XV Ванько В.И., Ермошина О.В., Кувыркин Г.Н. Вариационное исчисление и оптимальное управление (1081425), страница 59
Текст из файла (страница 59)
= Я .и КОМПОНЕНТЫ тЕНЗОра КОЭффИ- циентов податливости материала тела, связанные с компонентами С, тг тензора коэффициентов упругости соотношениями С ыЯы~г„= 5,г„Ц„,; К,; = Ио; компоненты тензора термичеггм Итв гт гггг СКОГО СОПрОтИВЛЕНИя, 1ггГЦггг = огггг Вариация функционала 1[о., д1 равна нулю, семи компоненты тензора дг и координаты вектора д являются решениями краевой задачи термоупругости. 462 19. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ ТЕРГИОУПРУГОСТИ Вычислим первую вариацию функционала 1(одд] и прирав- няем ее нулю: 1(о,п,бо,бс1~ = ~ Я, ысгы+ — а, ( до — дэ —,) *бе; Л'+ д 1 , 1 . ддд'т о хя 1 Г д 1 Г + — /, (а'; о, ) с:дэбдосЛ' — — 1 а; д*о; ".дбдтдщс1Я— Т,1 — — / 1д, д * д * бд, Л'+ 1 — ( д * —,) * ба; и, сИ— л — / — ( — д*, ' )эбо»Л' — — 9 (дед~, »)*бд;п,йБ+ / дх» р дхл То l Рс ( дх»» д д, ') бддт — 9 ( — т) д;,дтд Г1 1 Г1 + / —,Гд * бос тс» сБ+ — / д е и * бддтсд ~Ив Р То Рс д 11 — / .
( (дтто))' тбд»ддУ вЂ” /тн*бо,»тс»ЙБ— дхд Рс. Ъ" Я~ 1 à — Г( — — 1 д*»9*бд,п;сБ= /(Я,'»ыоы+,— а',,(ш — д* )— Т,/ То дхй лт и д 11 досд 1 — ( — д* ' д — т;)~ д; дтд дх (р дхл Р И" ~-'е(-1. —,.'. ("2,--)) -" 1 1 досл г~ ~ Я„ — — / дэ '(а~ ст; + (дэ» — ш) — »9) эбдяпос1Я = О. Так как вариации йт, и бд, произвольны, то из полученного равенства следует, что если функции нб и с1, удовлетворяют граничным условиям на участках Я и Яц поверхности Я, то эти функции являются решением краевой задачи термоупругости. Необходимо отметить, что рассмотренные функционалы 1[и,д] и 1[от.д] не обладая>т экстремальными свойствами. В этом состоит их существенное отличие от функционалов, которые входят в формулировки принципов Лагранжа и Кастилья- но.
Если не учитывать процессы деформирования, т.е. ец = О, п,~ = О и Я~ = Я„= И, то сформулированные вариационные принципы приводят к краевой задаче нестационарной теплопроводности с соответствующими краевыми условиями. Для получения соотношений, определяющих статическое распределение деформаций и напряжений, а также стационарную теплопроводность в рассматриваемом упругом теле, можно воспользоваться предельным переходом р — > О. В этом случае функции, содержащие в качестве сомножителя параметр р преобразования Лапласа, исчезают, а каждый из функционалов /[и, д] и 1[о, и] преобразуется в сумму двух функционалов: ,1[и,д] =,У~[и]+ 1я[д], 1[ст,д] = 1~[юг]+1г[д]. При этом функционалы 1~ [и] и 1~[~т] будут эквивалентны тем функционалам, которые входят в формулировки принципов Лагранжа и Кастильяно.
Условия стационарности функционалов,72 [д] и 1з [ц] эквивалентны краевой задаче стационарной теплопроводности, сформулированной соответственно для д и о. 20. ДВУСТОРОННИЕ ОЦЕНКИ В ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ Построенные в 19 функционалы в частном случае соответствуют двойственной вариационной формулировке линейной краевой задачи стационарной теплопроводности. Помимо решения такой задачи, т.е. нахождения температурного поля в некоторой (в общем случае) пространственной области Г, ограниченной новерхносчъю о', двойственная формулировка позволяет получить двусторонние оценки ряда важных интегральных параметров, характеризующих процесс передачи теплоты.
Пусть распределение температуры 'ЦМ), зависящее от положения точки ЛХ Е Г на замыкании Г = Р" 0 о области Г, удовлетворяет дифференциальному уравнению С~(Л(М) УТ(М)) + ~„(М) = 0, И ~ Р; (20.1) с граничными условиями (20.2) Т(Р) = Л(Р), А(Р) ууТ(Р) п(Р) + о(Р)Т(Р) = )2(Р) Р Е Яз. (20.3) Здесь Л вЂ” коэффициент теплопроводности: о1. — — объемная мощность энерговыделения; ~1 и заданные функции положения точки Р на участках э'1 и Яз = Я ~ Я1 поверхности Я соответственно; и — — единичный вектор внешней нормали к поверхности о'; о — коэффициент теплообмена (рис. 20.1).
Рис. 20.1 Краевой задаче (20.1) — (20.3) соответствуют двойственные функционалы* лс=)( — ~рт~ — д т)иг+~( — 'г — ьт)ы, эас 1[Т,д) = — ( — Л' — I ~~дпйЯ вЂ” / — Т94Я, (20.5) ,/ 2Л,Г ./ 2 с ~И д(М) = д~(М), М Е Г; Ч(Р) п(Р) = о(Р)Т(Р) — 1г(Р), Р Е Яя. (20.6) Справедливы неравенства 1[Т, г1) < з[Т'~ < мт~, (20.7) где Т*(М)., М Е Г, — распределение температуры, на котором функционал 1[Т] достигает своего наименьшего значения.
Для этого значения с учетом (20.1)- (20.3) имеем 2э [Т*[ = — дг Т* Л'+ ~~ЛЯТ* и г1$ — (9Т* сБ. (20.8) и л~ я~ Выделим несколько характерных случаев оценки интегральных параметров. 'См.: Зарубин В.С. (1983 г.) где о = ц(М) - — вектор плотности теплового потока, зависящий от гюложения точки М ЕГ. Функционал (20.4) определен па распределениях температуры Т(М) непрерывных па Р, удовлетворяющих граничному условию (20.2) и имеющих кусочно непрерывные производные в области Ъ', а функционал (20.5) .--- на непрерывно дифференцируемых в области Г функциях ц(М), удовлетворяющих условиям 466 2П.
ДВУСТОРОННИЕ" ОЦЕНКИ В ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 1. В области И действуют источники энерговыделения с постоянной объемной мощностью дк., а поверхность о состо- ит из участка о1 с заданным постоянным знаяением температуры, которое можно принять и за нуль отсчета, т.е. ~~ (Р) = О., Р Р е он и участка Яэ, на которых ~г(Р) = О, Р Е Яэ (рис. 20.2). В ) (м) ч Оо) Г,(Р) частном слУчае Участок оэ может быть идеально тсплоизолированным и теплообмен на нем п(Р) будет отсутствовать (о(Р) = О, Я, Р Е оэ). Ясно, что поверхность Рис.
20.2 о' может состоять лишь из одного участка: либо Нь либо оэ. При указанных условиях второй и третий интегралы в правой части (20.8) исчезают, и мы получаем формулу для температуры, осредненной по объему Г области: Т= — ~ Т*Л'= — 2 г, 1(т*1 р./ (20. 9) Используя (20.7) и (20.9), запишем двустороннюю опенку для этой температуры в виде — 2 =Т <Т<Т" = — 2 ' . (20.10) , .7(т) е г(т, ц1 д~ И дт~~" 2,1(т*) = т~я', + т,"я",, (20.11) 2. Пусть в области Г отсутствуют внутренние источники теплоты (дг(М) = О, М Е И), участок Яя поверхности о идеально теплоизолирован Цэ(Р) = 0 и а(Р) = 0 при Р Е оя), а на остальной части поверхности о' имеются два не граничащих между собой изотермических участка Н~ и Я~" с заданными значениями температур Т,' и Т," соответственно (рис.
20.3). В этом случае вместо (20.8) получаем где (1! и 6~! суммарные тепловые потоки, поступающие в область И через участки Я' и Я" ,ее поверхности соответственно,причем а(Р)=0 У,(Р)сО Я 7 =с 1 = сопя! Щ = ЛС~Т* и с(Я, а ~ — — Л'ст' п сБ. и(Р)сО ' Х!(Р)сО Рис. 20.3 яс 1 Согласно условию сохранения тепловой энергии при стационарном процессе теплопроводности, ф + Я" = О. 11оэтому, учитывая (20.11), получаем ,у~т*] =2т т ! ! Отсюда вьггекает формула для термического сопротивления т!! — т!!! (т!! — т!!!) (20.12) б)!! 2,7(Г" ] области И между изотермическими участками Я] и Я! поверх- ности Я.
Из (20.7) и (20.12) следует двусторонняя оценка для термического сопротивления: (т!! — т!!!) (т,' — т") 2,7[т] 27~т, 7] ' (20.13) 3. В области Г отсутствуют внутренние источники теплоты (д):(М) г— в О, М Е Г), участок Я! поверхности Я является изотермическим (7!(Р) ив е Т! = сопя(, Р Е Я!), а на участках Яз происходит теплообмен с внешней средой, температуру которой принимаем за нуль отсчета, т.е.
(2(Р) ив в О, Р Е Яз (рис. 20.4). 468 20. ДВУСТОРОННИЕ ОЦЕНКИ В ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ Т,=с (Р)юе Рис. 20.4 При таких условиях от участка 51 через участок Яз к внешней среде будет проходить, согласно (20.8), тепловой поток Л гТ" ги АБ = 2 ,1 [Т*) Т, (20.14) а суммарное термическое сопротивление теплопередаче между участком Я~ с температурой Т1 и внешней средой с нулевой температурой будет равно: Т, Тз Я 21[Т') (20.15) Используя (20.7), (20.14) и (20.15), запишем двусторонние оцен- ки для теплового потока Т[Т, о),1[Т) и для суммарного термического сопротивления Тз Тз 2,) [Т) 21[Т, о) 4. Пусть по-прежнему в области Г отсутствуют внутренние источники тепла (ц~(М) = О, М Е Ъ ), но отсутствует также и 469 участок Я» поверхности Я, а участок Яэ, на котором, согласно (20.3), происходит теплообмен с коэффициентом теплообмена о(Р), состоит из двух частей: на части Я~ теплообмен происходит с внешней средой, температуру которой примем за нуль отсчета, т.е.
ЯР) с— е О, Р е Я~', на остальной части Я~ = Яз '1 Я~ имеем Ь(Р) = Щ = сопв1 (рис. 20.5). ЯР) ж-=е Рис. 20.5 При указанных условиях из (20.8) можно найти среднюю температуру участка Я~. (20.16) Из (20.7) и (20.16) следует двусторонняя оценка для этой температуры: Л,т), т[Т., 9) — 2, (Тэ( — 2 ЧФз 9Фэ Если на участке Я! происходит теплообмен со средой, имеющей температуру Т,'., т.е. Ч!~ — — о'Т,', где о' -- постоянный на этом участке коэффициент теплообмена, то, используя (20.16), можно найти передаваемый через я~з суммарный тепловой поток с 470 20. ДВУСТОРОННИЕ ОЦЕНКИ В ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ и суммарное термическое сопротивление (20.18) ИТ Бг+ 2'П,Ч 1/Т Отсюда, учитывая (20.7), получаем двусторонние оценки для суммарного теплового потока и для суммарного термического сопротивления теплопередачи Т' Т/ оТ,'У~+2ЙТ~/Т,' оТ!Я+21~Т, д~/Т,' Пример 20.1.
Рассмотрим тепловыделяющий элемент, представляющий собой стержень с поперечным сечением в ви- де правильного шестиугольника зв А ,гз (рис. 20.6). Построим двустороннюю оценку средней по се- 3 , А, чению температуры Т при условии., что коэффициент теплопроводности Л материала стержня и мощность Ег энерговыде- А, Аз лениЯ постоЯнны в попеРечном сечении такого шестигранного гв ./з стержня. Заданное значение Ти температуры поверхности этого Рис. 20.6 стержня примем за нуль отсчета температуры. В силу симметрии сечения стержня относительно прямых, проходящих через противоположные вершины шестиугольника и через середины его противоположных сторон достаточно рассмотреть один из 12 треугольников, заштрихованный на рис. 20.6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
