XV Ванько В.И., Ермошина О.В., Кувыркин Г.Н. Вариационное исчисление и оптимальное управление (1081425), страница 57
Текст из файла (страница 57)
442 нс пРинЦипы.чАГРАнжА, РейсснеРА, НАсти~7ьЯИО Пусть кинематические ограничения отсутствуют, т.е, л' = к . Тогда объемная плотность внутренней энергии и(е, ) равна нулю на векторных полях перемещений, соответствующих малым перемещениям упругого тела как абсолютно твердого, т.е, при (18.4) и, = с;+ емьшуж~,. где с, = сопя1, ь~; = сог1в$ — компоненты вектора поворота; е, ь — — символ Леви — - Чивиты, представляющий собой тензор ранга 3 (е; ь = 1, если индексы г, 1, к различны и следуют в порядке (1,2,3), (2.,3,1) или (3,1,2), с, ь = — 1, если этот порядок нарушен, и е; ь = О, если среди индексов есть одинаковые). При таких векторных полях перемещений имеем е,,~ —— О.
Необходимым условием ограни шнности снизу функционала,1[и] является равенство нулю его значений на векторных полях перемещений вида (18.4). Поясним это условие. Функционал У[и] неотрицателен и, следовательно, ограничен снизу нулем. Функционал Т[и] линеен, и поэтому множество его значений не ограничено. Сумма функционалов У[и] — А[и] может оказаться ограниченной снизу только за счет того, что с увеличением Ь[и] растет и Ци], причем отметим, что последний, будучи квадратичным функционалом, растет быстрее. Однако ясно, что рост функционала У[и] не сможет компенсировать рост Ь[и] на тех функциях иб на которых У[и] = О, т.е.
на векторных полях перемещений вида (18.4). Указанное условие ограниченности снизу функционала,7[и] дает соотношение бг(с~ + еуь<>~ть) ~~~ + р~'(сг'+ ебьо~~ жь) Й~ = О, откуда при сг у'= О и ьО ф О в общем случае следуют шесть равенств: (18 5) е;уь бзхь(Лг+ Р хьсИ = О. Равенства (18.5) означают, что суммарные внешние сила и момент, действующие на тело, должны быть равны нулю. Если равенства (18.5) выполняются, то функционал,7[и| инвариантен относительно движений упругого тела как абсолютно твердого.
В этом случае задача поиска стационарных точек функционала 1[и) не имеет единственного решения. г1тобы решение было единственным, на поля перемещений надо наложить ограничения. Например, можно положить, что Г и,Л'=О и ейьи,хзсЛ'=О, и т.е. приравнять нулю среднее перемещение и средний поворот тела. Если упругие свойства рассматриваемого тела не вырождаются, т.е. и(е, ) > О при е, ф О, то., как оказывается, условия (18.5) при Я„= м являются достаточными для ограниченности снизу функционала,1[и). Функции 5; и р; при этом должны быть суммируемыми с квадратом.
Если на части Я„граничной поверхности тела заданы компоненты вектора перемещения, то можно доказать, что функционал энергии также ограничен снизу для любых суммируемых с квадратом функций 6; и р„в том числе и для имеющих ненулевые суммарные силу и момент'. Ограниченность снизу функционала энергии позволяет поставить задачу об определении для него минимизирующего элемента. Эта задача может быть сформулирована в форме вариационного принципа Лагранжа: среди всех возможных перемещений действительные перемещения сообщают функционалу энергии минимум. 445 Уравнения (18.6) представляют собой уравнения равновесия в объеме И и граничные условия на поверхности Я .
Они были получены с учетом того, что бп,, = О на поверхности Я„. Пример 18.1. Пусть задана объемная плотность свободной энергии 1 (т) (т) 1 , (т) (т) 4(ей~ ) 2 пью(~ы еы )(~п ей ) ~ чы ы О где С; ы -- симметрический тензор четвертого ранга независимых от координат коэффициентов упругости, С, ы = С пя = Ог) Ог) = СОь = Сий, 'е, = аз, тензор температурных деформаций. Используя вариационный принцип Лагранжа, получим уравнения Эйлера для соответствующего функционала и запишем эти уравнения через компоненты вектора перемещения.
Функционал энергии для заданной объемной плотности свободной энергии будет равен: 1~и) = — рС, ы(еы — е, )(е,: — е," )— 1 1 ~ (т) [т) — С;.и( — еы )( — е,; )) Л' — ~ 5,и;Л' — ~ р,и;пИ, и условия (18.5) ограниченности функционала 1~и] снизу выпол- няются.
Тогда 51[и,би) = С, ы(аы — а~„~)бе, Л'— — 6, ди, Л' — р,ди, дЯ = О, так как М~ =О. Г~") О 446 1а Пгипципы лЛгрЛнжЛ, ркйССнкрЛ, кЛСтильянО Преобразуом первое слагаемое в правой части этого равенства с помощью теоремы Остроградского — Гаусса: С, ц(ец — е„)бепс)У= — / Саи(еи — еи )Б~ —,+ — )Л'= хи ц ц (т) т да~ доз '~ хг к Ъ = — ! ') — ) Сни(еи — сц )5п,) + — ~ Сьц(сц — сц )Лп1)— дх Н ' "' ~ ' дх ~ — — С; ц(сц — е ~ ) бв; — — С;,ц(дц — сц ))ди1~ Л'= — — (с, ),— (,, [т) д(ьи — сц ) (т) С, ц(еи — ец )о~И|;гИ вЂ” С; и, ~ Би;Л'. дх а к Окончательно условие равенства нулю первой вариации функционала у[и) примет вид 5~~ ~) = ~(~;;„( „— „), — р)ь;~ч— (т) -~(с;„., "„" ~ь)ь;л =о.
Уравнения Эйлера в данном случае таковы: [т) Сьц, и +й,=О в 1~ д(си — сц ) дха (т) Сни(си — сц )и — р, =О на я, Воспользовавшись соотношениями Коши (18.2), получим д' иь деи 2 Р') Снц,, +6;=С ц, в Р; дх дх~ дх даь (т) Сц п,=Сниец и +рг на Я, ° дх~ Преобразование Юнга — Фенхеля функции п(е, ) по е, и (пд) = вир(а;уа,; — и(е,б)) (18.7) называют объемной плотностью дополнительной работы. Здесь и далее полагаем, что компоненты и, вектора перемещения непрерывно дифференцируемы в Г, а на поверхности Я„(при Я ~ О) удовлетворяют граничным условиям. Кроме того, считаем, что компоненты о;~ тензора напряжений о непрерывно дифференцируемы в Г.
Плотность внутренней энергии можно выразить через дополнительную работу: О(еп) = ащэ(ппеп и (пп)). (18.8) Используя соотношение (18.8), можем записать 1п1',7[и] = 1пг вир 7[о, и], (18.9) где Решение минимаксной задачи (18.9) при указанных требованиях к и и й является стационарной точкой функционала 1~о, и] на множестве всех о и и, удовлетворяющих граничным условиям (18.1). Вычисляя первую вариацию этого функционала дн" по компонентам тензора напряжений, находим е,з = ' .
Если же варьируем функции ио то получаем уравнение равновесия в объеме И и граничные условия на Я„(см. (18.6) ). Сведение задачи равновесия упругого тела к задаче поиска стационарной точки функционала 7[Э., и] называют смешанным вариационным принципом или вариационным принципом Рейсснера. Стационарная точка функционала 1[о, и] является седловой, так как она обеспечивает максимум 7[юг., и] по функциям о; и минимум по функциям иь 448 18. ПРИНЦИПЫ ЛАГРАНЖА, РЕЙССНЕРЛ, КАСТИЛЬЯНО Пример 18.2. Используя вариационный принцип Рейсснера, получим уравнения (18.6) и соотношения, связывающие компоненты тензоров напряжений и деформаций в изотермическом процессе деформирования. Объемная плотность дополнительной работы для изотропного однородного тела имеет вид' 1/ Л зЛ <т) А (Оу,7') = — ~ оуоу — Оьь(+Я плю 4п ~ ЗЛ+2р ( где Л, и — коэффициенты упругости; атее — сумма диагональных элементов матрицы пнп В данном примере 1 Л 1[сг,и) = /~о; с; — — (о,.се1 —, и†Вычислим вариацию функционала йа,и) по ете и приравняем ее нулю: о [~~~о) / [иИ [2пИ вЂ” ои/с~17) е 411~ бетИ< Р = 6, 1г 2Л „/ ~ 4п У ЗЛ+2И где д, -- символ Кронекера.
Отсюда следует, что при произ- вольных функциях бпу = — ~~у — етеед,1) +в 1 бе . Зт) 2И [ ЗЛ+ 2р Если же вычислим вариацию функционала 1[о, и~ по нп то из условия 61[о., и,йи] = 0 получим (18.6). "Сми Роботное К>.Н. Вариационный принцип, двойственный принципу,Лагранжа, можно ввести следукяцим образом. Сначала проверяем допустимость перестановки порядка вычисления максимума и минимума в соотношении (18.9).
Эта перестановка дает впрспГ(Ф[о,и]+ 1*[о,и]) < 4, (18.10) где 1е минимум функционала /[и]; Ф[о,и] = — ! [бс+ — )и,д1' — ( [р, — ос и, )и,дК )Г до;,~ джз 1 [о,и] = оспой,с18 — и'(о,у)сПс. Очевидно, что для тензорных полей о, удовлетворяющих условиям равновесия и граничным условиям (18.6), Ф[о,и] = О, а для тензорных полей о, нс удовлетворяющих граничным условиям., пс1 Ф[о, и] = — оо в силу линейности этого функционала по и иг Предположим, что функции сс,*, минимизирующие функционал /[и], непрерывно дифференцируемы.
Введем обозначения: 1сди; до ~, ди(е,; ) впр1 [о] ) 1 [о. ]. (18. 11) Из уравнений Эйлера исходной вариационной задачи для функ- ционала /[и] при заданных условиях на поверхности Я„следует, что компоненты о,* тензора о* удовлетворяют соотношениям (18.6) и, следовательно, являются допустимыми функциями: 450 пь НРИНЦИПЫ ЛАГРАнлсА, РЕЙсснеРА, кАстиЛьЯнО С другои стороны, так как о = д~ С о„, Х'[й*] = о,*,;п.и;"сБ — и*[о,' ) Л' = 8 [ (.;,,з-,з.,",.|)л +,", р,"ня= д о дх к 8 д дЦ [ "„".~.,", "' — з;",))а +,",, „"аз= дх ' '~ дхо к 8 о 1 д 1, ди* ди'; ~ — 6;и,* + о,* е,*о — и* [о, *) + — о„(, ' —, ' )1 Л'— 2 и дху дх, — РПН <~д — и[сИ) Л вЂ” ~>~'ц д~ риац д8 5 10 к Из последнего равенства и неравенств [18.10), [18.11) следует, что 1п1',У[и] = впр1*[й], где минимум и максимум берутся по всем непрерывно дифференцируемым в И функциям о, иь причем и, = й; на поверхности д„и оИ удовлетворяют соотношениям [18.6).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
