XV Ванько В.И., Ермошина О.В., Кувыркин Г.Н. Вариационное исчисление и оптимальное управление (1081425), страница 49
Текст из файла (страница 49)
На и-м шаге, зная собственные значения Л~....,, Л„1 и соответствующие им собственные векторы хм ..., х„м решаем задачу (Ах, х) — « 1пГ, ~~х~~ =1, (х, х~) = ... = (х,х„~) =О. Если эта задача имеет решение, то оно дш:т собственное значение Ль и соответствующий ему собственный вектор х„. Ясно, что Л„> Л ь Если симметрический оператор А положительно определенный, т.е. (Ах, х) > 7э))х)) при х ф О, то все его собственные значения положительны (не меньше уэ).
Замечание 10.1. Множество Х в сепарабельном гильбертовом пространстве 'Н компактно, если любая последовательность (х„1 С Х содержит сходящуюся (по норме пространства) подпоеледоеательносепь. Аналогично, используя сходимость по энергии, можно ввести понятие множестпва, компактного по энергии. Компактное множество является ограниченным и замкнутььн. В конечномерном пространстве эти два уьловия являются и достаточными, но в бесконечномерном пространстве это уже не так. Множество, имеющее компактное замыкание, называют предкомпакгпным. Линейный оператпор А называют компактным (вполне непрерывным), если он любое ограниченное множество отображает в предкомпактное. Вполне непрерывный оператор непрерывен, но не всякий непрерывный оператор является вполне непрерывным.
В гильбертовом пространстве 'Н = 7 э~а, б] компактным является оператор вида 10.3. Соосгпоиные значения симметрического оператора 375 где К(х,у) — непрерывная функция на множестве [а, й] х [а,о]. Если К(х,1) = Л(~,х), то указанный оператор симметрический, а его спектр представляет собой последовательность (Л„1, сходящуюся к нулю. При атом каждому значению Лп ф 0 соответствует конечномерное собственное подпространство. Линейные дифференциальные операторы, как правило, не являются непрерывными, а тем более вполне непрерывными.
Однако в ряде случаев линейный дифференциальный оператор А имеет обратный оператор., являющийся вполне непрерывным. Тогда оператор А имеет спектр из последовательности собственных значений, стремящейся к со [Х1]. Примером такого дифференциального оператора является оператор Штурма Лиуеилля. Пример 10.4. Рассмотрим задачу на собственные значения е1'и — =Ли, хб[0,1], и(0) =и(1) =О. Эта задача представляет собой задачу Штурма — Лиуеилля.
Ее операторное уравнение Аи = Ли определяется линейным 12 дифференциальным оператором А = — —,, который действует йтз' в Ля[0,1], определен на множестве Соз[0,1] функций, дважды непрерывно дифференцируемых на [О, 1] и удовлетворяющих граничным условиям задачи. Этот оператор симметрический и положительно определенный (см.
примеры 9.7 и 9.10). Положительная определенность оператора, означает, что он ограничен снизу, причем в качестве константы й можно взять нуль. Задача Штурма,Лиувилля решается аналитически. Собственными значениями оператора А являются числа Л„= ная2, а ортонормированная система собственных функций имеет вид [Х1] ~рп(х) = „Г2в1п(нлх), н = 1, 2, 376 10. МЕТОДБ1 РЕШЕНИЯ ВЛРИАЦИОННЫХ ЗАДА'1 Выясним, как выглядит вариационная формулировка задачи Штурма — Лиувилля. Для произвольной функции и Е Сс [О., Ц, согласно (9.14) с учетом с = О, имеем 1 (», ) = |( (к))1Ь с Поэтому наименьшее собственное значение Л1 = яз является решением вариационной задачи Отметим, что в прикладных задачах возникает необходимость находить ненулевые решения операторного уравнения вида (10.34) Аи — ЛВи = 0 (Аи, и) — 1 1пГ, ((и((н = 1.
(10.35) Это можно показать., незначительно модифицировав доказа- тельство теоремы 10.3. Аналогично (10.33) для следующего по возрастанию собственного значения и соответствующего ему собственного элемента получим задачу (Аи, и) — + 1пГ, ((и((н = 1, (Ви, и) ) = О, с однородными граничными условиями, где А симметрический оператор, а В --- положительно определенный, причем Р(А) С Р(В). Если в области определения Р(В) оператора В с помощью соотношения ((и((н = (Ви, и) ) ввести энерге)пическдю норму ((. ((и, то наименьшее собственное значение Л1 и соответствующий ему собственный элемент и1 будут решением вариационной задачи 1а4. Приближенное решение задачи на еобетненные значении 377 так как векторы и1 и из, отвечающие различным значениям Л1 и Лз, ортогональны относительно энергетического скалярного произведения, порожденного оператором В (доказательство этого аналогично доказательству ортогональности собственных векторов, отвечающих различным собственным значениям).
Последовательно можно найти собственные значения Л~,...., Л„1 и отвечающие им собственные элементы им ..., и„ь Тогда собственное значение Л„и соответствующий ему собственный элемент ин будут решением задачи (Аи, и) — ~ 1пГ, ~~и~~в = 1, (Ви., и1) =... = (Ви, и„1) = О. 10.4. Приближенное решение задачи на собственные значения Задачу на собственные значения ограниченного снизу симметрического оператора А1 можно свести к задаче на собственные значения для положительно определенного оператора А. Действительно, если выполнено неравенство (Ах, х) > > Й~~х~~, то оператор А1 = А — ЙЧ, где Й' ( Й, а 1 — — толедест енный оператор, является положительно определенным, так как (А1х, х) = (Ах — Й'х., х) = (Ах, х) — Й' (х, х) > (Й вЂ” Й') ~~х~~ > О.
При этом, если Л - собственное значение оператора А, а х .— соответствующий собственный вектор, то А1х = Ах — Й'х = = Лх — Й'х = (Л вЂ” Й')х. Значит, х является и собственным вектором оператора Ап а соответствующее этому вектору собственное значение оператора А1 равно Л вЂ” Й'. Итак, можно ограничиться рассмотрением лишь положительно определенного оператора А, все собственные значения которого положительны. Покажем, как вариационная задача (10.32) нахождения наименьшего собственного значения такого оператора А может быть решена методом Ритце. 378 10. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ВАРИАЦИОННЫХ ЗАДАЧ РассмотРим послсДовательность 1еп) вектоРов из обпаслпи Р(А) определения оператора А, линейно независимую и полную относительно энергетической нормы, порожденной оператором А.
Образуем линейную комбинацию хк = а1е1 + ... + акен, коэффициенты в которой подберем так, чтобы (хк, хк) = ((хк(! = 1, (10.36) (Ахн, хк) = ~~хм~~,~ — 1 1пГ, т.е. наименьшее значение энергетической нормы ))хк((А будем искать в линейной, оболочке конечной системы векторов е1, ..., ек. Это приводит к поиску наименьшего значения действительной функции Х переменных а1, аг, ..., ак, имеющей вид Х и ~(а1,...,ак) = (Ах1у, хк) = ~ ~ (Ае„, ет) апа, (10.37) п=1 т — — 1 при ограничении (хк, хл) = ~ ~~ (е„, ет)апа, =1.
(10.38) и=-1т=1 Поставленная задача имеет решение, поскольку непрерывная функция Х переменных достигает своего наименьшего значения на замкнутом ограниченном множестве ~ '11 ). Воспользуемся методом множителей Лагранжа. Функция Лагранжа имеет вид Ф = (Ахк, хк) — Л(хк, хк). Необходимое условие экстремума этой функции дает дФ = ~',~ (Аеп, ет) — Л(еп~ ет))ап = О, т = 1, Х. (1039) дат Согласно ограничению (10.38), искомое решение однородной системы (10.39) линейных алгебраических уравнений должно 10.4.
Приближенною рвчивнив задачи нн собственные значении 379 быть ненулевым, т.е. определитель ее иагарицы должен рав- няться нулю: (Ае~., е1) — Л(е~., е1) ... (Аеи, е1) — Л(е и, .е1) (Аеыеэ) — Л(еь.,е2) ... (Аен,еэ) — Л(ем,еэ) (Аеыею) — Л(емеу) ... (Аеу,еж) — Л(еж,еу) Х Х ,'~ ~~ (е„„ет) а,аот = 1. и=~ т; — -1 (10.41) Подставив значения ао, п = 1, Х, и Ло в (10.39), получим тождества (Ае„, ет) а~', = Ло ,') (е„, еи,) а'~, гп = 1, Х. и=1 умножим их на ао и просуммируем по ьал (Ае„, ет)а" а", = Ло ~ ~~) (е„, ет) а'~аон.
т=1 и=! Вследствие (10.41) правая часть этого соотношения равна Ло. Поэтому для вектора хб, —— а1е1+... + ауеж имеем о о о Х Я (Ахоу, х~~,) = ~) ~) (Ае„, е,„)аоаои = Ло. Так как система (е„), и = 1, Х, линейно независима, то жагарица Грама для векторов еы ..., ен неоыролсдсна. Значит, в (10.40) коэффициент при Лв', равный по абсолютному значению определителю матрицы Грама, не равен нулю. Пусть Ло один из корней алгебраического уравнения (10.40) Х-й степени.
Подставим Ло в систему (10.39) и найдем ее ненулевое решение (а„аю ..., а, ), определяемое с точо о о1 ностью до числового множителя. Этот числовой множитель позволяет выбрать решение так, что будет выполнено условие нормировки,т.е.можно считать,что 380 1н мктоды ккткния нлрилционных злдлч Чтобы найти решонис задачи, необходимо выбрать наименьший корень Лв алгебраического уравнения (10АО) и вычислить соответствующий этому значению вектор хж. Увеличивая Х. ,получим последовательность 1Лв ) значений Л" (Х Е И) и последовательность 1х -) соответствующих им векторов. Так как при возрастании Х множество, на котором идет поиск наименьшего значения в (10.36), расширяется, последовательность )ЛЯ) нс возрастает, причем Л~~, > о, где о — наименьшее значение функционала в вариационной задаче (10.32). Значит, существует предел 1ш1 Л~~, > о.
Можно показать, что ьь на самом деле этот предел равен о, т.е, последовательность )х~~~) является минимизирующей. Чтобы найти следующее по возрастанию после Лв, собственное значение оператора А, решаем вариационную задачу (Ахл, хю) -+ 1пГ. (хж; хн) = 1, (хвж, хн) = 0 на линейной оболочке системы векторов е1, ..., еж, что приводит к поиску наименьшего значения той же функции (11137) Х переменных при ограничениях ж ж ",1 '5 (Е„.,Еп,)а„а. =1, ",1 ",1 (Е„,Е )а~пав=О, которые вытекают из формулировки задачи (10.33).
Пример 10,5. В задаче Штурма Диувилля найдем приближенные значения двух младших собственных чисел, выбрав в ка 1естве счетного базиса последовательность иь(х) = (1- х)х, й Е 1я. Взяв первые две функции счетного базиса, вычислим элементы определителя второго порядка в характеристическом 10.4. Прнблнженное решение задачи на еабнтненные значения 381 уравнении 110.40).
Для этого последовательно находим 1 (ими~) = —, 30' 1 (и1,и2) = — , 1 1и2 из) = —, 105' 1 1 2 (Аи1, и1) = —, (Аи1 и2) = —, (Аиз, и2) = —. Таким образом, в данном случае уравнение 110.40) имеет вид 1 1 — — Л.— О ЗО 1 1 — — Л.— б бб — — Л вЂ” — Л б бб раскрывая в этом уравнении определитель, получаем квадрат- ное уравнение второго порядка: Л2 —,Л+1 = О. 2 Его решениями являются Л1 = 10 и Л2 = 42.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
