XV Ванько В.И., Ермошина О.В., Кувыркин Г.Н. Вариационное исчисление и оптимальное управление (1081425), страница 56
Текст из файла (страница 56)
Поэтому при шарнирном закреплении первая критическая нагрузка меньше, чем при жестком закреплении. С точки зрения механики это объясняется тем, что при жестком закреплении увеличивается количество внешних связей, т.е. вводится дополнительная поддержка конструкции, и для ее „раскачки" нужна ббльшая сила. Рассмотренный подход, связанный с вычислением наименьшей критической нагрузки, в литературе называют статическим подходом к решению задач устойчивости.
Развитый выше 434 17. ВОПРОСЫ УСТОЙ*1ИВОСТИ ИОНСТРУКЦИЙ метод находится в рамках статического подхода и, по сути, является методом энергетическим. Безусловно, наиболее общий метод решения задач устойчивости механических систем состоит в исследовании движения системы при малых возмущениях. Такой метод естественным образом приводит к понятию устойчивости решений системы уравнений движения по Ляпунову ['о'Ш). На этой основе строят динамические критерии устойчивости.
В случае консервативных систем оба подхода, статический и динамический, приводят к совпадающим результатам*. Пример 17.1. Обратимся к задаче об устойчивости положения равновесия прямолинейного стержня, один конец которого свободен, а другой жестко заделан. Предположим, что сечение стержня постоянно: 1(х) = сопя$ = 1. Рассмотрим статический подход. Пусть стержень получил малое боковое отклонение у(х). Это отклонение будет подчиняться дифференциальному уравнению (17.1). С учетом 1 = сопв1 находим р'" + й'до = О, (17. 7) где йз = Р((Е1), Условия на левом, закрепленном конце очевидны: 11(П) = Р'(В) = В.
(17.8) Чтобы получить краевые условия на свободном конце, разложим вертикальную силу на две составляющие, одна из которых поперечная сила — — выражается через приложенную силу в виде Поперечная сила, в свою очередь, есть производная от изгибающего момента** М= Е1ро, т.е. Я = — (Е1ро)'. Так как изгибающий момент на свободном конце равен нулю, имеем ро® = О. "Смс Вооьмио А.С. ""Смс Феодосьев В.И. Сопоставляя представления для силы ф приходим к следующим краевым условиям на правом, свободном конце: Задачу (17.7)-(17.9) можно решить точно, используя методы решения линейных ОДУ с постоянными коэффициентами [Ъ'П1].
Общее решение ОДУ (17.7) имеет вид у(х) = Авшкж+ Всовйх+ Ст+ Р. Краевые условия (17.8), (17.9) приводят к системе уравнений относительно постоянных интегрирования А, В, С, Р: В+Р=О, Ай+С=О, Айэ вшй1 + Вй~солЫ = О, С = О. Решая эту систему, находим А = С = О, В = — Р. Система имеет ненулевое решение, согласно третьему уравнению, лишь при сов Б = О. Следовательно, (17.10) Ы = (2п+1) —, н = 0,1,2, Зная возможные значения коэффициента й, находим наименьшую критическую нагрузку: . В1 ,Ц2 (17.
11) Решим ту же задачу с помощью энергетического метода. При исследовании равновесных состояний консервативных систем вместо вариаций работы внутренних и внешних сил рассматривают вариацию полной потенциальной энергии Л системы, которая записывается следук>шим образом: П = — Е1 (ул)здт — — Р (у')эдж. (17.12) 2,/ 2 ./ 436 17. ВОПРОСЫ УСТОЙЧИВОСТИ КОНСТРУКЦИЙ и УМ) = ~~', пгниг(ж).
(17.13) г=1 В этом представлении каждая из функций Ч(я) удовлетворяет кинематическим краевым условиям, так как статические условия (при т = 1) являются естественными и их заранее фиксировать не требуется. Подставляем представление (17.13) в выражение для полной потенциальной энергии.
Получим, что П является функцией от коэффициентов а,". П = П(ам вг,... г аи). Вариацию П можно представить как сумму вариаций, соответствующих независимым вариациям параметров н,: и 5П= ,'1, Ба,. г=1 Отсюда, приравнивая первую вариацию нулю, получаем систе- му уравнений относительно н;: дП =О, 1 =1гп. дог (17.14) Так как полная энергия является квадратичной формой параметров ао система (17.14) представляет собой однородную систему линейных алгебраических уравнений относительно а1, ..., Сравним эту формулу с (17.3); первое слагаемое есть — ~~у~~л, 1 2 а второе слагаемое равно (--Р)~~у~~ .
Для равновесия кон- 1 сервативной системы со связями, не зависящими от времени, необходимо и достаточно, чтобы первая вариация потенциальной энергии системы обращалась в нуль: бП = О. ь1тобы найти минимальную критическую нагрузку, используем идею метода Ритца в следующей интерпретации. Пусть изогнутая ось стержня при возможном отклонении от первоначальной прямолинейной формы может быть представлена в виде 437 а,. Нас интересуют ненулевые решения этой системы. Поэтому значения критических нагрузок получаем, приравнивая нулю определитель системы.
Вычислим несколько приближений к точному значению критической нагрузки. Отметим, что в силу условий задачи функпии у;(х) должны бьггь четными. 1. Первое приближение. Пусть у(х) =а2х2, О <х < 1. Тогда кинематические краевые условия при х' = О выполняются. После интегрирования имеем ~з П = 2Е1а~~1 — 2Ра2 2—,. 3 Из условия дП(да2 = О находим О), Е1 кР ' ~2 Погрешность по сравнения> с точным значением составляет примерно 20%.
2. Второе приближение. Полагаем у(х) =аях2+а4х4. Тогда П = 2ЕП(а +4а2а4| + — а41 ) — 2Р1 ( — а + — а2а41 + — а41 ). 2 2 35 4 3|1 2 ~ 4 4 26 ) ~3 5 7 Система уравнений дП да2 дП да4 принимает следующий вид; (Е| — —,1~) аа + (2ЕП2 — — 1~) а4 = О., (Е| — — ~ )а + ( — ЕП вЂ” — ~ )а = О. 5 5 7 438 17. ВОПРОСЫ УСТОЙЧИВОСТИ КОНСТРУКЦИЙ РР Обозначая Р* = — приравниваем нулю определитель системы: Е1' 1 —— 3 2 —— 8 =О, 18 2Р* 8 7 откуда (Р*)~ — 45Р*+ 105 = О.
Определив Р*, найдем Р' ~ = 2,50 —. Яг Здесь погрешность по сравнения> с точным решением составляет 1,2%. 2. Третье приближение. Взяв у(х) =азиз+а4гя+ + аея и повторив вычисления, получим ,.6 фз) =248— что дает погрешность 0,4%. Обратим внимание на то, что в рассмотренном примере приближенные значения минимальной критической нагрузки завышены по сравнению с точным решением. С механической точки зрения зто объясняется тем, что деформируемое твердое тело представляет собой механическую систему с бесконечным числом степеней свободы. Подчиняя решение лишь конечному числу координатных функций щ(х), мы ограничиваем число степеней свободы, т.е.
накладываем на систему дополнительные связи. Жесткость системы повышается, и критическая нагрузка возрастает. 18. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ ЛАГРАНЖ~А, РЕЙССНЕРА И КАСТИЛЬЯНО Прежде чем рассматривать вариационнь|е принципы Лагранжа, Рейсснера и Кастильяно применительно к задачам для линейных упругих тел., сформулируем закон сохранения энергии для тела, находящегося в равновесии: бГ = бИ1+дф где У внутренняя энергия тела объемом 7 и ограниченного поверхностью о': Г = исй'; и объемная плотность внутренней энергии, т.е. количество энергии, приходящееся на единицу объема: бц' = Ь,би, (ЛЯ+ р,би; с1о работа объемных (с компонентами б;) и поверхностных (с компонентами р;,) сил на возможных перемещениях бцб и,, компоненты вектора перемещения; б1 — — количество теплоты, приобретенной телом.
Здесь и далее мы опускаем знаки суммирования, предполагая по умолчанию, что в формулах при наличии одинаковых индексов выполняется суммирование от 1 до 3. Положим, что граничная поверхность о' рассматриваемого тела разделена на две части: о„, .на которой заданы компоненты вектора перемещения (18.1) нг=йг 1=1 2 3 440 18. ПРИНЦИПЫ ЛАГРАНЛСА, РЕЙССНЕРА, КАСТИЛЬЯНО и о, на которой заданы поверхностные силы Рь При этом Я = Я 0Я,„и Я Г~Я„= И. Очевидно, что ди; = О на поверхности Яь. В дальнейшем полагаем., что деформации малы и компоненты тензора деформаций е; определяются соотношениями Коши (18.2) Так как компоненты вокторов объемных 6; и поверхностных р, сил являются заданными функциями декартовых координат хя (6 = 1,2, 3), то работа Б1т' внешних сил на возможных перемещениях равна: Вариацию количества теплоты, приобретенного изучаемым телом, зададим в виде б9 = Тйий'., где Т абсолютная температура: 6 — - энтропия единицы объема тела.
В дальнейшем будем рассматривать два случая деформирования: адиабатическое и изотермическое. В первом случае 6 = 6(имия, хз) — известная функция и е6 = О. Во втором случае известна абсолютная температура Т = Т(хм хз, хз) и АТ = О. Только для этих двух случаев й1 = д Т6 сЛ1 При изотермическом деформировании вместо и = и(8,,6) нужно использовать объемную плотность свободной энергии А(е, гТ) и переход от первой функции ко второй осуществля- ется с помощью преобразования Юнга — Фенхеля'. А(еи,Т) = вар[и(егэ,6) — Т6]. При е; = О массовые плотности свободной и внутренней энергий равны: А(О,Т) = В(Т) и и(0,6) = Н(И).
Функции В(Т) и ЕХ(6) при Т ~ Те (Те = сопау начальная температура тела) отличны от нуля, и их учет необходим при изучении процессов деформирования, протекающих при переменных температурах и сопровождающихся рассеянием энергии. Так как процессы рассеяния энергии мы не рассматриваем, то в дальнейшем полагаем, что В(Т) = О и Н(1г) = О. Таким образом, условие стационарности функционала ,1[и] = Ег' [и] — В[и], (18.3) где ЕЕ[и] = гг(егд) гйгг Е [и] = 1ггиг гйе'+ Ргггг сЖ "Смг Бгрдгг гееенигг Б.Л. определяет компоненты и, (г = 1г 2, 3) векторного поля и истинных перемещений при адиабатическом деформировании на множестве допустимых функций и„непрерывно дифференцируемых в Г и принимающих заданные значения на Я„.
Функционал (18.3) называется функционалом энергии. Отметим, что при изотермическом деформировании первое слагаемое в правой части соотношения (18.3) должно быть згъменено на 1А(еб,т)е111. Рассмотрим условия, при которых задача поиска стационарных точек функционала энергии сводится к задаче о его минимуме. Первый вопрос, который необходимо в этом случае выяснить, — это вопрос об ограниченности снизу функционала энергии (18.3).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
