XV Ванько В.И., Ермошина О.В., Кувыркин Г.Н. Вариационное исчисление и оптимальное управление (1081425), страница 55
Текст из файла (страница 55)
срормализуем аэродинамиче- скую задачу Ньютона, испольа зуя современный аппарат вариагд ционного исчисления. Пусть тело вращения с осью вращения Ох (рис. 16.2) движется со скоростью е (и = ~и~ = сопе1) в ньютоновской среде и сталкивается с распределенными в среде шаРис. 16.2 риками. Ньютоновской называют редкую среду с распределенными в ней неподвижными абсолютно упругими шариками. Задача состоит в том, чтобы определить форму носовой части тела вращения, обладая>щего минимальным сопротивлением.
Будем предполагать, что ось Ох жестко связана с телом и направлена по вектору скорости е. Сила Я сопротивления среды, действующая на тело, равна': где д = О,брев динамическое давление: р плотность среды; е = ~е~ ---. абсолютная величина скорости; г = г(ж) . — радиус сечения тела на расстоянии х от точки максимального радиуса тела вращения (от миделева сечения радиуса а = г(0)); д-- угол наклона образуя>щей на расстоянии х от миделева сечения (угол между касательной к образующей и осью Ох, отсчитываемый по часовой стрелке); 1 -- длина тела; С(д) -- местный 'Вывод атой формулы имеетсн, например, в книге: Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. 425 коэффициент сопротивления среды, равный (2в1п2„9 д > 0 С(д) = )О, д(0.
1 Г тиз — 2яд С(д)т(х)т'(х) дх = 4яд / дх. / +и С учетом этого преобразования исходная задача сводится к задаче Лагранжа в форме Понтрягина для функционала 1[т,и) = — = — (т(1)) +, ех (16.3) 4яд 2 у 1+и2 о с дифференциальной связью т = — и. / 116.4) Па левом конце задано условие закрепления т10) = а, а правый конец свободен. Введем канонические переменные х., т, р и фунниию Гамиль- тона ти' П(х,т,и,р) = — ри— 1+ и2 116.5) В выражении 116.2) для силы сопротивления Г;) первое сла- 2 гаемое 2яд1т11)) включено, чтобы учесть возможное плоское затупление в носовой части тела 1см.
рис. 16.2). Требуется найти такой профиль т(х) тела вращения, при котором для заданных значений у, 1 и а функционал Я принимает минимальное значение. Преобразуем интеграл в выражении (16.2) для С, используя представление С1д) = 2в1п2 д, тождество т'(х) = — 1яд и тригоФк'19 нометрическую формулу вга д =,, а затем введем в него 1-ЬСяь О' управление и = 1629: 426 1б. АЭРОДИНАМИЧЕСКАЯ ЗАДАНА НЬЮТОНА Каноническая система дифференциальных уравнений записы- вается в данном случае так: (16.6) Первое уравнение этой системы эквивалентно уравнению связи г' = — и, а второе сводится к следующему соотношению: р' =;-~;2.
Систему (16.6) нужно дополнить алгебраическим уравнением Н' = 0 (см. 8.2), которое в данном случае имеет вид гиг (3 + иг) (1+ „2)2 К системе дифференциальных уравнений также добавим краевое условие на левом конце г(0) = а и условие трансверсальности на правом, которое для задачи со смешанным функционалом Хг Т~г(хг))+ 1 (х,г,и)нх имеет вид р(хг) = — Т„'~г(хг)), а в данном случае с учетом (16.3) записывается следующим образом: рП) = — г(1). Итак, получена полная система уравнений — и из 1+ н2' ги (3+и ) (16.7) Однако не будем напрямую интегрировать систему (16.7), а воспользуемся тем, что функция Гамильтона не зависит явно от независимого переменного х. В таком случае сама функция Гамильтона является первым интегралом системы, т.е. Н = = сопя1 на решениях системы. С помощью третьего уравнения системы (16.7) исключим из представления (16.5) для функции Гамильтона Н переменное р.
Тогда соотношение Н = сопЫ можно записать в виде 2газ 2) 2 — СОПЯ1. Далее, третье уравнение системы (16.7) верно при любом х Е [О., 1), в том числе и при х = 1. Значит, 1 Я из(1) (3+ и (Ц) (1+ а2(1)) 2 (16.8) или, с учетом пятого уравнения системы, (16.9) Но это возможно только в случае' 1(1) = О или и(1) = 1.
В первом случае, когда г11) = О„из равенства (16.8) вытекает, что Н(1) = О, т.е. 2гиз (1 + н2) 2 =О, откуда либо г = О, либо и = ~8д = О. Это указывает на вырожденную ситуацию, при которой профиль тела совпадает с осью вращения Ох.
Во втором случае, когда и(Ц = 1, из (16.8) и (16.5) получаем равенство Н(Ц = т(Ц/2, с учетом которого само соотношение (16.8) можно записать в виде 2гиз г(1) (1+ п2)2 2 'Есть также симметричный случай и1О = — 1, который приводит к уравнению нижней, симметричной части профиля тела и, в сущности, не дает ничего нового. 428 16. АЭРОДИНАМИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА НЬЮТОНА откуда находим Эту связь учтем в первом уравнении системы 116.7): 116.10) г11) — (, ) = — и, ~1+ иг)г или дх 1Г 3 2 1~ = — ( — —, — —, + — )аи. г11) 4 ~ и" из и) Мы пришли к дифференциальному уравнению с рэзделякяци- мися переменными, которое можно проинтегрировать: Х и 1 откуда 1 — х 173 1 7~ — + — +1пи — — ).
116.11) „д 414 4 г 4)' Объединяя 116.10) и 116.11), получаем параметрические уравнения функции г1х), определяющей искомый контур обтекаемого тела: (1+ иг)г '(х) - "(') 3 116. 12) г11)7 3 1 7~ х=1 — ( + —,+1пи — — ). 4 ~4и4 иг 4) а 11 + иег)г г11) 4из~ 173 1 7~ — + — +1пие — — ). "(1) 11,4 4 г 4) Из этого параметрического представления с помощью краевого условия г10) = а на левом конце можно найти значение г11) и коэффициент наклона ие = 18де при х = О.
Это приводит к системе трансцендентных уравнений Сопоставим найденное решоние задачи с решением, которое предложил Ньютон. Вернемся к рис. 16.1. Имеем ~ЛХХ~ = т, ~ВМ~ = 1 — т, ~ВС~ = г(1), ЛВРС = д. Согласно построению Ньютона, ~ =16О )ВР! откуда., учитывая вид управления и = 16д, получаем ~ВР~ = ~ВС~ со') или ~ВР~ = . Из соотношений в прямоугольном треугольнике СВР имеем ~СР~з = ~ВС~з+ ~ВР~я = с~11) ) 1+ 1, ).
Из пропорции Ньютона (16.1) в введенных обозначениях нахо- дим „.з~1) (1+ 1) г(1) /~ 1 ~ Ю г2(1) т.е. (1+и )Я 4е3 Мы получили первое уравнение в параметрическом представлении (16.12) функции г(т). Значит, Ньютон действительно решил поставленную им задачу, но смысл найденного им решения раскрылся гораздо позже, когда стал достаточно развитым аппарат вариационного исчисления.
17. ВОПРОСЫ 'УСТОЙ"ЧИВОСТИ КОНСТРУКЦИЙ К проблеме собственных значений приводят задачи о собственных (свободных) колебаниях механических систем, например, задача о,,малых" колебаниях струны или мембраны. Другой важный класс задач механики, связанный с проблемой собственных значений, класс задач об устойчивости механических систем. Оказывается„что при определенных внешних нагрузках упругая или упругопластическая система может иметь несколько положений равновесия, причем одни из этих положений устойчивы., а другие нет. Рассмотрим прямолинейный стержень, сжатый продольной силой Р, направленной строго по оси стержня (рис.
11.1). В этом Рис. 17.1 случае начальное положение (без изгиба) является положением равновесия. Для суждения об устойчивости этого положения равновесия сообщим рассматриваемой механической системе некоторое возмущение в виде поперечной нагрузки, вызывающей прогиб у(т). При отсутствии сжимающей силы Р малая поперечная сила вызовет малый прогиб. Если сила Р присутствует,но мала, то малая поперечная сила также вызовет малый прогиб.
1'авновесие стержня в этом случае является устойчивым. Это равновесие перестанет быть устойчивым, если сжимающая сила Р превысит некоторое пороговое значение. Тогда даже незначительная поперечная нагрузка вызовет большой прогиб. Пусть сжатый стержень имеет переменное поперечное сечение и сжат с двух сторон равными по величине продольными силами (рис. 17.2). Тогда профиль д(х) его изогнутой оси опи- сывается дифференциальным уравнением* вс2,1гд,Р„ Š— 2(2(и) — '2) +Р— 2 — — О. (17.1) Здесь Š— — модуль Юнга для материала,из которого изгото- У елен стержень; 1(и) — осевой о у(х) момент инерции поперечного се- в х чения, соответствующего коорРис.
17.2 динате и, и Е (О, 1). К уравнению (17.1) следует присоединить краевые условия, вид которых зависит от того, каким образом закреплены концы стержня. Ограничимся рассмотрением двух типов закрепления: 1) оба конца жестко заделаны: д(0) =д(1) =О, д'(0) =д'(1) =0; (17.2) 2) оба конца шарнирно оперты: д(0) = д(1) = О, до(0) = до(1) = О.
Задача об устойчивости положения равновесия сжатого стержня состоит в определении критических нагрузок, т.е. таких значений продольной силы, при которых возникает несколько положений равновесия. При этом особый интерес представляет значение наименьшей критической нагрузки. Дифференциальное уравнение (17.1) можно привести к виду Аа — ЛВа = О, если положить (2 ~2 ,14 ~3 ~2 А = Е 211(и) 2) =1(х) 421 (х) 2 +1 (х) 12 В= — —,, Л=Р. Ы' "Сьсэ Феодосьев В.е7. 432 ~х нО77рОсь1 устОЙч«8Ос771 «ОБс7ру«щи Энергетические нормы прогиба у(ж) относительно этих операторов имеют вид Интегрируя по частям, можно убедиться, что независимо от типа краевых условий эти нормы равны: Оба оператора А и В при рассматриваемых краевых условиях являются положительно определенными.
Поэтому существует бесконечное число собственных значений, т.е. критических нагрузок*. Наименьшая из них Р~ равна: (17.3) где минимум функционала ищется при соответствующих краевых условиях. В случае шарнирно закрепленных концов задачу можно свести к исследованию обыкновенного дифференциального уравнения (ОДУ) второго порядка, так как условия у(0) = р(Ц = 0 Смэ Калэажц Л. 433 являются предварительными, а условия со вторыми производ- ными — - это естественные условия.
Полагая для простоты, что У(ж) = сопв1, обозначим и = Ту". Тогда функция и(х) удовлетво- ряет краевым условиям и(О) = и(/) = О (17.4) и дифференциальному уравнению Еи + — и=О. 1 (17 5) Задача о наименьшем собственном числе (о наименьшей критической нагрузке) сводится к экстремальной задаче ! Г (и) дж , о 1 и пи о — ~ ш1п или,что равносильно, Е (и')э Их — + шш при условии 1 иэ йи = 1. (17.6) Из сравнения краевых условий видно, что условия (17.4) приводят к классу функций более широкому, чем условия (17.2) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
