XV Ванько В.И., Ермошина О.В., Кувыркин Г.Н. Вариационное исчисление и оптимальное управление (1081425), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Точные значения первых двух собственных чисел равны Л~ = пз 9,8696, Л2 = = 4п2 = 39,4784. Нетрудно убедиться., что точность полученных приближений находится в пределах 1,5% для первого собственного значения и в пределах 2,6% для второго собственного значения. Отметим избыточный характер приближений. Применение метода Ритин для нахождения любого собственного значения положительно определенноео оператора А обеспечивает приближение сверху. Однако на практике наряду с оценкой собственного значения сверху не менее важно иметь его оценку снизу.
Наличие двусторонней оценки собственного значения позволяет контролировать сходимость приближенного решения и иметь представление о возможной погрешности этого решения. Оценку сверху собственного значения Л1 симметрического оператора А можно получить, используя произвольный ненулевой элемент и (Оиб ) О) из области определения Р(А) этого 382 1а мнтоды рнткния нлрилционных злдлч оператора. Действительно, в силу теоремы 10.3 — (Аи., и), (Аи, и) Л~ = ' > 1пГ ', ибР(А). (и., и) о~о (и, и) ' Если <>перотор А положительный, то оценку снизу для Л1 можно найти, располагая такой гарантированной оценкой Ля снизу следующего собственного значения Лэ, что Л1 < Ля < < Лз.
Тогда, вычислив предварительно по указанному выше ненулевому элементу и Е Р(А) значение (Аи, Аи) ~Аи, и) ' придем в итоге к неравенству [ХШ) Л, (1 — ' ) < Л, < Л,, Л вЂ” Л (10.42) Вопросы и задачи 10.1. Исследуйте свойства оператора /~и) = — — (Я+и — ), определенного на множестве С~о~0,1) функций н(и), дважды непрерывно дифференцируемых на ~0, 1) и удовлетворяющих краевым условиям и(0) = н(1) = О. которое имеет смысл при условии Л1 < н.
Это условие выполняется, поскольку в силу нероеенеепеа Коши - — Буняковского )(Аи, и)) < )(Аи(! ()и)). Так как для положительного оператора Л1 ) О, то применение (10.42) эффективно лишь в случае, если гарантированнзл оценка снизу для Л2 такова, что и < Л2. В противном случае левая часть в (10.42) будет неположительной. 383 Вопросы и задачи 10.2. В задаче на собственные значения лл / лллл '~ — — ( '1+': — ) =Лп, ~[О,Ц, ллх ах лл(0) = лл(1) = 0 найдите методом Ритца два первых приближения для наименьшего собственного значения Лл. В качестве двух первых функций счетного базиса используйте функции пл(х) и ил(х) из примера 10.5.
10.3. Выясните, является ли заданный оператор симметрическим при заданных краевых условиях, и решите задачу на собственные значения: а) уп = Лд', у(0) = у(1) = О, х б [О, 1]; б) — до =Лу, у(0) =у'(0) =О, х е [О, со); в) у'~ = — Лу~~, у(0) = дп(0) = д~~(1) = упл(1) = О, х Е [О, 1]. и. Двойственные ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ 11.1. Альтернативные функционалы Существенным преимуществом вариационной формулировки прикладной задачи, функционал которой имеет определенные экстремальные свойства, является не только возможность применения эффективных прямых мелиодаа, но и удобные способы оценки погрешности приближенного решения. Действительно, из двух приближенных решений и1 и иа в задаче на минимум функционала,1[и] разумно отдать предпочтение тому из них, на котором значение функционала 1[и] меньше, т.е.
ближе к минимальному значению. В этом случае значение функционала выполняет роль обобщенного критерия для сравнения двух и более приближенных решений. Для количественной оценки погрешности приближенного решения и можно использовать разность Л1 =,1[и] — 1[и„] значений функционала (и, точное решение задачи на минимум функционала). Эту разность можно связать со значением ]]и — и,]], отражающим близость точного и приближенного решений.
Но элемент и„не известен в процессе приближенного решения задачи, поэтому не известно и значение а[и„]. Следовательно, необходимо направить усилия на поиск оценки значения 1[и„] снизу, чтобы получить оценку разности Ы сверху. Оценка неизвестного значения 1[и,] может быть получена, если построить дополнительную вариационную задачу на максимум некоторого функционала 1[с], удовлетворяющего условию 1[п„] = п1ах1[п] < ш1п.7[и] = а [и„]. (11.1) 385 11Л. Лльторннтннныо функционалы Тогда для любой пары элементов и Е 11(,7) и о Е В(1) имеем 1[о] < 1[и„] < 1[и,] <,1[и]. (11. 2) Таким образом, получаем оценку сверху приближенного решения и: Ы = 1[и] †,1[и„] <,1[и] — 1[и].
Функционал 1[и], который связан с функционалом /[и] условием (11.1), будем называть альтпернатпивным (двойственным) дтуннционалом по отношению к функционалу /[и], а вариационнунэ задачу на максимум функционала 1[о] --- двойственной вариационной задачей по отношению к вариационной задаче на минимум,1[и]. Отметим, что оценка приближенного решения разностью /[и] — 1[и] имеет нижнюю границу, равную 1[и„] — 1[о.]. Поэтому при построении двойственной задачи желательно, чтобы эта граница была как можно меньшей. Лучше всего, когда она равняется нулю.
Однако это условие лишь необходимое и имеет в основном теоретическое значение, так как в практических вычислениях эта граница не известна. Совпадение решений у двойственных задач еще не гарантирует хорошей оценки приближенного решения. В прикладных задачах значение функционала обычно имеет определенный содержательный смысл и определяет некоторую усредненную характеристику исследуемого объекта или процесса. Поэтому двусторонняя оценка вида (11.2) дает возможность оценить, насколько точным является найденное приближенное значение указанной характеристики. Таким образом, весьма важно выяснить, при каких условиях для данной вариационной задачи, представляющей собой вариационную формулировку некоторого операторного уравнения, можно построить двойственную вариационную задачу.
Построение двойственной задачи - неоднозначный процесс, оно может приводить к различным вариантам в зависимости от выбранного способа построения. Наиболее распространенным подходом к построению двойственной задачи 386 т т. ДВОЙстВенные ВАРидниОнные 3АДАчи является следующий. Рассмотрим задачу на минимум функционала,1[и]., определенного на некотором множестве Г = 0(1). Предположим, что имеется такой функционал Ф[и,тт], заданный на множестве У х Р, что исходный функционал /[и] можно представить в виде ,1[и] = япр Ф [и, и]. Тогда поставленную вариационную задачу можно интерпрети- ровать как минимаксную: 1, = шГ 1[и] = шГ впрФ[и, тт].
(11.3) исп ива~ При этом оказывается, что функционал 1[тт] = шГ Ф[и,тт] иетт является альтернативным по отношению к функционалу 1[и]. Это вытекает из следующего утверждения. Теорема 11.1. Если функционал Ф[и,тт] определен на множестве УхЪ', то впр шГ Ф[и, и] < шГ вттр Ф[и., тт]. иет'иетт иеттиет'' (11.4) М Неравенство (11.4) очевидно., если его правая часть равна+ос (это соответствует случаю., когда при любом и Е Г функционал Ф[и, тт] не ограничен по и).
Поэтому будем считать, что мини- макс в правой части неравенства равен некоторому числу М. Для любых и Е Г и тт Е 1' имеем Ф[и, .тт] < япр Ф[и, тт]. иет Значит, и точные нижние грани по и связаны таким же неравенством: шГ Ф[и, тт] < шГ впр Ф[и, тт]. иеп иет' 387 П.2. Построение альтернативного функционала Отсюда следует, что функционал 1[о[ = шу Ф[и, о[ ограни- нЕВ чен сверху числом М = ш1 вар Ф[и, о[, т.е. число М является нсвв еВ' верхней гранью функционала 1[о1 Поэтому впр1[о[ < М, так еен как точная верхняя грань -- это наименьшая верхняя грань. Последнее неравенство эквивалентно неравенству (11.4). ~и 11.2. Построение альтернативного функционала До сих пор краевые условия., входящие в формулировку вариационной задачи, рассматривались как ограничения на область определения функционала.
Однако иногда удобно трактовать вариационную задачу как задачу на условный экстремум, которая в самом общем виде формулируется следующим образом. Пусть в гильбертовом пространстве 'Н задан функционал /[и[ с областью определения Р(1), а оператор Ф[и) отображает Р(,1) в некоторое полное евклидово (гильбертово или конечномерное евклидово) пространство У. Требуется найти минимум функционала /[и[ при условии Ф[и[ = О (О в данном случае обозначает нулевой элемент евклидова пространства У).
Другими словами, ищется минимум функционала 1[и[ на множестве (и й Р(Х): Ф[и1 = О). В случае гладкой задачи, т.е. если множество Р(,1) открыто, а функционал и оператор дифференцируемы*, решение этой задачи можно искать с помощью метода множителей Лагранжа. Если и, . решение задачи, то при некоторых дополнительных предположениях'* существует такой элемент о е У, что элемент и, является стационарной точкой фунниионала Лаеранжа ь[и,о[ =,У[и) + (Ф[и[, о) . (11. 5) *Понятия дифференциала Фреще и дифференциала Гато для оператора анвлегичны соответствующим понятиям для функциенала, введенным в ь2. "*Смс Алексеев В.ЛХ., Т1ыомиров В.М., Фомки С.В..
388 и. дООЙстн~11нь1е ОдРЙАцйс01ны~ эАдлчй Оказывается., что функционал Лагранжа позволяет сформулировать задачу, двойственную к исходной. Действительно, вариационную задачу .7[и) — ~ 1п1; Ф[и] = О (11.6) поиска точки минимума и, функционала 7[и] можно предста- вить как минимаксную задачу ,7[и,) = шГ впрА[и,о] аенаеу [11 7) .7[и„] = шЕ впр7 [и, о] = впр ш1 Ци.,о] = впр1[о] = Е[о„1 (118) аенаеу ась аеп где 1[о) = ш1 А[и,о). асп (11. 9) Отметим, что правая часть в формуле [11.9) может принимать значение — сс. Разумно ограничиться теми значениями о, для которых 1[о] конечно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
