ” Г = сопв1, то такую механическую систему называют консервативной. Если связи (12.1), наложенные на систему, являются голономными, причем функции Д функционально независимы., или, другими словами, ранг матрицы Якоби системы функций ~1, у = 1, й, максимален и равен к., то система уравнений (12.1) может быть локально разрешена относительно каких-либо Й переменных.
Тогда остальные Зп — Й переменных могут свободно меняться, полностью определяя положение механической системы. В этом случае говорят, что механическая система имеет Зп — к степеней свободы. Эти т = Зп — к свободно меняющихся переменных могут рассматриваться как обобщенные (лагранжевы) координаты пм д2, ..., д~ механической системы. Конкретное положение механической системы будет описываться набором значений обобщенных координат и может интерпретироваться как точка в некотором т;мерном фазовом пространстве .Е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
