XV Ванько В.И., Ермошина О.В., Кувыркин Г.Н. Вариационное исчисление и оптимальное управление (1081425), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Площадь Я поверхности деформированной мембраны вычисляется по формуле я = 1+ (и' )з+ (и')эйха КЬ КО~?ЕБАНИЯ МЕА?ЪРАНЫ значит, приращение площади равно; Отсюда находим величину потенциальной энергии деформиро- ванной мембраны: Пусть на мембрану действует поперечное давление ~(ж,у). Тогда элементарная рабога, затраченная на перемещение элемента поверхности с~ах?д на расстояние и(х,у,?), равна: бА = = ?иихф, а вся работа выражается интегралом: А = ?паис~у.
с Предположим, что контур Г мембраны удерживается линейно упругими пружинами с модулем упругости с и может перемещаться только вдоль оси Оя. На контур действует внешняя распределенная нагрузка р(1), направленная вдоль Оз и стремящаяся удержать контур в положении равновесия. Тогда суммарная работа упругих пружин равна: г а работа распределенной нагрузки р(1) есть А(р) = — р® ип4. г 4рб Кроме перечисленных внешних сил на контур действуют силы натяжения Т<П.
Их составляющая Т., вдоль оси Оя совершает работу по перемещению контура (рис. 14.1). Вычислим эту составляющую: ди Т, = Тяпа Т1яо = Т вЂ”, дг1 ' Рис. 14.1 ди где — производная и по направлению внешней нормали п к ди контуру Г. Таким образом, потенциальная энергия 1' упругой системы мембрана контурные пружины может быть записана в виде Если пренебречь массой контурных пружин, кинетическую энергию мембраны можно записать в виде Л = — р(и,',) йжйу., 2,/ / н где р = рв = сопвФ поверхностная плотность мембраны.
Для вывода уравнений движения мембраны используем принцип Гамильтона, согласно которому действие. по Гамильщвну на функции и(л,у,1), описывающей реальное движение мембраны, т.е. функционал 416 14. КОЛЕБАНИЯ МЕМБРАНЫ имеет нулевую первую вариацию: бд(и,5и) = О. Другими слова- ми, функция и(х,у,8) является стационарной точкой функцио- нала ~(Я.) ))1-7к'з'~«,)')-/н) )о Б 1 г ди — 1(~р) .~- )о ~т,— «)а)а. )не) 2 дп l Г Вычисляя вариацию этого функционала (см. 2.4) и приравнивая ее нулю, получаем уравнение колебаний мембраны 2 — (и + и„„) +1(х, у) = р11)1 (14 3) и естественные краевые условия ди То —, +у+си =О.
дп 1 (14.4) 2 = — 1(х,У), (х, У) Е С; То С вЂ” и= — —, (х, у) ЕГ. То То (14.5) д — + дп Если речь идет о закрепленной по контуру мембране, то контурный интеграл в (14.2) равен нулю и естественное краевое условие (14.4) заменяется заданным краевым условием и)Г = О. При использовании принципа Гамильтона мы считаем,. что допустимые функции имеют заданные значения в моменты времени 1о и ~1. Однако в задачах динамики задают только начальное состояние, т.е. считают известными и(х,у,8о) и и~1(х,у,1о).
Таким образом, эти задачи относятся к задачам смешанного типа: ставятся и краевые, и начальные условия. Поставим задачу о статическом нагружснии мембраны. Из уравнений (14.3) и (14.4), приравнивая нулю производные по времени, получаем 417 Эта задача представляет собой краевую задачу П1 рода для уравнения Пуассона ~Х1Ц. Если с велико (это соответствует высокой жесткости пружин)., то во втором уравнении можно пренебречь производной по направлению нормали. В этом случае получаем краевую задачу 1 рода (задачу Дирихле).
Если же с мало, так что можно считать, что с = О, получаем условия свободной границы. Это краевая задача П рода (задача Неймана). Задача Неймана имеет не единственное решение, решение будет зависеть от аддитивной постоянной, отражающей начальное состояние мембраны. Кроме того, в случае краевых условий П рода равновесие возможно только тогда, когда суммарная сила, действующая на мембрану, равна нулю: )(х,у)дхду+ р(1)сУ =О. С г 0 способах интегрирования уравнений движения (равновесия) мембраны см.
в ~ХП]. 419 Преобразуем второе пяагаемое в (15.2) с помощью интегрирования по частям: УчитываЯ, что начальное су(Хе) и конечное д(Р!) положениЯ ме- ханической системы фиксиРованы и вслеДствие этого 0!1(Хе) = = д!1(Х! ) = О. Поэтому — — ( — ) !- Ц ) б! !! = О. !0 (15.3) Из уравнения (15.3) вытекают уравнения движения неконсервативной системы с и степенями свободы, если учесть, что промежуток интегрирования произволен, а вариации 6д, независимы. Оказывается, что принцип Гамильтона в форме (15.3) справедлив и для систем с линейными неголономными связями. При этом из вариационного принципа можно получить не только уравнения движения, но и краевые условия.
Пусть жидкость несжимаема. При движении такой жидкости любой выделенный ее объем не изменяет своей величины (хотя и меняет форму). Выберем некоторый объем ЬП и рассмотрим возможные перемещения бт его точек. Перемещения должны быть таковы, что выполняется условие несжимаемости: !р = = О! где Ьй .- величина объема !лй жидкоЛй' — Ьй ! Лй сти после перемещения. Так как !д = 6Ь т, то 420 1Л.
УРАОН~НИЯ ДВО>КЯНИЯ 11Д~АЛЬНОЙ >К11ДКОС'П4 Рассмотрим идеальную несжимаемую жидкость, на которую, возможно, воздействукот неконсервативные силы. Принцип Гамильтона можно записать в виде и Ж (дТ+дА)оКП = О, оо и (15.5) Г а 1дт+дА+Лдр)И=О. со и (15.6) Здесь все подынтегральные величины отнесены к единице объ- 1 ема. Так как Т = -рии, то дТ = родо. Действительная скорость есть полная производная по времени от вектора перемещения т.
Поэтому й. о11дт) ди=д — = пе пе Учитывая это, находим и Г рди иой= ри Ж= с1(дт) оЫ оо оо и Г оЬ =ри дт — /р— оо о1о Р о1и дтдХ = — / р — дтпл, / а так как дт(1о) = дт(11) = О. где дТ и дА — вариации кинетической энергии Т и работы А, приходящихся на единицу объема.
Так как работа внутренних сил в любом объеме жидкости равна нулю (вследствие того, что она идеальна), то дА есть работа только внешних, например массовых, сил К, т.е. дА †.Кдт. Итак, ставится задача о стационарности действия по Гамильтону при дополнительном условии (15.4). Используя метод множителей Лагранжа, получаем 421 Далее, учитывая формулы связи между дифференциальными операциями векторного анализа, находим Лбу = Лс)1гбт = о11г(Лдг) — ягадЛ бг. По теореме Остроградского Гаусса | ~ОО~ ГО=~(а.ел )-Огш~ Ю )ОО= й й — ягао)Л дгдй+ Лбг псГЕ. Используя проведенные выкладки, получим и Ж (б1'+ 5А+ ЛЖр) ай = ч оо й с, 1 с~в о~( — о — +ж — о ыА)6 оо+ оо й + Ж Лбг ппЕ = О. (15.7) оо н Чтобы это равенство было верным, достаточно, чтобы обращалось в нуль каждое слагаемое.
Смысл множителей Лагранжа в случае механических систем состоит в том, что эти дополнительные неизвестные заменяют уравнения связей и на самом деле отражают ответные воздействия связей на систему, .т.е. характеризуют реакцию связей. При выделении объема идеальной жидкости связи проявляются как воздействие на выделенный объем „остальной" среды. А это есть нормальные давления на поверхность выделенного объема, т.е. Л = р. После введения множителя Л перемещения дг становятся свободными. Поэтому, приравнивая в (15.7) 422 15.
УРАВНЕНИЯ ДВИЖ ЕНИЯ ИДЕАДЬНОЙ ЖИДКОСТИ первое слагаемое нулю, заключаем, что подынтегральное выражение равно нулю, и получаем уравнение движения в векторной форме*: ба р — + кгас1р = Х. 45 (15 8) рпйг, = О. (15.9) Если часть границы Е1 области соприкасается с неподвижной стенкой, то из (15.9) с учетом р ф О получим условие отсутствия перемещений на этой части границы в направлении вектора нормали и, называемое условием непротекания (непроницаемости границы): пбг~ = О. * Смэ Лойцяяский Л.Г. Второе слагаемое в уравнении (15.7) после приравнивания нулю порождает краевые условия, выраженные через давление и перемещения точек границы: 16. АЭРОДИНАМИ ЧЕСКАЯ ЗАДА'ЧА НЬЮТОНА В 1687 г. вышел в свет исторический труд И.
Ньютона „Математические начала натуральной философии". В разделе 7 с О движении жидкостей и сопротивлении брошенных тел' Ньютон рассматривает задачу о сопротивлении движению шара и круглого цилиндра в, редкой" среде (идеальный газ, являющийся моделью воздуха, либо слабо сопротию>яющаяся жидкость). Затем он исследует вопрос о движении усеченного тела вращения в этой же среде и ставит проблему поиска уравнения образующей тела вращения, для которого сила сопротивления была бы наименьшей. Ньютон приводит решение задачи об усеченном теле вращения: „Когда же кривая РЯС будет такова, что если из любой ее точки Д> опустить на ось АР перпендикуляр ХМ и из оконечнойй" точки С провести прямую СР параллельно касательной Хг, то имеет место пропорция М1>1: СР = СР; (4ВР СВЯ) ". Итак, верна формула (рис. 16.1) М>в>> СРЗ в' и СР 4ВР СВЯ ' т однако Ньютон не дает объяс- С пения тому, как он пришел к этой формуле.
Впоследствии и в р г> он передает комментаторам Рис. 16.1 своих трудов наброски вывода, которые были опубликованы только в 1727 — 1729 гг., когда уже завершался первый этап создания вариациопного исчисления. Подготовительные материалы Ньк>тона были переведены с латыни А.Н. Крыловым и опубликованы уже в наше время'. Из опубликованного видно., Смл Крылов А.Н. 424 16. АЭРОДИНАМИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА НЬ1ОТОНА что Ньютон владел многими элементами вариационного исчисления, которые впоследствии разрабатывались Эйлером и Лагранжем.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
