XV Ванько В.И., Ермошина О.В., Кувыркин Г.Н. Вариационное исчисление и оптимальное управление (1081425), страница 53
Текст из файла (страница 53)
При этом движение механической системы будет изображаться некоторой кривой, которая параметрически описывается вектор-функцией (д1(1), ..., и (1)). Производные щ(~) лагранжевых координат по времени называют обобщенными скоростями механической системы. Итак, механическая система из п материальных точек изображается точкой в гп-мерном арифметическом пространстве, которое мы будем считать евклидовым со стандартным скалярным произведением. Любому движению системы из положения А(дш, ..., д,„е) в положение В(цы, ..., пьн) соответствует кривая ц(~) = (д~(1), ..., д„„Я), 1 Е ~1о, 11]., для которой д,(1в) = дю, д,;(~~ ) = дн, г = 1, на Все гладкие кривые в пространстве обобщенных координат, проходящие через данные точки А и В, будем называть возможными траекториями, а ту из них, по которой происходит движение системы под действием приложенных сил, — — действительной траекторией.
407 Пусть механическая система потенциальна и, вообще говоря, неконсервативна. Функцией Лагранжа механической системы называют функцию 1,=1(1,7,)) =т+П, а дейспсеиелс по Галсильспону для рассматриваемой механи- ческой системы — функционал сс ~~д] = 7,~1,д,п) сй, со заданный на всех возможных траекториях системы. Согласно принципу Гамильтпона, среди возможных траекторий движения системы действительной является та, на которой вариация действия по Гамильтону равна нулю: с! дЯ[с7] = Б Ц1,с7,ц) й = О.
со Другими словами, действительная траектория является стационарной точкой действия по Гамильтону. Итак, для того чтобы найти траекторию движения механической системы, вызванного приложенными к системе внешними силами, нужно определить стационарные точки функционала, называемого действием по Гамильтону. Но точно так же решается простейисол задачи вириаиссонного исчисления с, со — 7 — Л =О с=1 сп, с 4 в (12.4) где с1о = (чсо, "., Ч о); с7с = (Чсс ...
час): с1(с) Е С~с|соЛс].лсс ). Экстремали вариационной зада си (12.3) ищутся как решения системы уравнений Эйлера 408 12. ПРИНЦИП РАМИ~?Ь ТОНА удовлетворяющие краевым условиям вариационной задачи. Система уравнений (12.4) в теоретической механике известна как система уравнений движения в форме Лагранжа. Замечание 12.1. Изложенный прицип бьы опубликован В. Гамильтоном в 1834-1835 гг.
в случае стационарных, т.с. не зависящих от времени связей. Независимо от него и в более общем случае нестационарных неголономных связей этот принцип был сформулирован М.В. Остроградским в 1848 г. Поэтому иногда в литературе принцип Гамильтона называют принципом Гамильтона Остроградского. Хотя в принципе Гамильтона действительная траектория характеризуется как стационарная точка функционала (действия по Гамильтону), заданного на множестве возможных траекторий на общем промежутке времени [1~.,11) с общими концами А и В, в ряде случаев по смыслу рассматриваемой прикладной задачи ясно, что действительная траектория является и точкой минимума рассматриваемого функционала, а поиск действительной траектории фактически эквивалентен решению простейшей задачи вариационного исчисления (12.3).
В таких случаях принцип Гамильтона сводится к принципу наименьшего действия. Пример 12.1. Рассмотрим механическую систему, состоящую из единственной точки, движение которой подчиняется голономной связи ж +И +я =Л, где ж, д, я -- текущие координаты этой точки. В этой системе точка перемещается по сфере. Если внешние силы отсутствуют, то потенциал сил Г можно считать равным нулю и действие по Гамильтону имеет вид где гп — масса материальной точки; и — вектор скорости точки в текущий момент времени. Можно показать',.
что при отсутствии внешних сил движение идет с постоянной по модулю скоростью (~н! = и = го = сопя1), а траекториями движения будут дуги больших кругов на сфере. Значит, действие по Гамильтону можно записать в виде 'о1 — го). 2 Для любых фиксированных точек А и В на сфере можно указать две дуги большого круга, соединяющие эти точки. Каждая из них, как отмечено, является деиствительнои траекторией. Меньшая из них дает минимум действия по Гамильтону, а ббльшая максимум, так как при фиксированном промежутке времени однозначно определена постоянная скорость, с которой материальная точка должна двигаться по траектории, причем эта скорость пропорциональна длине траектории. Итак, не всякая действительная траектория обеспечивает минимум действия по Гамильтону.
Отметим частный случай, когда точки А и В диаметрально противоположны. В этом случае существует бесконечно много действительных траекторий, соединяющих эти точки, причем среди таких траекторий можно выбрать сколь угодно близкую к некоторой заданной. В теоретической механике такие точки называют сопряженными кинематическими фокусами. Если движение на сфере ограничить некоторой областью Р, не содержащей диаметрально противоположных точек (сопряженных кинематических фокусов), то любая экстремаль будет давать минимум действия по Гамильтону.
Значит, принцип Гамильтона в малом (т.е. локально) становится принципом наименьшего действия. 'См., например: Бяхеелья Н.Н. 13. КОЛЕБАНИЯ СТР'УНЫ Простейший пример механической системы с распределенной массой струна или стержень. Струной (нитью) называют тело, у которого поперечное сечение намного меньше длины (одномерное тело) и которое сопротивляется только натяжению. Струна однородна, если плотность материала, из которого она изготовлена, постоянна. Пусть в некоторый начальный момент времени струна под действием натяжения Х приобрела длину 1 и располагается в прямоугольной системе координат Оху вдоль оси Ох, х Е (О, 1), концы ее закреплены в точках (О, О) и (1,.
О). Поперечные малые колебания струны можно описать функцией и = и(х,1), значение которой и(ж,1) есть отклонение вдоль оси Оу точки, имеющей в положении равновесия координаты (ж, О). При этом ~и(х,1)~ <<1, ~и'(ж,1)~ <<1 при 1) ео и ж Е (0,1). Кинетическая энергия элемента длины струны равна НТ = — р(и~) Нж, где р / 2 линейная плотность материала. Поэтому кинетическая энергия колеблющейся струны выражается формулой При колебаниях длина струны меняется на величину 1+ (и')зЫх — 1 — (и ) с1х. Сила натяжения совершает работу на этом приращении длины.
Согласно теореме Клапейрона*, вклад внешней силы *Смэ Рабожнов Ю.Н. 412 13, КОЛЕБАНИЯ СТРУНЫ Струна, распрямляясь, совершит работу, отличающуюся зна- ком от работы А внешней нагрузки. Следовательно, дополни- тельная потенциальная энергия равна: — р(х, й) и(х, 1) дх. о Записав действие по Гамильтону и с и и о находим уравнение Остроградского этого функционала: ри",, — Хи" =р(х,й),. (13.2) Ъ'(и~ = ~ ( — -Х(и ) — р(х)и) Йх — > п1ш / 2 х о Соответствующее уравнение Остроградского, представляющее собой уравнение равновесия, имеет вид Хи" +р(х) = О.
Это уравнение является частным случаем уравнения (13.2) при условии, что ускорение и",, тождественно равно нулю, а распределение внешней нагрузки не зависит от времени: Р1х,!) — = Р1х) *Сиз Вольжир А.С. которое представляет собой уравнение вынужденных колебаний струны. Положение устойчивого равновесия' под действием статической нагрузки получим, решив вариационную задачу 14.
КОЛЕБАНИЯ МЕМБРАНЫ Мембрана — это материальная поверхность (пленка), которая нс сопротивляется изгибу и сдвигу. Пусть мембрана натянута на плоский контур Г, охватывающий область С в плоскости хОу. Рассмотрим поперечные колебания мембраны, в которых перемещение и(х, у,1) каждой точки (х, у) Е С перпендикулярно плоскости хОу. Пусть й элемент некоторого контура на поверхности деформированной мембраны. На этот элемент действует усилие ТЖ, где вектор Т вследствие отсутствия сопротивления изгибу и сдвигу лежит в касательной к поверхности плоскости и перпендикулярен Й, а его модуль Т представляет собой величину натяжения мембраны. Предполагая, что мембрана подвержена малым колебаниям, т.е.
~и(х, у,1Я намного меньше размеров С, а (и' ), )и'„( много меньше единицы, мы можем пренебречь вторыми и более высокими степенями частных производных, так как, например, )и' ! « (и' ), )ц,'„( « )и,'„). Натяжение Т(х, уЛ) во всех частях мембраны одинаково, т.е. Т(х, у,1) = Те = сопй. Считаем, что материал мембраны обладает линейно упругими свойствами. Тогда потенциальная энергия деформирования мембраны пропорциональна приращению площади ее поверхности, причем коэффициент пропорциональности равен натяжению. Это можно показать., выделив дифференциальный элемент площади и подсчитав элементарную работу сил натяжения, затра ~енную на его деформирование.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
